线性代数向量组的线性相关性知识分享0427122729.docx

1、线性代数向量组的线性相关性知识分享0427122729线性代数向量组的线性相关性例1定理2例5定理4例7课堂练第三节向量组的线性相关性分布图示线性相关与线性无关例2证明线性无关的一种方法线性相关性的判定定理1例3 例4例6定理3定理5内容小结习题3-3内容要点、线性相关性概念 2, , s,如果存在不全为零的数k炬,ks,使定义1给定向量组A： 1, kssO,（1则称向量组A线性相关，否贝I枷为线性无关）注:当且仅当k 0时，（1）式成立，向量组1,2 S线性无关；2包含零向量的任何向量组是线性相关的3向量组只含有一个向量时，则（1） 0的充分必要条件是 是线性无关的；（2） 0的充分必要条

2、件是 是线性相关的；4仅含两个向量的向量组线性相关的充分必要条件是这两个向量的对应分量成比 例；反之，仅含两个向量的向量组线性无关的充分必要条件是这两个向量的对应分 量不成比例.5两个向量线性相关的几何意义是这两个向量共线.三个向量线性相关的几 何 意义是这三个向量共面.二、线性相关性的判定定理1向量组2, , s（S2）线性相关的充必要条件是向量组中至少有一个向量可由其余S 1个向量线性表示.aij定理2设有列向量组用，（j1,2,s）,则向量组1,2, , s线性相关的anj充要条件是：是矩阵A（1,2, , s）的秩小于向量的个数s推论1 n个n维列向量组1,2,n线性无关（线性相关）的

3、充要条件是：矩阵A（ij2,n）的秩等于（小于）向量的个数m推论2 n个n维列向量组i,2,n线性无关（线性相关）的充要条件是：矩阵A（1,2,n）的行列式不等于（等于）零.注:上述结论对于矩阵的行向量组也同样成立.推论3当向量组中所含向量的个数大于向量的维数时，此向量组必线性相关.定理3如果向量组中有一部分向量（部分组）线性相关，则整个向量组线性相 关推论4线性无关的向量组中的任何一部分组皆线性无关定理4若向量组1, ,s,线性相关，而向量组1,2, ,s线性无关,则向量可由1, 2, , s线性表示且表示法唯一定理5设有两向量组A : 1,2, , s； 1, 2， ， t,向量组B能由向

4、量组A线性表示，若st,则向量组B线性相关.推论5向量组B能由向量组A线性表示，若向量组B线性无关，则st.推论6设向量组A与B可以相互线性表示，若A与B都是线性无关的，贝Is t.例题选讲例1设有3个向量（列向量）：1 1 11 0 , 2 2 , 2 2 ,1 2 4不难验证21 0,因此1, 2, 3是3个线性相关的3维向量.例2设有二个2维向量:。，如果他们线性相关，那么存在不全 e2 1为零的数1,2,使1 2e2 0-1 0也就是 10 2 1 0,于是O 2 0,这同*不全为零的假定是矛盾的因此ei,亦是线性无关的二个向量.例3 (E01)门维向量组1 (1,0, ,0) 2 (

5、0,1 ,0)T, ,n(0,0, ,1)T称为n维单位坐标向量组，讨论其线性相关性解n维单位坐标向量组构成的矩阵1 00 1是n阶单位矩阵.由E1 0,知rEn.即E等于向量组中向量的个数，故由推论2知此向量是线性无关的.性相关性.解 对矩阵A (ai,a2, ag)施行初等行变换成行阶梯形矩，可同时看出矩阵 A及B(“)的秩，利用定理2即可得出结论.1 0 2 1 0 2 5 1 0 2(1-2 3) 1 24 022 2 0 2 2,1 5 7 0 5 5易见，r(A) 2, r(B) 2,故向量组1, 2,3,线性相关.向量组aa2线性无关.例5判断下列向量组是否线性相关解对矩阵(1,

6、2 ,3施以初等行变换化为阶梯形矩阵证设有一组数孙2也，使ki()k2()k3()0 (1)成立，整理得(kik3)(Mk2) (勺2 k3) 0由，线性无关，故kik30kik20(2)k2k30因而向量组， ，线性无关.例7 (E03)设向量组(1)忌线性相关，向量组a2ja3,a4线性无关，证明(1) ai能由a2,a3线性表示；1241241 242130550 11111033寸005111099000秩(1,2, 3)23,所以向量组1,2:,3线性相关不能由a1, a2, %线性表不.证明因2, 3, 4线性无关，故2, 3线性无关，而I, 2, 3线性相关，从而I能 由2, 3线性表示；用反证法假设4能由I, 2, 3线性表示，而由知1能由2, 3线性表示，因此4 能由2, 3表示，这与2, 3, 4线性无关矛盾证毕.课堂练习仁试证明: (2) 一个向量 线性无关的充分条件是 0；同时成立)o2.判断向量组d ,2,0,1 )T, 2 (130, 1)T, (1, 1,1,0)T是否线性相关.3.(4,3, 1,11 )T判断向量组(1,2, 1,5)丁，2 (2, 1,1,1)T, 3是否线性相关.