《植树问题》专题研究.docx

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《植树问题》专题研究

《植树问题》专题研究

在小学数学应用题中，有这么一类问题：

以植树为内容，研究植树的棵树，棵与棵之间的距离，和需要植树的总长度等数量间关系的问题，称为植树问题。

它也属于典型应用题之一，有它独特的解答方法。

为使其更直观，我们用图示法来说明。

树用点来表示，植树的沿线用线来表示，这样就把植树问题转化为一条非封闭或封闭的线上的“点数”与相邻两点间的线的段数之间的关系问题。

与此同类的问题还有锯木头、爬楼梯、敲钟等。

同样可以用植树问题的解法来解。

1、线状路径的植树问题：

在线状路径上等距离植树，是把总距离按株距的长短平均分，有这样的多少段（叫做段数），就可以确定值多少棵树。

一般来说，涉及总距离，株距，段数和植树的棵树等量。

在线状路径上等距离植树可以分为一下几种情况：

①在直线或两端不封闭的的曲线上植树，两端都植树。

数量关系式是：

棵树=总长÷棵距+1；即：

棵数=段数+1.

例1：

在一条长80米的小路旁种松树，每隔16米种一棵，两端都种，共可以种树多少棵？

分析：

这是在一段不封闭的直线上种树，首先应当先求出80米中包含了多少个16米，再根据“两端都种”，（即首尾都种）求出“共可以种树多少棵？

”

解：

①80米中包含了多少段？

80÷16=5（段）

②共可以种树多少棵？

5+1=6（棵）

答：

共可以种树6棵.

例2：

公路的一旁每隔40米有木电杆一根（两端都有）.共121根.现改为水泥电杆51根（包括两端）,求两根相邻水泥电杆之间的距离.

分析:

这是在一段不封闭的直线上电杆间隔问题，如同植树问题。

首先应先求出公路全长为40×（121-1），再根据其数量关系：

根数=总长÷根距+1，变换为：

根距=全长÷（根数-1），然后就可以求出两根相邻水泥杆之间的距离。

解

公路的全长为多少米？

40×（121-1）=4800

两根相邻水泥杆之间的距离是多少米？

4800÷（51-1）=96

答:

两根相邻水泥杆之间的距离是96米。

练习：

1、从公园通往湖心的小岛有一条长900米的小路，在小路的两侧，从头到尾每隔15米栽1棵树，需要多少棵数？

2、甲村到乙村,原计划栽树175棵,相邻两棵树距离8米,后决定改为栽树117棵,问相邻两树应相距多少米?

②在直线或两端不封闭的的曲线上植树，两端都不植树。

数量关系式是：

棵树=总长÷棵距－1；即：

段数-1

例3：

在相隔50米的两座楼房之间种桃树，每隔5米种一棵，共可以种树多少棵？

分析：

这是在一段不封闭的直线上种树，两端因为有楼，所以都不种。

这样，共种树的棵树，应当比段数少1。

即在直线或两端不封闭的的曲线上植树，两端都不植树。

解：

①50米中包含了多少段？

50÷5=10（段）

②共可以种树多少棵？

10-1=9（棵）

答：

共可以种树9棵.

例4：

下图是五个大小相同的铁环连在一起的图形。

它的长度是多少？

十个这样的铁环连在一起有多长？

分析：

如上图所示。

此题类似于两端都不植树的问题，关键是求出重叠的“环扣”数（每个长6毫米）。

根据其数量关系知，五个连在一起的“环扣”数为5-1＝4（个），然后求出重叠部分的长，接着就可以求出五个铁环连在一起的长。

同理，十个铁环连在一起的长度。

解：

五个连在一起的“环扣”数是多少？

5-1＝4（个）

重叠部分的长为多少？

6×（5-1）=24（毫米）

五个铁环连在一起的长是多少？

4厘米=40毫米

40×5-24=176（毫米）

十个铁环连在一起的长度是多少？

40×10-24=346（毫米）

答：

五个铁环连在一起的长度为176毫米。

十个铁环连在一起的长度为346毫米。

练习：

3、有12名小学生站成一排，要求在每两名小学生中间放2盆花，需要摆放几盆？

4、一次检阅,接受检阅的一列彩车车队共30辆,每辆车长4米,前后两车相隔5米,问这列车队共长多少米?

③在封闭线路上植树。

数量关系式是：

棵树=总长÷棵距。

即：

棵树=段数

例5：

人民公园环湖路长6900米，沿湖边每隔15米种一棵树，每3棵树之间安放一条长椅供游人休息。

求共要种树多少棵？

安放椅子多少条？

分析：

这是在封闭曲线上植树可直接用公式：

“棵树=总长÷棵距”求解。

而“每3棵树之间安放一条长椅”，正好是每隔一段棵距放一条椅子，椅子数正好是棵树的一半。

解：

①共要种树多少棵？

6900÷15=460（棵）

②安放椅子多少条？

460÷2=230（条）

答：

共要种树460棵，安放椅子230条。

例6：

一个圆形水库,周长是2430米,每隔9米种柳树一棵.又在相邻两棵柳树之间每3米种杨树1棵,要种杨树多少棵?

分析:

沿着封闭的圆形水库四周植树,段数与棵数相等,首先可以求出四周共可以种多少棵柳树，再求出相邻柳树间，每隔3米种杨树，每段可种杨树的棵树。

最后可求出共种的杨树棵树。

解：

四周可种多少棵柳树？

2430÷9=270（棵）

相邻柳树间，每隔3米种杨树，每段可种杨树多少棵？

9÷3-1=2（棵）

总共可种杨树多少棵？

2×270=540（棵）

答:

水库四周要种杨树540棵.

练习：

5、公园的一个湖的周长是1800米,在这个湖的周围每隔20米种一棵柳树.然后在每两棵柳树之间每隔4米种一棵迎春花,需要柳树多少棵、迎春花多少棵?

6、明明要爷爷出一道趣味题,爷爷给他念了一个顺口溜:

湖边春色分外娇,一株杏树一株桃,平湖周围三千米,六米一株都栽到,漫步湖畔美景色,可知桃杏各多少?

在方正形路上植树：

如果每个顶点都要植树，数量关系式是：

棵数=（每边棵数-1）×边数，由此可以推出在此种路径下等距离植树的数量关系为：

棵树=边长÷棵距+1。

例7：

一个正方形鱼塘的周长是1200米，在4个角上都种上树后，每条边上都有16棵树，求每棵树之间相距多少米？

分析：

沿正方形的四周种树，看似在封闭线路上植树。

但由于四个角上都种上了树，，是每边都种了16棵树，实际上是等同于在不封闭直线上种树，每边实际分成了（16－1）段。

这样就可以用“边长÷（16－1）”求出棵距。

当然，也可以用：

“周长÷（16×4－4）”求出棵距。

解1：

1200÷4÷（16－1）=20（米）

解2：

1200÷（16×4－4）=20（米）

答：

每棵树之间相距20米。

练习：

7、有一个正方形池塘,在它四周种树,四个顶点都有一棵,这样每边都有5棵,问池塘四周共种树多少棵?

2、在面状区域上的植树问题

在一个平面区域里等距离，等株距植树的问题，一般是先算出每一棵树所占的面积：

行距×株距，就可以求出植树的棵树，其数量关系是：

棵树=总面积÷（行距×株距）。

例8：

长方形场地：

一个长84米，宽54米的长方形苹果园中，苹果树的株距是2米，行距是3米．这个苹果园共种苹果树多少棵？

分析：

这道题就是一个在平面区域里等行距、等株距植树的问题。

根据题意，可以先算出长方形地的面积，再求出一共能种多少棵树。

还有一种方法，先算出一行能种多少棵树，在算出能种苹果树多少行，最后这块地共种苹果树多少棵。

解法一：

①一行能种多少棵？

84÷2=42（棵）．

②这块地能种苹果树多少行？

54÷3=18（行）．

③这块地共种苹果树多少棵？

42×18=756（棵）．

如果株距、行距的方向互换，结果相同：

（84÷3）×（54÷2）=28×27=756（棵）．

解法二：

①这块地的面积是多少平方米？

84×54=4536（平方米）．

②一棵苹果树占地多少平方米？

2×3=6（平方米）．

③这块地能种苹果树多少棵？

4536÷6=756（棵）．

当长方形土地的长、宽分别能被株距、行距整除时，可用上述两种方法中的任意一种来解；当长方形土地的长、宽不能被株距、行距整除时，就只能用第二种方法。

练习8、在一块长方形地里种植，这块地长150米，宽120米，按行距3米，株距2.5米种植，如果成活率为96％，这块地里成活多少棵树苗？

3、锯木头问题

锯木头问题也属于植树问题，可得到：

木头锯成的段数=锯的次数+1，由此可以得出其数量关系为：

锯完所需时间=次数×每锯一次的时间；每段木头的长度=木头原来的总长÷段数。

例9：

一个木工锯一根长19米的木料，他先把一头损坏部分锯下1米，然后锯了5次，锯成同样长的短木条，每根短木条多少米？

分析：

这是植树问题的同类问题——锯木头问题。

这道题实际上是将一根长18米的木料锯了5次，锯成了6段，求每段木头的长度，可用总长÷锯的次数。

解、

实际上锯的总长度是多少？

19-1=18（米）

共锯成了多少段？

5+1=6（米）

每段短木条的长度多少米？

18÷6=3（米）

答：

每段短木条的长度3米.

例10：

有一个工人把12米的圆钢锯成3米长的小段，锯断一次要5分钟，共需要多少分钟？

分析：

这道题首先可以求出共锯了多少段，要锯多少次，然后再求需要多少分钟，根据锯完所需时间=次数×锯一次所需的时间。

解、

共锯了多少段？

12÷3=4（段）

要锯多少次？

4-1=3（次）

共需要多少分钟？

3×5=15（分）

答：

共需要15分钟。

练习9、有一根圆钢长22米，先锯下2米，剩下的锯成每根都是4米的小段，又锯了几次？

10、有2根木料，打算把每根锯成3段，每段锯开一处需要3分钟，全部锯完需要几分钟？

4、敲钟问题

敲钟问题是植树问题的应用，同样可以用植树问题的解法来解，可得到：

敲钟次数=间隔数+1.由此也克得到其数量关系为：

总时间÷间隔数=每个间隔数。

其与“在不封闭直线上的植树”情况相似。

例11：

有一个报时钟，每敲响一下，声音可持续3秒。

如果敲响6下，从敲响第一下到最后一下持续声音结束，一共需要43秒。

现在要敲12下，那么，从敲响第一下到最后一下持续声音结束，一共需要多少秒？

分析：

这是植树问题的应用，可以看作是在不封闭直线上的“种树”。

首先，需要求出两响之间的间隔；然后，再求需要的时间。

（43－3）是“敲响第一下到最后一下”的总时间，（6－1）是“敲响第一下到最后一下”的间隔数，总时间÷间隔数=每个间隔数（即两响之间的间隔）。

然后，按照“在不封闭直线上的种树”的公式，求出一共需要多少秒？

解：

①两响之间的间隔是多少秒？

（43－3）÷（6－1）=8（秒）

②敲响12下，一共需要多少秒？

8×（12－1）+3=91（秒）

答：

敲响12下，一共需要91秒。

练习11、时钟4点钟敲4下，6秒钟敲完，那么12点钟敲12下，多少秒敲完？

5、爬楼梯问题

爬楼梯问题也是植树问题的一个延伸。

根据植树问题的解题方法可得到：

间隔数=终点楼层-起点楼层。

由此也可得出其数量关系为：

所需时间=走每段楼梯所用的时间×段数。

例12：

父子俩一起攀登一个有300个台阶的山坡，父亲每步上3个台阶，儿子每步上2个台阶。

从起点处开始，父子俩走完这段路共踏了多少个台阶？

（重复踏的台阶只算一个）。

分析：

因为两端的台阶只有顶的台阶被踏过，根据已知条件，可先算出儿子踏过的台阶数和父亲踏过的台阶数。

由于2×3=6，所以父子俩每6个台阶要共同踏一个台阶，再算出共重复踏了的台阶数。

最后求得父子俩共踏了台阶个数。

解：

①儿子踏过的台阶数为多少个？

300÷2＝150（个），

②父亲踏过的台阶数为多少个？

300÷3＝100（个）

③重复踏了的台阶数为多少个？

300÷（2×3）＝50（个）

父子俩共踏了台阶个数为多少个？

150＋100-50＝200（个）

答：

父子俩共踏了200个台阶。

练习12：

小明要到高层建筑的11层，他走到5层用了100秒，照此速度计算，他还需走多少秒？

解植树问题时要记住：

在牢记公式的基础上，根据实际灵活运用；注意线段图的运用，这样，可以更形象的发现数量间的变化。

卖炭翁白居易（唐）字乐天号香山居士

卖炭翁，伐薪烧炭南山中。

满面尘灰烟火色，两鬓苍苍十指黑。

卖炭得钱何所营?

身上衣裳口中食。

可怜身上衣正单，心忧炭贱愿天寒。

夜来城外一尺雪，晓驾炭车碾冰辙。

牛困人饥日以高，市南门外泥中歇。

　　翩翩两骑（jì）来是谁?

黄衣使者白衫儿。

手把文书口称敕，回车叱牛牵向北。

一车炭，千余斤，宫使驱将（jiāng）惜不得。

半匹红绡一丈绫，系（jì）向牛头充炭直（值）。