浙江中考数学专题复习几何探究题.docx

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浙江中考数学专题复习几何探究题

几何探究题

类型一动点问题

1.如图，在菱形ABCD中，∠BAD=120°，边长AB=6，对角线AC、BD交于点O，线段AD上有一动点P，过点P作PH⊥BC于点H，交直线CD于点Q，连接OQ，设线段PD=m．

（1）求线段PH的长度；

（2）设△DPQ的面积为S，求S与m之间的关系式；

（3）在运动过程中是否存在点P，使△OPQ的面积与△CQH的面积相等，若存在，请求出满足条件m的值；若不存在，请说明理由．

第1题图

解:

（1）∵四边形ABCD是菱形，

∴BC∥AD，AB=AD=CD=6，∵∠BAD=120°，

∴∠ADC=60°，

∴△ACD是等边三角形，

如解图，过点C作CG⊥AD于G，在Rt△CDG中，∠CDG=60°，CD=6，

∴DG=3，CG=

，

∵BC∥AD，PH⊥BC，CG⊥AD，

∴四边形CHPG是矩形，∴PH=CG=

，

第1题解图

（2）在Rt△PDQ中，∠PDQ=60°，DP=m，∴PQ=

m，

∴S=S△PDQ=

DP·PQ=

m×

m=

m2，（0＜m≤6）

（3）存在，理由：

∵△DPQ的面积与△CQH的面积相等，

点Q在线段CD上，AD∥BC，

∴△CHQ∽△DPQ，

∴△DPQ的面积与△CQH的面积相等时，只有△CHQ≌△DPQ，

∴CQ=DQ=

CD=3，

在Rt△PQD中，∠PDQ=60°，DQ=3，∴DP=

，

即：

m=

时，△DPQ的面积与△CQH的面积相等．

2.已知：

D，E是Rt△ABC斜边AB上点，满足∠DCE=45°．

（1）如图，当AC=1，BC=

，且点D与A重合时，求线段BE的长；

（2）如图，当△ABC是等腰直角三角形时，求证：

AD2+BE2=DE2；

（3）如图，当AC=3，BC=4时，设AD=x，BE=y，求y关于x的函数关系式，并求x的取值范围.

图图图

第2题图

（1）解：

如解图，∵∠ACB=90°，BC=

，AC=1，

∴AB=2，过B作BF∥AC交CE的延长线于F，

∴∠F=∠ACE，

∵∠BCA=90°，∠DCE=45°，

∴∠BCE=∠DCE，

∴∠BCE=∠F，

∴BF=BC=

，

∵△BEF∽△AEC，

∴

，

∴BE=3-

；

图图图

第2题解图

（2）证明：

如解图，过点A作AF⊥AB，使AF=BE，连接DF，CF，

∵在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，

∴∠CAB=∠B=45°，∴∠FAC=45°，

∴△CAF≌△CBE（SAS），

∴CF=CE，∠ACF=∠BCE，

∵∠ACB=90°，∠DCE=45°，

∴∠ACD+∠BCE=∠ACB-∠DCE=90°-45°=45°，

∵∠ACF=∠BCE，∴∠ACD+∠ACF=45°，

即∠DCF=45°，

∴∠DCF=∠DCE，又∵CD=CD，

∴△CDF≌△CDE（SAS），

∴DF=DE，

∵在Rt△ADF中，AD2+AF2=DF2，

∴AD2+BE2=DE2；

（3）解：

如解图，作△BCE≌△FCE，△GCD≌△ACD，延长DG交EF于H，

∵∠HFG=∠B，∠HGF=∠CGD=∠A，∠A+∠B=90°，∴∠DHF=90°，

∵FG=CF-CG=BC-AC=1，∠B=∠F，

∴HF=

，HG=

，∵EH2+HD2=ED2，

∴（y-

）2+（x+

）2=（5-x-y）2，

∴y=

（0≤x≤

）．

3.如图①，直线AM⊥AN，AB平分∠MAN，过点B作BC⊥BA交AN于点C；动点E、D同时从A点出发，其中动点E以2m/s的速度沿射线AN方向运动，动点D以1m/s的速度沿射线AM方向运动；已知AC=6cm，设动点D，E的运动时间为t．

（1）试求∠ACB的度数；

（2）当点D在射线AM上运动时满足S△ADB：

S△BEC=2：

3，试求点D，E的运动时间t的值；

（3）动点D在射线AM上运动，点E在射线AN上运动过程中，是否存在某个时间t，使得△ADB与△BEC全等？

若存在，请求出时间t的值；若不存在，请说出理由．

第3题图

解：

（1）如解图中，∵AM⊥AN，

∴∠MAN=90°，

∵AB平分∠MAN，∴∠BAC=45°，

∵CB⊥AB，

∴∠ABC=90°,∠ACB=45°；

图①图②

第3题解图

（2）如解图中，作BH⊥AC于H，BG⊥AM于G．

∵BA平分∠MAN，

∴BG=BH，

∵S△ADB：

S△BEC=2:

3，AD=t，AE=2t，

∴

•t•BG：

•（6-2t）•BH=2:

3，

∴t=

s．∴当t=

s时，满足S△ADB：

S△BEC=2:

3．

（3）存在．∵BA=BC，∠BAD=∠BCE=45°，

∴当AD=EC时，△ADB≌△CEB，

∴t=6-2t，∴t=2s，

∴满足条件的t的值为2s．

类型二平移变换问题

1.如图，△ABC中AB=AC，点D从点B出发沿射线BA移动，同时，点E从点C出发沿线段AC的延长线移动，已点知D、E移动的速度相同，DE与直线BC相交于点F．

（1）如图1，当点D在线段AB上时，过点D作AC的平行线交BC于点G，连接CD、GE，判定四边形CDGE的形状，并证明你的结论；

（2）过点D作直线BC的垂线垂足为M，当点D、E在移动的过程中，线段BM、MF、CF有何数量关系？

请直接写出你的结论．

第1题图备用图

解：

（1）四边形CDGE是平行四边形．理由如下：

如解图：

∵D、E移动的速度相同，

∴BD=CE，

∵DG∥AE，

∴∠DGB=∠ACB，∵AB=AC，

∴∠B=∠ACB，

∴∠B=∠DGB，

∴BD=GD=CE，

又∵DG∥CE，

∴四边形CDGE是平行四边形；

第1题解图

（2）BM+CF=MF；理由如下：

如解图，

由

（1）得：

BD=GD=CE，∵DM⊥BC，

∴BM=GM，

∵DG∥AE，

∴GF=CF，

∴BM+CF=GM+GF=MF．

2.两个全等的直角三角形ABC和DEF重叠在一起，其中∠A=60°，AC=1，固定△ABC不动，将△DEF进行如下操作：

如图①，△DEF沿线段AB向右平移（即D点在线段AB内移动），连接DC、CF、FB，四边形CDBF的形状在不断变化，但它的面积不变化，请求出其面积．

（2）猜想论证如图②，当D点移到AB的中点时，请你猜想四边形CDBF的形状，并说明理由．

（3）拓展研究如图③，△DEF的D点固定在AB的中点，然后绕D点按顺时针方向旋转△DEF，使DF落在AB的边上，此时F点恰好与B点重合，连接AE，求sinα的值.

第2题图

解：

（1）如解图，∵△DEF沿线段AB向右平移（即D点在线段AB内移动），

∴CF=AD，AC=DF，

∴四边形ACFD为平行四边形，

∴AD∥CF，

∴S△DCF=S△BCF=S△ACD，

∴S四边形CDBF=S△CDB+S△BCF=S△CDB+S△ACD=S△ACB，

在Rt△ACB中，∵∠A=60°，

∴BC=

AC=

，

∴S△ABC=

×1×

=

，

∴S四边形CDBF=

；

（2）四边形CDBF为菱形．理由如下：

如解图，∵点D为斜边AB的中点，

∴DC=DA=DB，∵CF∥AD，CF=AD，

∴CF=BD，CF∥DB，

∴四边形CDBF为平行四边形，而DC=DB，

∴四边形CDBF为菱形；

第2题解图

（3）作DH⊥AE于H，如解图，在Rt△ACB中，∵∠A=60°，

∴AB=2AC=2，∵点D为AB的中点，

∴AD=BD=

AB=1，

∵绕D点按顺时针方向旋转△DEF，使DF落在AB边上，此时F点恰好与B点重合，

∴∠EFD=90°，EB=

，DE=AB=2，

在Rt△ABE中，

，

∵

∴

，

在Rt△EDH中，sinα=

.

3.在正方形ABCD中，动点E,F分别从D,C两点同时出发，以相同的速度在直线DC，CB上移动．

（1）如图①，当点E自D向C，点F自C向B移动时，连接AE和DF交于点P，请你写出AE与DF的关系，并说明理由；

（2）如图②，当点E,F分别移动到边DC,CB的延长线上时，连接AE和DF,

（1）中的结论还成立吗？

（请直接回答“是”或“否”，不须证明）

（3）如图③，当E,F分别在CD,BC的延长线上移动时，连接AE和DF，

（1）的结论还成立吗？

请说明理由；

（4）如图④，当E,F分别在DC,CB上移动时，连接AE和DF交于点P．由于点E,F的移动，使得点P也随之运动，请你画出点P运动路径的草图．若AD=2,试求出线段CP的最小值．

第3题图

解：

（1）AE=DF,AE⊥DF.

理由：

∵四边形ABCD是正方形，

∴AD=DC,∠ADC=∠C=90°，

∵DE=CF,

∴△ADE≌△DCF，

∴AE=DF,∠DAE=∠CDF,

由于∠CDF+∠ADF=90°，

∴∠DAE+∠ADF=90°，

∴AE⊥DF；

（2）是；

（3）成立.

理由：

由

（1）同理可证，AE=DF，∠DAE=∠CDF,

如解图，延长FD交AE于点G，则∠CDF+∠ADG=90°，

第3题解图

∴∠ADG+∠DAE=90°，

∴AE⊥DF.

（4）画出草图如解图，

由于点P在运动中保持∠APD=90°，

∴点P的路径是一段以AD为直径的弧，

设AD的中点为O，连接OC，交弧于点P，此时CP的长度最小，

在Rt△ODC中，OC=

∴CP=OC-OP=

.

第3题解图

类型三折叠问题

1.将一矩形纸片OABC放在直角坐标系中，O为原点，C在x轴上，OA=6，OC=10．

（1）如图①，在OA上取一点E，将△EOC沿EC折叠，使点O落在AB边上的D点，求E点的坐标；

（2）如图②，在OA、OC边上选取适当的点E'、F，将△E'OF沿E'F折叠，使O点落在AB边上D'点，过D'作D'G∥OA交E'F于T点，交OC于G点，设T的坐标为（x，y），求y与x之间的函数关系式，并求出自变量x的取值范围；

（3）在

（2）的条件下，若OG=

，求△D'TF的面积．（直接写出结果即可）

第1题图

解：

（1）∵将△EOC沿EC折叠，使O点落在AB边上的D点，

∴DC=OC=10．在Rt△BCD中，∵∠B=90°，BC=OA=6，DC=10，

∴BD=

=8．

在Rt△AED中，∵∠DAE=90°，AD=2，DE=OE，AE=6-OE，

∴DE2=AD2+AE2，即OE2=22+（6-OE）2，解得OE=

，

∴E点的坐标为（0，

）；

（2）∵将△E'OF沿E'F折叠，使O点落在AB边上D'点，

∴∠D'E'F=∠OE'F，D'E'=OE'，

∵D'G∥AO，

∴∠OE'F=∠D'TE'，

∴∠D'E'F=∠D'TE'，

∴D'T=D'E'=OE'，

∴TG=AE',

∵T（x，y），

∴AD'=x，TG=AE'=y，D'T=D'E'=OE'=6-y．

在Rt△AD'E'中，∵∠D'AE'=90°，

∴AD'2+AE'2=D'E'2，即x2+y2=（6-y）2，

整理，得y=

x2+3；

由