则称函数/'（x）在X上有界，如果这样的M不存在，就成函数/'（x）在X上无界；也就是说如果对于任何正数M,总存
在XjcX，使\f（Xl）\>M,那么函数f（x）在X上无界.
无穷大：
设函数f（x）在气的某•去心邻域内有定义（或|x|大于某•正数H寸有定义）.如果对于任意给定的正数M（不
论它多么大），总存在正数5（或正数X）,J®x适合不等式0<|x—x』<5（或|x|>X）,对应的函数值/'（x）总满足不等式则称函数f（x）为当尤TXo（或X->00）时的无穷大.
例4：
下列叙述正确的是：
②
%1如果f（x）在气某邻域内无界，则lim/（x）=oo
x—>x0
%1如果limf（x）=oo，则f（x）在此某邻域内无界
x—>x0
解析：
举反例说明.设/（x）=—sin—,令也=9yn=—,,当n—>+co时，尤〃tO,义tO,而
Xi2n^+-e
2
limf（xn）=limQn兀+—）=+oo
〃T+oo〃T+oo2
limf（y,,）=O
n->+oo
故f3）在尤=0邻域无界，但xto时f3）不是无穷大量，则①不正确.
由定义，无穷大必无界，故②正确.
结论：
无穷大必无界，而无界未必无穷大.
三、函数极限不存在更极限是无穷大
当尤TX。
（或XT8）时的无穷大的函数/（X）,按函数极限定义来说，极限是不存在的，但是为了便于叙述函数
的性态，我们也说“函数的极限是无穷大”.但极限不存在并不代表其极限是无穷大.
x-1x<0
例5：
函数f（x）=<0尤=0,当xtO时jf（x）的极限不存在.
x+1x>0
四、如果lim/（x）=0不能退出lim」一=8
[x尤为有理数1
例6：
f{x）=\，十则limf3）=0，但由于——在工=0的任一邻域的无理点均没有定义，故无法讨
[0x为无理数/（%）
论」一在x=0的极限.
f（x）
结论：
如果lim/（x）=O,且f（x）在X。
的某一去心邻域内满足/（x）^0,则lim」一=00.反之，f（x）为无穷XTXoXTXoy（X）
大，则」一为无穷小。
fM五、求函数在某点处极限时要注意其左右极限是否相等，求无穷大处极限要注意自变量取正无穷大和负无穷大时极限是否相等。
例7.求极限lime*,lime*
x->oox->0
解：
limex-+oo,limex=0,因而xToo时e*极限不存在。
X—>+00X—>-00
££j_
limex=0,limex=+oo,因而xT0时e*极限不存在。
xtO-xtO=
六、使用等价无穷小求极限时要注意：
（1）乘除运算中可以使用等价无穷小因子替换，加减运算中由于用等价无穷小替换是有条件的，故统一不用。
这时，一般可以用泰勒公式来求极限。
（2）注意等价无穷小的条件，即在哪一点可以用等价无穷小因子替换
，-.c44_T7IZH1•J1+—+J1———2
例8：
求极限lim
1。
x
分析一：
若将J曲+JK-2写成（JIZ；-1）+（JT耳-1）,再用等价无穷小替换就会导致错误。
分析二：
用泰勒公式
1（_1）
J1+X+J1-X=（1+—X+————X2+o（x2））
22!
122
+（1——x+2L妒+o（x一））一2
22!
=-—X2+o（x2）
4
+O（A"-）]
原式=一5=。
%24
einy
例9：
求极限lim——
1兀X
解：
本题切忌将sinx用尤等价代换，导致结果为1。
七、函数连续性的判断
（1）设/（X）在x=x0间断,
g（x）在X=X0连续，则f（x）±g（x）在工=工0间断。
而/（X）-^（x）,/2（x）,|/（x）|在
X=工0可能连续。
fO
例10.设f（x）=<,g（x）=sinx,则/（x）在工=0间断，g（x）在x=0连续，
[1x=0
f（x）•g（x）=f（工）•sinx=0在工=0连续。
f1x>09||
若设/（X）=]x<0,f（x）在X=0间断，但/2（.Y）=|f（A-）|=1在X=0均连续。
⑵“了（x）在点连续”是■'|f（.r）|在％点连续”的充分不必要条件。
分析：
由“若limf⑴=q,则lim|/（x）|=|^|"可得“如果Hm/（x）=/（x0）,则lim|f（x）|=|f（气）|”，因此，
XT*。
X->X0XT%XT与
/*（x）在工0点连续，则|/（%）|在工0点连续。
再由例10可得，在尤0点连续并不能推出/⑴在气点连续。
（3）仞（尤）在x=x0连续，/（〃）在u=u0=（p（x0）连续，则f（伊（X））在工=工0连续。
其余结论均不一定成立。
第二章导数与微分
一、函数可导性与连续性的关系
可导必连续，连续不一定可导。
例11./（x）=|x|在尤=0连读，在工=0处不可导。
二、/⑴与|/（x）|可导性的关系
（1）设f（xo）^o,f（x）在X=X0连续，则八尤）在x=xo可导是|/（x）|在工=工0可导的充要条件。
（2）设/（xo）=O,则fGo）=0是|/（x）|在工=气可导的充要条件。
三、一元函数可导函数与不可导函数乘积可导性的讨论
设F（x）=g{x）（p{x）,9（x）在x=a连续，但不可导，又g'（tz）存在，则g（Q）=O是r（x）在x=a可导的充要条件。
分析：
若g（o）=0,由定义
F'（a）=1"⑴*）=1讪8（珈⑴一g（W（a）="⑴一&"）=g'（a）加）反之，若F'（a）X*x-aX*x-aX*x-a
存在，则必有g（a）=O。
用反证法，假设g（a）NO,贝岫商的求导法则知伊3）=竺打在x=a可导，与假设矛盾。
g（x）
利用上述结论，我们可以判断函数中带有绝对值函数的可导性。
四、在某点存在左右导数时原函数的性质
（1）设/'（X）在x=x0处存在左、右导数，若相等则f（x）在x=x0处可导；若不等，则f（x）在x=x0连续。
（2）如果f（x）在（a,幻内连续，xoe（a,b）,且设limf'（x）=limf'（x）=m,则f（x）在x=x0处必可导且
x—>x0+x—>为一
f\x0）=m.
若没有如果f（x）在（a,幻内连续的条件，即设limf'（x）=limf'（x）=a,则得不到任何结论。
x—>x0+-
fx+2X>0,,
例11./（%）=<,显然设limf（x）=lim/（x）=1,但limf（x）=2,lim/（x）=0,因此
xx<0xt0+xtO-x->0+xtO-
极限limf（x）不存在，从而/'（x）在x=0处不连续不可导。
xtO
第三章微分中值定理与导数的应用
—、若limf'（尤）=A,（A主0,可以取由，贝Ulimf（x）=oo
X->+00X->+00
A
若lim/'（x）=AN0,不妨设A>0,则3X>0,x>XHt，f'（x）>一,再由微分中值足理XT+oo2
f（x）=f（X）+广愆）3-X）（x>X爵（X,x））
An/（.y）>/（X）+-（x-X）（x>X）nlim/（x）=+8
2X->+00
同理，当AvO时，lim/（x）=
XT+oo
若lim尸（x）=+oo,n3X>O,xZX时，f,（x）>l,再由微分中值足理X->+00
f（x）=/（X）+广愆）（x_X）（x>X*（X,x））
=>/（x）>/（X）+（x-X）（x>X）=>limf（x）=+oo
'XT+oo
同理可证lim/r（x）=-oo时，必有lim/（x）=-oo
XT+ooX->+oo
第八章多元函数微分法及其应用
8.1多元函数的基本概念
1.V-aO,>0，使得当|尤_尤o|y$i,|y_y（）|y$2且（珈壬（气％）时，有|f（x，y）-A|ye,那么
limf（x,y）=A成立了吗？
x^>x0
yr〉。
成立，与原来的极限差异只是描述动点p（x,y）与足点p0（x0,y0）的接近程度的方法不一样，这里采用的是点的矩形邻域，，而不是常用的圆邻域，事实上这两种定义是等价的.
2.若上题条件中（x,y）（xo,yo）的条件略去，函数f（X,y）就在（x0>y0）连续吗？
为什么？
如果（x,y）丰（x0y0）条件没有，说明f（x0>y0）有定义，并且（x0,y0）包含在该点的任何邻域内，由此对VeA0,都
有|/（x,y）-A|-,从而A=/（x0>y0）,因此我们得到limf（x,y）=A=f（x0y0）,即函数在（x0y0）点连续.
yT'O
3.多元函数的极限计算可以用洛必塔法则吗?
为什么？
不可以，因为洛必塔法则的理论基础是柯西中值定理.
8.2偏导数
1.已知/（x+y,ey）=x2y,求f（x,y）
fy=Inv
令x+y=u,ey=v那么解出尤，）；得＜
x=u-lnv
所以f（u,v）=x2（u,v）.y（u,v）=（w-Inv）2.lnv或者/（w,v）=（w-Inv）2.lny
8.3全微分极其应用
1.写出多元函数连续，偏导存在，可微之间的关系
偏导数f、'连续=4>zTTf微=>Z=/（.r,y）连续二>/（x,y）极限存在偏导数£'连续n偏导数£',£'存在
[/2a，y）?
3（）,%）
2.判断二元函数f（x,y）=Ux~+y-在原点处是否可微.
[o3,y）?
（*（））
对于函数f（x,y）,先计算两个偏导数：
£（。
。
）=1血/（心°）2（°'°）=1血宜=。
'任项kTOA%
E，0）=lim4*、lim宜=。
'axtoAy*t。
Ay
f（Ar,Ay）-f（0,0）-f'（0,0）Ar-f'（0,0）AyArAy
又lim.=lim-
J（k）2+（S）2M"（Ax）2+（烦）2予
令Ay=k心,则上式为lim——=rlim|Ax|3=0
AxtO252AxtO11
（1+摩）6网（1+好）6
因而f（x,y）在原点处可微.
8.4多元复合函数的求导法则
1.设Z=f（"）,f可微，求』Z.x-\-y
dz=,（—词（/）=,（刈）3+y）d3y）fW3+y）x+yx+yx+y（x+y）2
22
如'（工）+
x+y（x+y）x+y（x+y）
8.5隐函数的求导
1.设x=x（y,z）,y=y（x,z）,z=z（x,y）都是由方程F（x,y,z）=0所确定的具有连续偏导数的函数，证明
dxdy8zdydzdx
对于方程F（x,y,z）=0,如果他满足隐函数条件.例如，具有连续偏导数且尤'？
0,则由方程F（x,y,z）=0可以
FF'
确定函数工=x（y,z），即］是y,z的函数,而y,z是自变量，此时具有偏导数一=——，一=———dypr8zf'
XX
dyF：
dxdy8z〔
同理，一=—,所以——.——.——=-1.
dzf'四dx
y
8.6多元函数的极值及其求法
1.设f（x,y）在点p0（x0,无）处具有偏导数，若y）=0,f/（x,y）=0则函数f（x,y）在该点取得极值,命题是
否正确？
不正确，见多元函数极值存在的充分必要条件.
2.如果二元连续函数在有界闭区域内有惟一的极小值点，且无极大值，那么该函数是否在该点取得最小值？
不一定，对于一元函数来说上述结论是成立的，但对于多元函数，情况较为复杂，一般来说结论不能简单的推广。
例如，二元函数Z=/（%,y）=3x2+3y2-x3,（x2+y2<16）
由二元函数极值判别法：
—=6x—3x=0,解得尤］=0,易=2，
dx
dz
——=6y=0,解得y=0
仍'
故得驻点=（0,0）,M2=（2,0）
.D32zd~z<
A=—-=6—6尤，B==0,C=——-=6
dx2dxdydy2
AC-庆=36（1-x）
由于
AC-B-\a0,AC-B2\y0,
1（0,0）1（2,0）
以及A|（00）>0,所以=（0,0）,是函数的惟一极小值点，但是f（4,0）=—16Yf（0,0）,故f（0,0）不是
/（x,y）在D上的最小值.
第十一章无穷级数
11.1常数项级数的概念和性质
00
2.若级数Z。
“加括号后所成的新级数发散，则原级数必定发散，而加括号后所的级数收敛，则无法判定原级数的n=l
敛散性，这种说法是否正确？
正确
11.2常数项级数的审敛法
0000
1.若级数“收敛，则级数_定收敛。
判断这句话是否正确？
n-1n-1
/Q118co18/q
收敛因为+—）,由于Na“收敛，收敛，于是£乂工收敛。
〃2n-„=i〃=1〃-„=1〃
3.收敛则一定绝对收敛，绝对收敛不一定收敛。
高数解题的四种思维定势
•第一句话：
在题设条件中给出-个函数f（x）二阶和二阶以上可导，"不管三七二十一”，把f（x）在指定点展成泰勒公式再说。
•第二句话：
在题设条件或欲证结论中有定积分表达式时，则''不管三七二十一”先用积分中值定理对该积分式处理…下再说。
•第三句话:
在题设条件中函数f（x）在[a,b]±连续，在（a,b）内可导，且f（a）=O或f（b）=O或f（a）=f（b）=O,则"不管三七二十一''先用拉格朗日中值足理处理一下再说。
•第四句话：
对定限或变限积分，若被积函数或其主要部分为复合函数，贝U"不管二七二十"'先做变量替换使之成为简单形式f（u）再说。
线性代数解题的八种思维足势•第•句话：
题设条件与代数余子式Aij或A*有关，则立即联想到用行列式按行（列）展开定理以及AA*=A*A=|A|E。
•第二句话：
若涉及到A、B是否可交换，即AB=BA,则立即联想到用逆矩阵的足义去分析。
•第三句话：
若题设n阶方阵A满足f（A）=O,要证aA+bE可逆，则先分解因子aA+bE再说。
•第四句话：
若要证明一组向量al,a2,..,aS线性无关，先考虑用定义再说。
•第五句话：
若已知AB=O,则将B的每列作为Ax=O的解来处理
•第六句话：
若由题设条件要求确定参数的取值，联想到是否有某行列式为零再说。
•第七句话：
若已知A的特征向量W，则先用定义A^O=AO^O处理一下再说。
•第八句话：
若要证明抽象n阶实对称矩阵A为正定矩阵，则用足义处理一下再说。
概率解题的九种思维定势
•第一句话：
如果要求的是若干事件中''至少"有一个发生的概率，则马上联想到概率加法公式；当事件组相互独立时，用对立事件的概率公式
•第二句话：
若给出的试验可分解成（0-1）的n重独立重复试验，则马上联想到Bernoulli试验，及其概率计算公式
•第三句话：
若某事件是伴随着一个完备事件组的发生而发生，则马上联想到该事件的发生概率是用全概率公式计算。
关键：
寻找完备事件组
•第四句话：
若题设中给出随机变量乂~N则马上联想到标准化~N（0,1）来处理有关问题。
•第五句话：
求二维随机变量（X,Y）的边缘分布密度的问题，应该马上联想到先画出使联合分布密度的区域，然后定出X的变化区间，再在该区间内画一条〃y轴的直线，先与区域边界相交的为y的下限，后者为上限，而的求法类似。
•第六句话：
欲求二维随机变量（X,Y）满足条件Y2g（X）或（Y•第七句话：
涉及n次试验某事件发生的次数X的数字特征的问题，马上要联想到对X作（0-1）分解。
即令
•第八句话：
凡求解各概率分布已知的若干个独立随机变量组成的系统满足某种关系的概率（或已知概率求随机变量个数）的问题，马上联想到用中心极限定理处理。
•第九句话：
若为总体X的一组简单随机样本，则凡是涉及到统计量的分布问题，一般联想到用卡方分布，t分布和F分布的足义进行讨论
按照下面计划复习可望达到英语70—85；政治70-85；数学110-130；专业课？
（根据学校题目而定），如果真达不到也不要省我。
其中不同专业的根据自己的计划调整，应该有适合的地方。
先说我自己的情况：
毕业于一个二类本科的学校，不能跟大伙211什么的比，在职考研，跨学校跨专业，概率没有学过，英语四级六级都是根据当时考试特点，强化训练险过（六级是60.5）。
06年考研数学118,英语75,政治69。
一、资料选择
必备参考书：
（后面的星号是推荐星号），下面的计划使用下列参考书，可以用类似的书替换。
数学：
1、李永乐李正元《数学复习全书（经济类）》*****,同样效用的有陈文登的《数学复习指南（经济类）》****,不过文登的重技巧，精华在微积分，永乐的重基础，而旦从近三年的考试来看，全书更加适合考研，文登的有部分内容超纲。
如果已经买了文登那本复习指南，强烈推荐再买本永乐的《线性代数辅导讲义》*****,因为永乐的线代深入浅出，非常好，可以弥补文登的线代那部分的不足。
想考更高分的战友可以两本都选（个人认为全书是必备的）；
2、数学基础过关660题（经济类）*****,不是必备，但是在前期作为打基础的练习非常不错。
3、历年真题。
最好的有两个版本，一个是永乐的《历年试题解析》（数学四）*****,好处在于按章节分类，题目后面还有评注，历年试卷放前面可以自测；另一个西安交大的武忠祥的《历年数学考研试题研究（数学四）》****,好处在于按章节分类，还有考试考点分析和分类统计。
每章后面有同步练习。
如果买不到这两本，其他任何版本的真题都一样***。
还有一个推荐大家买的就是可以单买一本聚焦FOCUS的考研真题集*****,性价比极高，只要2元，多买两本都不会亏，因为真题多做几遍分数就多长几分。
详解就算了。
4、《数学最后冲刺超越135分》（经济类）*****；或者文登的《题型集粹与练习题集》****作为最后冲刺阶段的查漏补缺。
5、李永乐《数学全真模拟经典400题》（数学四）至少做二遍*****。
其他的模拟题不要多买，虽然说是题海战术，但是太多了浪费，而且不做影响心情。
恩波的模拟题***,考试虫的模拟题***,可以下载到合工大的题目最好****，跟真题比较接近
6、另外比较好的辅导书有《考研数学单项选择题解题方法与技巧》****和概率论与数理统计讲义（提高篇）****。
有条件的可以下载新东方的网络课件，这个课件已经足够了，最好能下到永乐05年的线性代数讲课*****,非常经典，还有06费允杰的概率讲课也非常经典*****。
其他田根宝的线代和概率课件就不用了，不推荐；还有文登的冲刺讲课也没有必要，辅导班就更加不用上了。
原则上是能自己看书就不要课件，因为听课非常浪费时间。
实在基础不行就听课吧。
记住一点，好的书可以让你更加快捷的到达终点。
但是书不在多，一定要多做几遍并且总结方法。
课件是非常浪费时间的，能看书就不要使用课件。
英语：
1、词汇方面：
胡敏主编《核心词汇笔记》（其实是陈彩霞编的）*****,考研和六级、托福最大的不同就是考研考的是词汇的深度，所以这本书是不得不备的，原因是重点要掌握的词汇不多，就这些。
网上下载可以打印的司马得考研词汇****,好处是按照组群分类，让你轻松记忆，并且有MP3下载，在平时的零碎时间都可以利用；俞敏洪考研词汇MP3,沪江有下，并且有大纲词汇文本*****。
不是很推荐星火的词汇，如果能背下当然最好，不过书太厚了，计划不好安排，而且会让人没有成就感，背了好几天还没有背多少。
喜欢按文章阅读的可以选用星火的30天贯通考研词汇***。
2、背诵材料：
英语是一门语言，学一门语言，背诵是非常重要的。
最经典的背诵材料是新概念三和四还有一个是新东方的现代文背诵80篇（可以根据自己的情况选用），然后就是作文50篇左右。
新概念二前面基本上是一些记叙文，有一些语言点也比较旧，作文不怎么用的上。
新概念三建议从40课后面开始背，不管你是什么基础，背诵的时候刻意去掌握一些句式和短语，特别是…些好的表达方法要做到脱口而出（即使文章背不出，也要选一段话背熟）。
至于为什么从后面开始，加油站英语版廉达人有所提及。
主要是前面的文章都是记叙文居多，而且文章也主要以幽默或者引起读者学习英语的兴趣为主。
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