届江西省临川高三上学期第一次联考试题 数学理.docx
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届江西省临川高三上学期第一次联考试题数学理
2020届江西省临川高三上学期第一次联考试题
高三数学试题（理）
一、选择题：
本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若
则
A.－2B.2C.
D.－
2.设集合
，若
为空集，则实数a的取值范围为
A.（1，2）B.（－∞，1）∪（2，＋∞）C.[1，2]D.（－∞，1]∪[2，＋∞）
3.设a，b∈R，则“（a－b）a2>0”是“a>b”的
A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件
4.若函数f（x）＝ax－lnx的图象上存在与直线x＋2y－4＝0垂直的切线，则实数a的取值范围是
A.（－2，＋∞）B.（
，＋∞）C.（－
，＋∞）D.（2，＋∞）
5.若x>0，y<0，则下列不等式一定成立的是
A.2x－2y>x2B.
C.2x－2y>1＋xD.2x－2y>1－x
17.世纪德国著名的天文学家开普勒曾经这样说过：
“几何学里有两件宝，一个是勾股定理，另一个是黄金分割。
如果把勾股定理比作黄金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石矿。
”黄金三角形有两种，其中底与腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美的三角形，它是一个顶角为360的等腰三角形（另一种是顶角为1080的等腰三角形）。
例如，五角星由五个黄金三角形与一个正五边形组成，如图所示，在其中一个黄金△ABC中，
。
根据这些信息，可得cos2160＝
A.
B.
C.
D.
7.若函数
，在（－∞，a]上的最大值为4，则a的取值范围为
A.（1，17]B.（1，9]C.[1，17]D.[1，9]
8.将编号为1，2，3，4，5，6的六个小球放入编号为1，2，3，4，5，6的六个盒子中，每个盒子放一个小球，若有且只有三个盒子的编号与放入的小球编号相同，则不同的放法总数是
A.40B.60C.80D.100
9.执行如图所示的程序框图，若输出的结果是7，则判断框内m的取值范围是
A.（30，42]B.（30，42）C.（42，56]D.（42，56）
10.已知F1，F2为椭圆
的两个焦点，B为椭圆短轴的一个端点，
，则椭圆的离心率的取值范围为
A.[0，
]B.[0，
]C.[0，
]D.[
，1]
11.设曲线y＝cosx与x轴、y轴、直线
围成的封闭图形的面积为b，若g（x）＝2lnx－2bx2－kx在[1，＋∞]上的单调递减，则实数k的取值范围是
A.[0，＋∞）B.（0.＋∞）C.[1，＋∞）D.（1，＋∞）
12.设数列{an}的前n项和为Sn，且满足a1＋a2＝2，
，用[x]表示不超过x的最大整数，设bn＝[an]，数列{bn}的前2n项和为T2n，则使T2n>2019成立的最小正整数n是
A.5B.6C.7D.8
二、填空题：
本大题共4小题，每小题5分，共20分。
把答案填在答题卡中的横线上。
13.
展开式中的常数项为.
14.设Sn是公差不为0的等差数列{an}的前n项和，且a7＝－2a1，则
.
15.如图所示是一几何体的三视图，正视图是一等腰直角三角形，且斜边BD长为2，侧视图是一直角三角形，俯视图为一直角梯形，且AB＝BC＝1，则异面直线PB与CD所成角的正切值是。
16.已知双曲线
的左、右焦点分别为F1，F2，点A是双曲线左支上的一点，若直线AF1与直线
平行且△AF1F2的周长为9a，则双曲线的离心率为。
三、解答题：
共70分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
第17－21题为必考题，每道试题考生都必须作答。
第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：
共60分。
17.△ABC的内角A、B、C所对的边长分别为a、b、c，已知acosB＝（4c－b）cosA.
（1）求cosA的值；
（2）若b＝4，点M在线段BC上，
，求△ABC的面积。
18.如图，在三棱锥P－ABC中，平面PAB⊥平面ABC，AB＝6，BC＝
，D，E分别为线段AB，BC上的点，且AD＝2DB，CE＝2EB，PD⊥AC。
（I）求证：
PD⊥平面ABC；
（2）若直线PA与平面ABC所成的角为450，求平面PAC与平面PDE所成的锐二面角大小。
19.已知椭圆
的离心率
，一个长轴顶点在直线y＝x＋2上，若直线l与椭圆交于P，Q两点，O为坐标原点，直线OP的斜率为k1，直线OQ的斜率为k2。
（1）求该椭圆的方程；
（2）若
，试问△OPQ的面积是否为定值？
若是，求出这个定值；若不是，请说明理由。
20.抚州不仅有着深厚的历史积淀与丰富的民俗文化，更有着许多旅游景点。
每年来抚州参观旅游的人数不胜数。
其中，名人园与梦岛被称为抚州的两张名片，为合理配置旅游资源，现对已游览名人园景点的游客进行随机问卷调查。
若不去梦岛记1分，若继续去梦岛记2分。
每位游客去梦岛的概率均为
，且游客之间的选择意愿相互独立。
（1）从游客中随机抽取3人，记总得分为随机变量X，求X的分布列与数学期望；
（2）若从游客中随机抽取m人，记总分恰为m分的概率为Am，求数列{Am}的前6项和；
（3）在对所有游客进行随机问卷调查的过程中，记已调查过的累计得分恰为n分的概率为Bn，探讨Bn与Bn－1之间的关系，并求数列{Bn}的通项公式。
21.已知函数
。
（1）讨论f（x）的单调性。
（2）试问是否存在a∈（－∞，e]，使得
，对x∈[1，＋∞）恒成立？
若存在，求a的取值范围；若不存在，请说明理由。
（二）选考题：
共10分。
请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。
22.[选修4－4：
坐标系与参数方程]（10分）
在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为
为参数），在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换
得到曲线C1，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系（ρ为极径，θ为极角）。
（I）求曲线C的直角坐标方程和曲线C1的极坐标方程；
（II）若射线OA：
θ＝β（ρ>0）与曲线C1交于点A，射线OB：
θ＝β＋
（ρ>0）与曲线C1交于点B，求
的值。
23.[选修4－5：
不等式选讲]（10分）
己知函数
。
（I）当a＝1时，求不等式f（x）≥5的解集；
（II）若关于x的不等式f（x）≤g（x）的解集包含[1，2]，求a的取值集合。
2019－2020届临川一中上学期第一次联合考试
数学答案（理）
一、选择题
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
C
D
A
D
B
B
C
A
A
C
A
B
二、填空题
13．－21214．3215．
16．2
三、解答题
17．解
（1）∵acosB＝（4c－b）cosA，
由正弦定理得：
sinAcosB＝（4sinC－sinB）cosA，…………2分
即sinAcosB＋cosAsinB＝4sinCcosA，即sinC＝4cosAsinC，…………4分
在
中，
，所以cosA＝14…………………………5分
（2）AB→＋AC→＝2AM→，两边平方得：
……6分
由b＝4，|AM→|＝，cosA＝14
得c2＋b2＋2×c×b×14＝4×10，………………8分
可得c2＋16＋2c＝40……………………10分
解得：
c＝4或c＝－6（舍）………………11分
所以△ABC的面积s＝12bcsinA＝2………………12分
18．解：
（1）证明：
∵AC＝2，BC＝2，AB＝6，
∴AC2＋BC2＝AB2，
∴∠ACB＝90°，
∴cos∠ABC＝36＝33.又易知BD＝2，
∴CD2＝22＋
（2）2－2×2×2cos∠ABC＝8，
∴CD＝2，又AD＝4，
∴CD2＋AD2＝AC2，
∴CD⊥AB.
∵平面PAB⊥平面ABC，平面PAB∩平面ABC＝AB，CD⊂平面ABC，
∴CD⊥平面PAB，又PD⊂平面PAB，
∴CD⊥PD，
∵PD⊥AC，AC∩CD＝C，
∴PD⊥平面ABC.……………………5分
（2）由
（1）知PD，CD，AB两两互相垂直，
∴可建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，
∵直线PA与平面ABC所成的角为45°，即∠PAD＝45°，
∴PD＝AD＝4，
则A（0，－4,0），C（2，0,0），B（0,2,0），P（0,0,4），
∴CB―→＝（－2，2,0），AC―→＝（2，4,0），PA―→＝（0，－4，－4）．
∵AD＝2DB，CE＝2EB，
∴DE∥AC，由
（1）知AC⊥BC，
∴DE⊥BC，
又PD⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，
∴PD⊥BC，
∵PD∩DE＝D，
∴CB⊥平面PDE，
∴CB―→＝（－2，2,0）为平面PDE的一个法向量．
设平面PAC的法向量为n＝（x，y，z），
则AC―→PA―→PA＝0，即2x＋4y＝0，－4y－4z＝0，令z＝1，得x＝，y＝－1，
∴n＝（，－1,1）为平面PAC的一个法向量．
∴cos＝－4－212＝－32，
∴平面PAC与平面PDE所成的锐二面角的余弦值为32，
故平面PAC与平面PDE所成的锐二面角为30°.……………………12分
19．解：
由e＝ca＝32，又由于a＞b＞0，一个长轴顶点在直线y＝x＋2上，
可得：
a＝2，c＝，b＝1
（1）故此椭圆的方程为x24＋y2＝1………………5分
（2）设P（x1，y1），Q（x1，y1），当直线PQ的斜率存在时，设其方程为y＝kx＋m
联立椭圆的方程得：
（4k2＋1）x2＋8kmx＋4m2－4＝0
由△＝64k2m2－4（4k2＋1）（4m2－4）＞0，可得m2＜4k2＋1
则x1＋x2＝－8km4k2＋1，x1·x2＝4m2－44k2＋1
|PQ|＝·|x1－x2|＝·
＝4·4k2－m2＋14k2＋1
又点O到直线y＝kx＋m的距离d＝|m|k2＋1
S△OPQ＝12·d·|PQ|＝2|m|·4k2－m2＋14k2＋1
由于k1·k2＝y1y2x1x2＝x1＋x2＋m2x1x2＝－14，
可得：
4k2＝2m2－1
故S△OPQ＝2|m|·2m2－1－m2＋12m2＝1
当直线PQ的斜率不存在时，可算得：
S△OPQ＝1
故△OPQ的面积为定值1……………………12分
20．
（1）X可能取值为3，4，5，6
P（X＝3）＝（13）3＝127
P（X＝4）＝C31（23）（13）2＝627…………1分
P（X＝5）＝C32（23）2（13）＝1227
P（X＝6）＝（23）3＝827…………2分
故其分布列为……………………3分
X
3
4
5
6
P
127
627
1227
827
E（X）＝5………………4分
（2）①总分恰为m的概率Am＝（13）m……………………6分
故S6＝13＝364729……………………8分
②已调查过的累计得分恰为n分的概率为Bn，
得不到n分的情况只有先得n－1分，再得2分，概率为23Bn－1，而B1＝13…………9分
故1－Bn＝23Bn－1，即Bn＝－23Bn－1＋1…………10分
可得Bn－35＝－23（Bn－1－35），B1－35＝－415…………11分
可得Bn＝35＋25·（－23）n……………………12分
21．解：
（1）f/（x）＝xlnx－alnx＋a－x＝（x－a）（lnx－1），x∈（0，＋∞）………………1分
①当a＝e时，f/（x）＝（x－e）（lnx－1）≥0，f（x）在（0，＋∞）上单调递增…………2分
②当a≤0时，x－a＞0，f（x）在（0，e）上单调递减，在（e，＋∞）上单调递增…………3分
③当0＜a＜e时，f（x）在（a，e）上单调递减，在（0，a），（e，＋∞）上单调递增…………4分
④当a＞e时，f（x）在（e，a）上单调递减，在（0，e），（e，＋∞）上单调递增…………6分
（2）假设存在a∈（－∞，e]，使得f（x）＞3＋14sinaπ4对任意x∈[1，＋∞）恒成立
则f
（1）＝2a－34＞3＋14sinaπ4，即8a－sinaπ4－15＞0…………7分
设g（x）＝8x－sinπx4－15，g/（x）＝8－π4cosπx4＞0，则g（x）单调递增
由于g
（2）＝0，所以a＞2
①当a＝e时，f（x）在[1，＋∞）上单调递增，所以f（x）min＝f
（1），所以a＞2，
从而a＝e满足题意…………8分
②当2＜a＜e时，f（x）在（a，e）上单调递减，在（0，a），（e，＋∞）上单调递增
所以14aπ414aπ4aπ4，可aπ4aπ－e2－12＞0
（1）…………9分
设h（x）＝4ex－sinπx4－e2－12，h/（x）＝4e－π4cosπx4＞0，则h（x）是单调递增函数…………10分
由于h
（2）＝8e－e2－13＞0
可得h（x）的零点小于2，从而不等式组
（1）的解集为（2，＋∞）
所以2＜a＜e…………11分
综上，存在a∈（－∞，e]，使得f（x）＞3＋14sinaπ4对x∈[1，＋∞]恒成立，
且a的取值范围是（2，e]…………12分
22．
（1）C：
x2＋y2＝1，
曲线C1：
x/＝2cosαy/＝sinα，得x/2＋4y/2＝4…………2分
即ρ2cos2θ＋4ρ2sin2θ＝4………………5分
（2）θ＝βρ2cos2θ＋4ρ2sin2θ＝4，有1ρ2＝cos2θ4＋sin2θ…………7分
∴1|OA|2＝cos2θ4＋sin2θ，…………8分
同理1|OB|2＝2＋sin2（θ＋π2）＝sin2θ4＋cos2θ…………9分
故1|OA|2＋1|OB|2＝54………………10分
23．
（1）f（x）＝|x－2|＋|x－1|≥5可解得x∈（－∞，－1]∪[4，＋∞）…………5他
（2）由|x－a2＋1a|＋|x－1|≤4－|x＋1|在[1，2]上恒成立，
由于a＞0，可得a2＋1a≥2…………6分
等价于a2＋1a－x＋x－1≤4－x－1在[1，2]上恒成立…………7分
即a2＋1a≤4－x在[1，2]上恒成立，…………8分
即a2＋1a≤2，可得a＝1，…………9分
故a的取值集合为{1}…………10分
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