程序设计竞赛基础实训42.docx

程序设计竞赛基础实训42.docx

《程序设计竞赛基础实训42.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《程序设计竞赛基础实训42.docx（22页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

程序设计竞赛基础实训42

2012年程序设计竞赛基础实训42

1

8统计

试统计含有数字7且不能被7整除的m位整数的个数s1，并指出这s1个数中不含有数字4的整数的个数s2。

输入m,输出s1,s2。

m=5,输出：

m=6,输出：

（1）设计要点

首先通过乘m-1个10计算m位数的起点b=10^（m-1）,为枚举提供范围t（b—10*b-1）。

为了检测m位数t含有多少个数字7，每个m位整数t赋给d（以保持t不变）,然后通过m次求余先后分离出t的m个数字c，if（c==7）f++,统计整数t中数字7的个数f。

同时统计数字4的个数g。

如果f>0，说明整数t中含有数字7。

如果g=0，说明整数t中不含数字4。

对每一个m位整数，据f>0&&t%7>0,s1作相应统计。

据f>0&&t%7>0&&g==0,s2作相应统计。

（2）程序设计

//统计含数字7且不能被7整除的m位整数的个数s1，其中不含数字4的个数s2

#include

voidmain（）

{intc,f,g,i,j,m;

longb,d,s1,s2,t;

printf（"请输入位数m（2<=m<=9）:

"）;scanf（"%d",&m）;

b=1;s1=0;s2=0;

for（i=2;i<=m;i++）b=b*10;//计算m位数的起点

for（t=b;t<=10*b-1;t++）//枚举每一个m位数

{d=t;

f=0;g=0;

for（j=1;j<=m;j++）

{c=d%10;d=d/10;

if（c==7）f++;//统计数字7的个数

if（c==4）g++;//统计数字4的个数

}

if（f>0&&t%7>0）s1++;//统计含数字7且不能被7整除数的个数

if（f>0&&t%7>0&&g==0）s2++;//统计其中不含数字4的个数

}

printf（"s1=%ld,s2=%ld\n",s1,s2）;

}

（3）程序运行示例

请输入位数m（2<=k<=9）:

5

s1=32152,s2=20412

请输入位数m（2<=k<=9）:

6

s1=366522,s2=208300

变通1：

试统计含有数字7且能被7整除的没有重复数字的m位整数的个数s1，并指出其中最大的一个数。

为了比较是否存在重复数字，设置f数组，f[3]=2为2个数字“3”。

#include

voidmain（）

{intc,e,g,i,j,m,f[10];

longb,d,s1,t;

printf（"请输入位数m（2<=m<=9）:

"）;scanf（"%d",&m）;

b=1;s1=0;

for（i=2;i<=m;i++）b=b*10;//计算m位数的起点

for（t=b;t<=10*b-1;t++）//枚举每一个m位数

{d=t;

for（j=0;j<=9;j++）f[j]=0;//数组清零

for（j=1;j<=m;j++）

{c=d%10;d=d/10;

f[c]++;//统计数字c的个数

}

for（g=0,j=0;j<=9;j++）

if（f[j]>1）g=1;//存在重复数字标注g=1

if（f[7]>0&&t%7==0&&g==0）

{s1++;e=t;}//统计个数,并把满足条件的数赋值给e

}

printf（"s1=%ld,e=%d\n",s1,e）;

}

请输入位数m（2<=m<=9）:

5

s1=1978,e=98763

请输入位数m（2<=m<=9）:

6

s1=11704,e=987651

变通2：

试统计恰含一个数字7与2个数字4且能被7整除的m（m>3）位整数的个数s1，并指出其中从小到大排序的第n个数。

#include

voidmain（）

{intc,e,i,j,m,n,f[10];

longb,d,s1,t;

printf（"请输入m,n:

"）;scanf（"%d,%d",&m,&n）;

b=1;s1=0;

for（i=2;i<=m;i++）b=b*10;//计算m位数的起点

for（t=b;t<=10*b-1;t++）//枚举每一个m位数

{d=t;

for（j=0;j<=9;j++）f[j]=0;//数组清零

for（j=1;j<=m;j++）

{c=d%10;d=d/10;

f[c]++;//统计数字c的个数

}

if（f[7]==1&&f[4]==2&&t%7==0）

{s1++;

if（s1==n）e=t;//统计个数,并把第n个数赋值给e

}

}

printf（"s1=%ld,e=%d\n",s1,e）;

}

请输入m,n:

6,1000

s1=4096,e=417242

9真分数最值

统计分母在指定区间[a,b]的最简真分数（分子小于分母，且分子分母无公因数）共有多少个，并求其中最接近指定分数x/y的最简真分数。

输入a,b,输出[a,b]中最简真分数的个数、指出最接近417/2011的最简真分数。

测试数据：

a=10,b=99,输出：

a=100,b=999,输出：

（1）设计要点

设计求解一般情形：

统计分母在指定区间[a,b]的最简真分数的个数,并求这些最简真分数的和（正整数a,b从键盘输入）。

设分数分子为i，分母为j，最简真分数的个数为n，其和为s。

在指定范围[a,b]内枚举分数的分母j:

a——b；

同时对每一个分母j枚举分子i:

1——j-1。

对每一分数i/j，置标志t=0，然后进行是否存在公因数的检测。

如果分子i与分母j存在大于1的公因数u，说明i/j非最简真分数,应予舍略。

因为分子分母同时约去u后，分母可能不在[a,b]，即使在[a,b]时前面已作了统计求和。

注意到公因数u的取值范围为[2,i]，因而设置u循环在[2,i]中枚举，若满足条件

j%u==0&&i%u==0

说明分子分母存在公因数，标记t=1后退出，不予统计与求和。

否则保持原t=0，说明分子分母无公因数，用n实施迭代“n=n+1”统计个数。

为了求最接近s=x/y的最简真分数，设双精度型变量smin存储｜i/j-x/y|的最小值，把分数i/j转变为double型减去s并求绝对值与smin比较，若fabs（（double）i/j-s）

每得一个最简真分数i/j，就与smin比较一次。

枚举完成，则i1/j1即为所求最接近x/y的最简真分数。

（2）求最简真分数程序设计

//求分母在[a,b]的最简真分数的个数,及最接近x/y的分数

#include

#include

voidmain（）

{inta,b,i,j,i1,j1,t,u,x,y;longn;

doubles,smin;

printf（"最简真分数分母在[a,b]内,请确定a,b:

"）;

scanf（"%d,%d",&a,&b）;//输入区间的上下限

printf（"指定分数为x/y,请确定x,y:

"）;

scanf（"%d,%d",&x,&y）;//输入指定分数

n=0;s=（double）x/y;smin=10;

for（j=a;j<=b;j++）//枚举最简真分数的分母

for（i=1;i<=j-1;i++）//枚举最简真分数的分子

{for（t=0,u=2;u<=i;u++）//枚举因数

if（j%u==0&&i%u==0）

{t=1;break;}//分子分母有公因数,则舍去

if（t==0）

{n++;//统计最简真分数个数

if（fabs（（double）i/j-s）

{smin=fabs（（double）i/j-s）;i1=i;j1=j;}

//比较求最接近x/y的最简真分数

}

}

printf（"最简真分数个数:

%ld\n",n）;

printf（"最接近%d/%d的最简真分数为:

%d/%d\n",x,y,i1,j1）;

}

（3）程序运行示例

最简真分数分母在[a,b]内,请确定a,b:

10,99

指定分数为x/y,请确定x,y:

417,2011

最简真分数个数:

2976

最接近417/2011的最简真分数为:

17/82

最简真分数分母在[a,b]内,请确定a,b:

100,999

指定分数为x/y,请确定x,y:

417,2011

最简真分数个数:

300788

最接近417/2011的最简真分数为:

62/299

10特定数字组成的平方数

用数字2,3,5,6,7,8,9可组成多少个没有重复数字的7位平方数？

解：

求出最小7位数的平方根b,最大7位数的平方根c.

用a枚举[b，c]中的所有整数，计算d=a*a，这样确保所求平方数在d中。

设置f数组统计d中各个数字的个数。

如果f[3]=2，即平方数d中有2个“3”。

检测若f[k]>1（k=0——9），说明d中存在有重复数字，返回。

在不存在重复数字的情形下，检测若f[0]+f[1]+f[4]=0，说明7位平方数d中没有数字“0”,“1”,“4”,d满足题意要求，打印输出。

//组成没有重复数字的7位平方数

#include

#include

voidmain（）

{intk,m,n,t,f[10];

longa,b,c,d,w;

n=0;

b=sqrt（2356789）;c=sqrt（9876532）;

for（a=b;a<=c;a++）

{d=a*a;w=d;//确保d为平方数

for（k=0;k<=9;k++）f[k]=0;

while（w>0）

{m=w%10;f[m]++;w=w/10;}

for（t=0,k=1;k<=9;k++）

if（f[k]>1）t=1;//测试平方数是否有重复数字

if（t==0&&f[0]+f[1]+f[4]==0）//测试平方数中没有数字0,1,4

{n++;

printf（"%2d:

",n）;

printf（"%ld=%ld^2\n",d,a）;

}

}

printf（"共可组成%d个没有重复数字的7位平方数.\n",n）;

}

1:

3297856=1816^2

2:

3857296=1964^2

3:

5827396=2414^2

4:

6385729=2527^2

5:

8567329=2927^2

6:

9572836=3094^2

共可组成6个没有重复数字的7位平方数.

变通1：

用1,2,…，9这9个数字可以组成多少个没有重复数字的9位平方数？

//组成没有重复数字的9位平方数

#include

#include

voidmain（）

{intk,m,n,t,f[10];

longa,b,c,d,w;

n=0;

b=（int）sqrt（123456789）;c=（int）sqrt（987654321）;

for（a=b;a<=c;a++）

{d=a*a;w=d;//确保d为平方数

for（k=0;k<=9;k++）f[k]=0;

while（w>0）

{m=w%10;f[m]++;w=w/10;}

for（t=0,k=1;k<=9;k++）

if（f[k]>1）t=1;//测试平方数是否有重复数字

if（t==0&&f[0]==0）//测试平方数中没有重复数字，也没有数字0

{n++;

printf（"%2d:

",n）;

printf（"%ld=%ld^2\n",d,a）;

}

}

printf（"共可组成%d个没有重复数字的9位平方数.\n",n）;

}

1:

139854276=11826^2

2:

152843769=12363^2

3:

157326849=12543^2

4:

215384976=14676^2

5:

245893761=15681^2

6:

254817369=15963^2

7:

326597184=18072^2

8:

361874529=19023^2

9:

375468129=19377^2

10:

382945761=19569^2

11:

385297641=19629^2

12:

412739856=20316^2

13:

523814769=22887^2

14:

529874361=23019^2

15:

537219684=23178^2

16:

549386721=23439^2

17:

587432169=24237^2

18:

589324176=24276^2

19:

597362481=24441^2

20:

615387249=24807^2

21:

627953481=25059^2

22:

653927184=25572^2

23:

672935481=25941^2

24:

697435281=26409^2

25:

714653289=26733^2

26:

735982641=27129^2

27:

743816529=27273^2

28:

842973156=29034^2

29:

847159236=29106^2

30:

923187456=30384^2

共可组成30个没有重复数字的9位平方数.

11构建横竖折对称方阵

试观察图所示的横竖折对称方阵的构造特点，总结归纳其构造规律，设计并输出n（奇数）阶对称方阵。

图7阶横竖对称方阵

输出15阶、19阶横竖折对称方阵。

解:

这是一道培养与锻炼观察能力、归纳能力与设计能力的有趣案例。

设置2维数组a[n][n]存储n阶方阵的元素，数组a[n][n]就是数据结构。

本案例求解算法主要是给a数组赋值与输出。

一个一个元素赋值显然行不通，必须根据方阵的构造特点，归纳其构建规律，分区域给各元素赋值。

（1）构造规律与赋值要点

观察横竖折对称方阵的构造特点，方阵横向与纵向正中有一对称轴。

两对称轴所分4个小矩形区域表现为同数字横竖折递减，至4顶角元素为1。

设阶数n（奇数）从键盘输入，对称轴为m=（n+1）/2。

设置2维a数组存储方阵中元素，行号为i，列号为j，a[i][j]为第i行第j列元素。

可知主对角线（从左上至右下）有：

i=j；

次对角线（从右上至左下）有：

i+j=n+1。

按两条对角线把方阵分成上部、左部、右部与下部4个区,如图所示。

图对角线分成的4个区

对角线上元素可归纳到上、下部，即上、下部区域带等号即可。

上、下部按列号j的函数m-abs（m-j）赋值：

if（i+j<=n+1&&i<=j||i+j>=n+1&&i>=j）

a[i][j]=m-abs（m-j）;

左、右部按行号i的函数m-abs（m-i）赋值：

if（i+jj||i+j>n+1&&i

a[i][j]=m-abs（m-i）;

输出时,按m-a[i][j]打印。

（2）程序设计

//横竖折对称方阵

#include//调用2个头文件

#include

voidmain（）

{inti,j,m,n,a[30][30];//定义数据结构

printf（"请确定方阵阶数（奇数）n:

"）;scanf（"%d",&n）;

if（n%2==0）{printf（"请输入奇数！

"）;return;}

m=（n+1）/2;

for（i=1;i<=n;i++）

for（j=1;j<=n;j++）

{if（i+j<=n+1&&i<=j||i+j>=n+1&&i>=j）

a[i][j]=m-abs（m-j）;//方阵上、下部元素赋值

if（i+jj||i+j>n+1&&i

a[i][j]=m-abs（m-i）;//方阵左、右部元素赋值

}

printf（"%d阶对称方阵为:

\n",n）;

for（i=1;i<=n;i++）

{for（j=1;j<=n;j++）//输出对称方阵

printf（"%3d",m-a[i][j]）;

printf（"\n"）;

}

}

12倒立的勾股数

把求勾股数变通为求倒立的勾股数。

定义满足方程式

的正整数x,y,z，称为一组倒立的勾股数。

试求指定区间[a,b]内的倒立勾股数组。

（1）求指定区间[30,100]内的倒立勾股数组.

（2）求指定区间[100,200]内的倒立勾股数组.

（1）设计要点

显然,倒立勾股数组中x,y不可能相等,且x,y>z。

为避免重复,不妨设x>y>z。

在指定区间[a,b]上根据x,y,z的大小关系设置循环:

z从a至b-2,y从z+1至b-1,x从y+1至b。

对每一组x,y,z,如果直接应用条件式

1/（x*x）+1/（y*y）=1/（z*z）

作判别，因分数计算的不可避免的误差，有可能把一些成立的倒立勾股数组解遗失,即造成遗漏。

注意到上述分数条件式作通分整理得到的下面的正整数条件式

z*z*（x*x+y*y）=x*x*y*y

程序中为防止发生解的遗漏，应用上述整数条件作判别是适宜的。

（2）求区间内倒立勾股数程序设计

//求指定区间内倒立勾股数组

#include

#include

voidmain（）

{inta,b,n;longx,y,z;

printf（"求指定区间[a,b]内倒立的勾股数组."）;

printf（"\n请输入区间[a,b]的上下限a,b:

"）;

scanf（"%d,%d",&a,&b）;

printf（"\n区间[%d,%d]中倒立的勾股数组有:

\n",a,b）;

n=0;

for（z=a;z<=b-2;z++）

for（y=z+1;y<=b-1;y++）

for（x=y+1;x<=b;x++）

if（z*z*（x*x+y*y）==x*x*y*y）//满足倒立勾股数条件时输出

{n++;

printf（"1/%ld^2+1/%ld^2=1/%ld^2\n",x,y,z）;

}

printf（"共%d组勾股数.",n）;

}

（3）程序运行示例

区间[30,100]中倒立的勾股数组有:

1/60^2+1/45^2=1/36^2

1/80^2+1/60^2=1/48^2

1/100^2+1/75^2=1/60^2

共3组勾股数.

区间[100,200]中倒立的勾股数组有:

1/180^2+1/135^2=1/108^2

1/200^2+1/150^2=1/120^2

共2组勾股数.

13基于素数的代数和

定义s（n）=1*3-3*5-5*7+7*9+9*11±…-25*27±…±（2n-1）*（2n+1）

（一般项（2k-1）*（2k+1）的符号识别：

当（2k-1）与（2k+1）中有且只有一个素数，取“+”；其余取“-”。

）

1）求s（1000）。

2）设1<=n<=1000，当n为多大时，s（n）最大。

3）设1<=n<=1000，当n为多大时，s（n）最小。

（1）C程序设计

//基于素数的整数和

#include

#include

voidmain（）

{intt,j,n,k,k1,k2,a[3000];longs,smax,smin;

printf（"请输入整数n:

"）;

scanf（"%d",&n）;

for（k=1;k<=n+1;k++）a[k]=0;

for（k=2;k<=n+1;k++）

{for（t=0,j=3;j<=sqrt（2*k-1）;j+=2）

if（（2*k-1）%j==0）

{t=1;break;}

if（t==0）a[k]=1;//标记第k个奇数2k-1为素数

}

s=0;smax=0;smin=10000;

for（k=1;k<=n;k++）

{if（a[k]+a[k+1]==1）

s+=（2*k-1）*（2*k+1）;//实施代数和

else

s-=（2*k-1）*（2*k+1）;

if（s>smax）{smax=s;k1=k;}//比较求最大值smax

if（s

}

printf（"s（%d）=%ld\n",n,s）;

printf（"当k=%d时s有最大值:

%ld\n",k1,smax）;

printf（"当k=%d时s有最小值:

%ld\n",k2,smin）;

}

（2）运行结果

请输入整数n:

300

s（300）=1142382

当k=255时s有最大值:

2986031

当k=174时s有最小值:

-174700

请输入整数n:

1000

s（1000）=-161348876

当k=387时s有最大值:

7076531

当k=985时s有最小值:

-181070411

14幂序列

1.问题提出

求解双幂集合

的元素由小到大排序的第n项与前n项之和。

输入正整数n，输出序列第n项与前n项之和。

测试数据：

（1）40

（2）46

2.幂序列求解要点

集合由2的幂与3的幂组成，实际上给出的是两个递推关系。

为了实现从小到大排列，设置a,b两个变量，a为2的幂，b为3的幂，显然a≠b。

设置k循环（k=1,2,…,n，其中n为键盘输入整数），在k循环外赋初值：

a=2，b=3，s=0。

在k循环中通过比较赋值：

当a

当a>b时，由赋值f（k）=b确定为序列的第k项；然后b=b*3，即b按递推规律乘3，为后一轮比较作准备。

每计算一项f（k），通过累加实现求和：

s=s+f（k）。

3.幂序列程序实现

//幂序列求解

#include

voidmain（）

{intk,n,t,p2,p3;longa,b,s,f[100];

printf（"求数列的第n项与前n项和,请输入n:

"）;