三角形全等20个经典试题图形变换.docx
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三角形全等20个经典试题图形变换
三角形全等20个经典试题（图形变换）
.1.四边形ABC配正方形（提示：
正方形四边相等，四个角都是90）
（1）如图1,点G是BC边上任意一点（不与点B、C重合），连接AG
作BFLAG于点F,D」AG于点E.求证：
△ABF^ADAE
（2）直接写出
（1）中，线段EF与AF、BF的等量关系
（3）①如图2,若点G是CD边上任意一点（不与点C、D重合），连接AG作BJAG丁点F,DNAG丁点E,则图中全等三角形是,线段EF与AF、BF的等量关系是
②如图3,若点G是CD延长线上任意一点，连接AG作BFLAG于点F,DE±AG丁点E,线段EF与AF、BF的等量关系是
（4）若点G是BC延长线上任意一点，连接AG作BFLAG丁点F,DNAG丁点E,请画图、探究线段EF与AF、BF的等量关系.
2小明、小敏两人一起做数学作业，小敏把题读到如图
（1）所示，CdA己BE±AC时，还没把题读完，就说：
这题一定是求证ZB=ZC,也太容易了.”她的证法是：
由CdAB,B」AC,得ZADC=AEB=90,公共角ZDAC=BAE所以△DA（^AEAB由全等三角形的对应角相等得ZB=ZC.
小明说：
小敏你错了，你未弄活本题的条件和结论，即使有CEUA己B」AG公共角ZDAC=BAE你的推理也是错误的.看我画的图
（2）,显然△DAC^AEAB是不全等的.再说本题不是要证明ZB=ZC,而是要证明BE=CD”
（1）根据小敏所读的题，判断2B=ZC”对吗？
她的推理对吗？
若不对，请做出正确的推理.
（2）根据小明说的，要证明BE=CD必然是小敏丢了题中条件，请你把小敏丢
的条件找回来，并根据找出的条件，你做出判断BE=CD勺正确推理.
（3）要判断三角形全等，从这个问题中你得到了什么启发？
3请阅读下列材料：
问题：
如图1,在正方形ABC的正方形CEFG^,点巳CE在同一条直线上，M是线段AF的中点，连接DMMG探究线段DM巨MGR量与位置有何关系.小聪同学的思路是：
延长DM咬GF丁H,构造全等三角形，经过推理使问题得到解决.
请你参考小聪同学的思路，探究并解决下列问题：
（1）直接写出上面问题中线段DM巨MGfc!
与位置有何关系
（2）将图1中的正方形CEF敬点C顺时针旋转，使正方形CEFG亏角线CF恰好与正方形ABCD勺边BC在同一条直线上，原问题中的其他条件不变（如图2）.你在
（1）中得到的两个结论是否发生变化？
写出你的猜想并加以证明.
（3）如图3,将正方形CEF硫点C顺时针旋转任意角度，原问题中的其他条件不变，写出你的猜想.
4在课外小组活动时，小慧拿来一道题（原问题）和小东、小明交流.
原问题：
如图1,已知^ABCZACB=90,ZABC=45,分别以ABBC为边向外
ABE^ABCE且DA=DBEB=ECZADB£BEC=90,连接DE交AB于点F.探究线段DF与EF的数量关系.
小慧同学的思路是：
过点D作D&AB丁G,构造全等三角形，通过推理使问题得解.
小东同学说：
我做过一道类似的题目，不同的是ZABC=30,ZADB^BEC=60
小明同学经过合情推理，提出一个猜想，我们可以把问题推广到一般情况.
请你参考小慧同学的思路，探究并解决这三位同学提出的问题：
（1）写出原问题中DF与EF的数量关系；
（2）如图2,若ZABC=30,ZADB^BEC=60,原问题中的其他条件不变，你在
（1）中得到的结论是否发生变化？
请写出你的猜想并加以证明；
（3）如图3,若ZADB^BEC=ZABC原问题中的其他条件不变，你在
（1）中得到的结论是否发生变化？
请写出你的猜想并加以证明。
DD
旬圈2黔
5阅读下列材料：
问题：
如图1,在菱形ABCLft菱形BEF引，ZABCWBEF=60,点A,B,E在同一条直线上，P是线段DF的中点，连接PGPC,探究PG与PC的位置关系
小颖同学的思路是：
延长GP交DC于点H,构造全等三角形，经过推理使问题得到解决.
请你参考小颖同学的思路，探究并解决下列问题：
（1）请你写出上面问题中线段PG与PC的位置关系；
（2）将图1中的菱形BEF成点B顺时针旋转，使菱形BEFG勺对角线BF恰好与
菱形ABCD勺边AB在同一条直线上，原问题中的其他条件不变（如图2）.你在
（1）中得到的结论是否发生变化？
写出你的猜想并加以证明，
6把两个大小不同的等腰直角三角形三角板按照一定的规则放置：
在同一平■面内
将直角顶点叠合
（1）图1是一种放置位置及由它抽象出的几何图形，EkC、D在同一条直线上，连接EC.请找出图中的全等三角形（结论中不含未标识的字母），并说明理由；
（2）图2也是一种放置位置及由它抽象出的几何图形，A、GD在同一条直线上，连接BD连接EC并延长与BD交丁点F.请找出线段BD和EC的位置关系，并说明理由；
（3）请你：
1画出一个符合放置规则且不同丁图1和图2所放位置的几何图形；
2写出你所画几何图形中线段BD和EC的位置和数量关系；
3
上面第②题中的结论在按照规则放置所抽象出的几何图形中都存在吗？
7如图1,在△ABC中，ZACB=90,AC=BC直线M启过点C,且AEUM时D,
BE^M时E.
（1）①写出图1中的一对全等三角形；②写出图1中线段DEADBE所具有的等量关系；（不必说明理由）
（2）当直线MN^点C旋转到图2的位置时，请说明DE=AD-BE勺理由；
（3）当直线MN^点C旋转到图3的位置时，试问DEADBE乂具有怎样的等量关系？
请直接写出这个等量关系（不必说明理由）.
8如图，在Rt△AB兽日Rt△DEF中，ZABC=90,AB=4BC=6ZDEF=90,DE=EF=4
（1）移动△DER使边DE与AB重合（如图1），再将△DEF沿AB所在直线向左平移，使点F落在AC上（如图2）,求BE的长；
（2）将图2中的ADEF绕点A顺时针旋转，使点F落在BC上，连接AR如图3）.请
找出图中的全等三角形，并说明它们全等的理由.（不再添加辅助线，不再标注
其它字母）
9复习全等三角形”的知识时，老师布置了一道作业题：
如下图①，已知在^ABC中，AB=AC?
是左ABCft部任意一点，将AP绕A顺时针旋转至AQ使得ZQAP=
/BAG连接BQCP,则BQ=CP”
（1）小亮是个爱动脑筋的同学，他通过对图①的分析，证明了△AB（^AACP从而证得BQ=CP请你帮小亮完成证明.
（2）
之后，小亮乂将点P移到等腰三角形ABO外，原题中的条件不变，BQ=CP仍然成立吗？
若成立，请你就图②给出证明.若不成立，请说明理由.
10如图1,
（1）△入8。
与左ADE均是顶角为40°的等腰三角形，BC、DE分别是底边
求证：
BD=CE
（2）拓展探究
如图2,△ACBmDCE均为等腰直角三角形，/ACBWDCE=90,点A、DE在同一直线上，CM^DCE中DE边上的高，连接BE.
①求/AEB的度数；
②判断线段CM,AMBE之间的数量关系，并说明理由
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11如图，△ACBmDCE均为等腰三角形，点A,D,E在同一直线上，连接BE.
（1）如图1,若ZCABWCBAWCDEWCED=50
1求证：
AD=BE
2求ZAEB的度数.
12如图，点A,B,C在同一直线上，△ABD,△BCE都是等边三角形.
（1）求证：
AE=CD
（2）若MN分别是AE,CD的中点，试判断△BMN勺形状，并证明你的结论.
13
如图，点C为线段AB上任意一点（不与点A、B重合），分别以ACBC为一腰在AB的同侧作
等腰△ACD和△BCECA=CDCB=CEZACD^ZBCE都是锐角，且/ACDWBCE
连接AE交CD于点M,连接BD交CE于点N,AE与BD交于点P,连接CP
（1）求证：
△ACE^ADCB
（2）请你判断△ACM^ADPM勺形状有何关系并说明理由;
（3）求证：
/APCWBPG
14如图，在等边^ABC中，线段AM为BC边上的中线，动点D在直线AMLh时,
以CD为一边且在CD的下方作等边△CDE连结BE。
（1）延长BE交射线AM于点F,请把图形补充完整，并求/BFM勺度数
（2）当动点D在射线AM上，且在BC下方时，设直线BE与直线AM的交点为F,/B的大小是否发生变化？
若不变，请在
备用图中画出图形，并直接写出/BFMfi勺度数，若变化，请写出变化规律。
15如图，在△ABC^^DCE^,AB=DCAC=DBAgDB交于点M
（1）求证：
△ab（^adcb；
（2）过点C作CN/BD过点B作BN//ACCN与BN交于点N,试判断线段BN与CN的数量关系，并证明你的结论.
16如图，四边形ABC*矩形，△PBC和△QCDtE是等边三角形，且点P在矩形上方，点Q在矩形内.
求证：
（1）ZPBAZPCQ30;
（2）PA=PQ
17数学课上，张老师出示了问题：
如图1,四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点.NAEF=90，且EF交正方形外角ZDCG的平行线CF于点F,求证：
AE=EF.
经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：
取AB的中点M连接ME则AM=EC易证^AMEECF，所以AE=EF.
在此基础上，同学们作了进一步的研究：
（1）小颖提出：
如图2,如果把“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上（除B,C外）的任意一点”，其它条件不变，那么结论“AE=EF‘仍然成立，你认为小颖的观点正确吗？
如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由；
（2）小华提出：
如图3,点E是BC的延长线上（除C点外）的任意一点，其他条件不变，结论“AE=EF'仍然成立.你认为小华的观点正确吗？
如果正确，写出证明过程；如果
不正确，请说明理由.
18在四边形ABCg,AB=BCBF是ZABC的平分线，AF//DC连接AGCF,
求证：
CA是ZDCF的平■分线。
19如图，四边形ABC*矩形，△PBCmQCEWE是等边三角形，且点P在矩形上方，点
在矩形内.
求证：
（1）ZPBAfZPCQ30;
（2）PA=PQ
20如图
（1）,已知正方形ABC所直线MN的上方，BC在直线MN±,E是BC上一点,以AE为边在直线MN的上方作正方形AEFG
（1）连接GD求证：
△AD（^AABE
（2）连接FC,观察
并猜测/FCN的度数，并说明理由；
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