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蜗壳计算讲解
第五章蜗壳
45蜗壳形式与其主要尺寸的选择
现代的中型及大型水轮机都是用蜗壳引导进水的。
各种水力实验中所进行的试验指出，
设计合理的蜗壳，它的引水能力及效率与小型水轮机所采用的明槽式装置及罐式机壳相比较并
无明显的降低。
蜗壳的优点是可以大大缩短机组之间的距离，这在选择电站厂房的大小时，有
着很大的意义。
从蜗壳的研究当中，可以确定各种不同水头下蜗壳内的最佳水流速度，最合理的蜗壳形
式，经及制造它的材料。
大部分的转桨式及螺桨式水轮机都采用梯形截面的混凝土蜗壳。
目前设计混凝土蜗壳的
最高水头是30～35公尺。
然而，有很多大型水电站，在水头低于35公尺时还应用金属蜗壳。
轴向辐流式水轮机通常采用金属蜗壳，按照水头及功率的不同，金属蜗壳可由铸铁或铸
钢浇铸（图62），焊接（图63）或铆接而成。
图64所示是根据水轮机的水头及功率，对于各
种不同型式蜗壳通常所建议采用的范围。
蜗壳的大小决定了它的进水截面，而进水截面是与所采取的进水速度有关的。
最通用的进水速度与水头之间的关系，对于12～15公尺以下的水头来说如下式所示：
v
kH
c（84）
v
式中vc—蜗壳中的进水速度；H—有效水头；kv—速度系数，约为1.0。
中水头或高水头则常应用下列关系：
vck3H（85）
v0
如果把列宁格勒斯大林金属工厂和其它制造厂所出品的中水头及高水头水轮机的现有蜗
壳进水速度画在圆上，那么对于水头超过12～15公尺时，我们可得符合下式的曲线：
vc1.5H
0
3
然而，有许多由列宁格勒斯大林金属工厂及外国厂家制造的良好的蜗壳，进水速度大大
超过了所示的数值。
图65所示为根据有效水头选择蜗壳进水速度用的诺模图，此图是根据上述的公式而做成
的。
46蜗壳的水力计算
当工质—水，流经水轮机的运动机构—转轮时，由于运动量的变化而产生流体能量的转
变。
这可用水轮机的基本方程式来表示：
vuvuur
u
η
12
12
gh
由蜗壳所产生的环流（旋转）及速度vu1只与当时一瞬间的流量Q和蜗壳尺寸有关。
蜗壳
的形状是由它的形式，水轮机机构和设备的结构布置方式来决定的。
蜗壳的方向（向左或向右）
只根据建筑物的结构情况来决定。
目前所有蜗壳都是设计成向右旋转的。
混凝土的蜗壳，通常采用丁字形或Γ字形的形状，这是为了水电站厂房混凝土建筑的装
置模板与配置钢筋的方便。
金属蜗壳是做成圆形截面的，在蜗壳的狭窄部分逐渐转变为椭圆形。
蜗壳的计算，通常根据这样的假设，即：
蜗壳中的水流符合于所设面积定律，这就是说
当流体绕公共轴运动时，每一段微小流线的运动量力矩为一常数。
我们引述一下面积定律公式的一般结论。
在蜗壳的任意节段中取沿着曲线运动的微小体积的流体，因之，在这微小体积流体上作
用着引起压力降落的离心力，这个压力的降落是按照此微小体积流体与转轴距离而有所不同。
根据伯努利方程式，随着这个压力的降落同时引起速度的增加。
作用在所取微小质量上（图66）的离心力为：
dC
2
v
u
dm
r
r
因为dmrdrdφb（b—所取体积的高度），则
g
r
dCu2
bvdrdg
由于这个离心力相应地在小段距离dr上产生的
微小压力上升为：
dp
dC
brd
＝
r
g
2
v
u
r
dr
由伯努利的微分方程式求得dp,代入上式，我们得：
dr
r
dv
u
v
u
0
积分之，并设当r=r1时,速度vu=vu1,我们得：
vu1ru
1（86）
vrk
常数
在工厂实际工作中，蜗壳的计算可采用解析法或圆解法。
下面我们将论述矩形截面的
混凝土蜗壳的计算。
图解计算法
首先，从结构上着眼定出蜗壳截面形状，此截面形状常常决定于水电站的形式。
选择
进水速度值及进水截面尺寸，然后用下列方法求出蜗壳的常数。
经过进水截面F1（图67）的流量为：
Q
1＝＝u（87）
vdF
Q
360
F
式中Q—流经水轮机总流量；θ—蜗壳的总包圆角。
以
K
v及dFbdr代入积分式中，我们得
u
r
Q
1
k（88）
b
dr
r
F
b
并且dr
r
F
可用圆解总和法求得。
其次，应该注意的是流经每一蜗壳截面的流量Q
φ应该与
消耗此流量的那部分导水机构的周长成正比，换句话说，应该
与这截面至蜗壳尾尖的包角φ成正比，可写成
Q
1
Q＝（89）
式中θ—蜗壳总包圆角。
其次，画出一些辅助截面，用圆解法由已求得的常数求出流
经这些截面的流量。
根据这几点构成流量曲线，再根据曲线来求
未知截面的外径。
流经这些截面的流量可用公式（89）求得。
让我们援引某水电站转桨式水轮机蜗壳的水力计算作为例子
（图68）。
水轮机基本数据如下：
流经水轮机的总流量：
Q＝32公尺
3/秒，水头H＝4.8公尺。
进水速度采用vc0.7H1.5公尺/秒（按照诺模
图可采用Vc=2.1公尺）。
在蜗壳包圆角θ＝190°时，进水截面的流量
是
190
Q1＝16.9公尺
32
＝Q＝
360360
我们求得进水截面的面积为：
3/秒
Q16.9
1
1＝＝＝11.3公尺
F
v1.5
c
3
当蜗壳内部的D等于5000公厘，进水截面的半径R＝5200公厘时，我们得到截面高度b=4700
公厘。
b
用图解法求出进水截面的dr
r
F
值（图68）后，按照公式88我们可得k的数值。
b
在本题中dr
r
F
＝3.07；那么，k＝16.9/3.07=5.5公尺
2/秒。
为了要求出蜗壳其余的截面，并在平面上做出它，我们画出两辅助截面（见虚线），用
图解法根据已求得的常数，求出流经此辅助截面的流量（表9），并按照这几点做出流经蜗
壳的流量曲线。
然后，在这曲线上我们求得符合于根据公式89求得的未知截面上水的流量的各点，其
结果列于表10。
把流量曲线所示的各点，投影在进水截面上，我们求得蜗壳未知截面的外半径。
表9流经辅助截面的流量表10流经蜗壳截面的流量
（根据图68）（根据图68）
b
截面号数dr
Q＝k
r
截面号数流量
116.9
Ⅰ
Ⅱ
Ⅲ
16.9
10.9
5.31
2
3
4
5
12.9
8.9
4.9
0.89
为了获得适合于实际的蜗壳形状，我们将理论上所得的蜗壳修正如下：
（a）将蜗壳高度展琪平面上，修正蜗壳的高度，经获得变化均匀的蜗壳顶和底
（b）输出平均速度曲线，修正蜗壳四周，经免速度的急剧变化，减小损耗。
分析计算法
混凝土蜗壳适用于流量很大的螺桨式或转桨式水轮机。
因此当水流速度较小时，蜗壳
的通流截面就必须很大。
这种蜗壳的特点，就是它并不将导水机构的外围完全包围。
在大多数水电站中，这个
包圆角度约为180～190°。
有些水电站用包圆角为135°和更小角度的蜗壳来引导水流。
列宁格勒斯大林金属工厂和其它试验室对于蜗壳所做的许多研究工作指出，一种蜗壳
的最佳形状只适合于水轮机一种工作情况，所以在计算蜗壳时，必须考虑水轮机是在哪些情
况下工作的。
如果Q公尺
3/秒为流经水轮机的总流量，那么Q
φ则为流经离蜗壳尾尖为φ角处的截面
的流量，经过这个截面的流量均匀地流入包圆角φ内的水轮机导水机构中，它等于：
Q
＝（90）
Q
0
2
这个流量也可用绝对速度的切分量vu来表示
R
Q
＝vbdr（91）
u
r0
将根据面积定律的vu值及根据公式90的Q
φ值代入上式，我们得：
R
kb
＝2dr（92）
Qr
r0
这个公式中k是在一定流量下的蜗壳常数，我们用δ角的关系式来代替k。
δ是水
流在半径为r0处进入导水机构时的水流绝对速度与它的切向分量之间的角度。
由速度三角形（图69），δ角可用下式求得：
v
0
＝arctg（93）
v
u0
Vu
Q
v（94）
02rb
00
V
δ
将幅向分量
Vτ
及切向分量
k
vu
0r
0
代入这个公式中，我们得：
k11
Q2
b
0
tg
（95）
R
1b
因此公式92可写成：
＝dr（96）
btgr
oro
在公式（96）中所有数值都是用蜗壳的几何参数来表示面与水轮机的状况无关的。
知道了公式中其余各因素，求出进水截面的δ值，并对于蜗壳所有的其余各截面都采用
b
了这个δ值（根据离水轮机中心等距离处的速度相等的理论）预先地计算出dr
r
F
值，
我们可以求出每一截面的φ角。
这个积分式可用图解法或分析法来计算。
下面我们来进行分析计算法。
将蜗壳截面分成数段，每一段的高度b可用某一定变化规律来表示。
在我们的情况中（图70），第一段b1=常数；第二段b2=m+nr；第三段b3=m1+n1r及
第四段b0=常数。
RRR1R2r1
bbmnrmnrb
0
因此：
drdrdrdrdr
111
rrrrrroR1R2r1r0
＝b1（LnR-LnR1）+m（LnR1-LnR2）+n（R1-R2）+m1（LnR2-Lnr
1）+n1（R2-r1）+b0Ln
r
1
r
0
=b1LnR+（m-b1）LnR1+nR1+（m1-m）LnR2+（n1-n）R2-m1Lnr1-n1r1+b0Ln
r
1
r
0
最后三项将包含在所有截面的公式中。
所以可用下面的符号来表示：
A＝b0Ln
r
1
r
0
－m1Lnr
1－n1r1
R
b
因此dr
r
ro
b1LnR+（m-b1）LnR1+nR1+（m1-m）LnR2+（n1-n）R2＋A（97）
对于十分普遍采用的平顶蜗壳，这个公式具有下列形式（这里R2＝R1，所以含有
R2的一项都没有了）。
R
ro
b
r
dr
b1LnR+（m-b
1）LnR1+nR1＋A（98）
因此，在这种情形下
1
＝[b1LnR+（m-b1）LnR1+b0Ln
b0tg
r
1
r
0
-mLnr
1+n（R1-r1）]（99）
在结构上，中间截面应该这样设计：
使每一个截面的外端角位于直线（AB及CD）或
抛物线（图71）上，根据这样，我们将得到在平面上蜗壳外形的各种变化规律。
下面让我们用下列条件进行蜗壳的理论计算：
水轮机功率⋯⋯⋯⋯N＝21800千瓦转轮直径⋯⋯⋯⋯D1＝5.0公尺
计算水头⋯⋯⋯⋯⋯H＝17公尺流量⋯⋯⋯⋯Q＝167公尺
转速⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯n=115.3转/分
3/秒
1.根据所示的数据，按照厂家资料选定导水机构的高度，求出座环支柱的尺寸及位
置。
2.根据诺模图（图65），我们选用蜗壳进水截面中的水流速度vc=3.87公尺。
3.在平面上作出蜗壳的主要轮廓（图72）——采用包圆角190°或θ＝3.32。
4.进水截面I－I的流量为：
190190
Q1＝Q88公尺
＝167
＝
360360
3/秒
5.截面I－I的面积为：
Q88
1
F22.7公尺
1v
3.87
c
2
根据这个数值，我们选择第一个截面的结构尺寸。
2的规律而变化的。
6.我们选用中间截面是按照抛物线x=p．y
7.根据x=3.63，y=4.5的条件，求
2
出p；那么3.63＝p．4.5，所以p＝0.179。
因此对于中间截面我们得：
8.根据b=m+nr的公式，从下列条
件求出m及n：
当r=4.665b=6.5
当r=3.87b=2.0
代入方程式为：
6.5＝m+4.665．n
2.0=m＋3.87．n所以：
m＝-19.9
n＝5.65
9.求出A的数值
A＝b0Ln
r
1
r
0
－mLnr1－nr1
3.87
＝2.0Ln＋19.9Ln3.87－
3.37
5.65×3.87＝2.0×0.13834
＋19.9×1.35325－5.65×3.87
＝5.48公尺
10.按照公式（98），计算第一截
面的积分式：
bb
1LnR＋（m－b1）LnR
1
dr
r
＋nR1+A＝6.5Ln7.5＋（－19.9－6.5）Ln4.665＋5.65×4.665＋5.48
＝6.5×2.01－26.4×1.54＋5.65×4.665＋5.48
＝4.33公尺
11.求出第一截面的δ角，这个角度对于所有的截面都保持为常数
tgδ＝
b
r
dr
b
0
4.33
3.322.0
=0.65及δ＝33°
b
12.然后，我们计算几个中间截面的dr
r
，并根据公式（99）找出在平面内这几
个截面所处位置的φ角。
计算结果列于11表及12表中。
47圆形截面蜗壳的水力计算
中水头及高水头的反应式水轮机通常都采用圆形截面的金属蜗壳，这种蜗壳的水
力计算我们将在下面进行。
同样，这个计算是以恒能流动的公式为基础的：
vu．r=k
表11蜗壳截面位置计算所得的数据（根据图73）
未知数值123456
b16.56.05.04.03.02.0
y=6.5-b100.51.52.53.54.5
2
y
00.252.256.2512.2520.25
2
x=0.179y
00.04480.4041.122.203.63
R=7.5-x7.57.4457.0966.385.303.87
y．tg10°00.0880.2640.4400.6160.795
R1=4.665-y．tg10°4.6654.5774.4014.2254.0493.87
LnR2.0102.0091.9591.8531.6681.353
LnR11.5401.5211.4821.4411.3991.353
m-b1-26.4－25.924.9－23.9－22.9－21.9
b．LnR13.0512.059.87.415.02.66
（m-b1）LnR1-40.6－39.4－36.9－34.4－32.05－29.65
nR126.425.824.823.822.821.8
b4.333.933.252.31.250.29
dr
r
b
r
dr
3.323.032.501.770.960.224
b
0
tg
180
0190°173°31′143°30′100°55°12°50′
表12蜗壳构造数据（根据图73）
未知数
截面
123456
φ190°145°100°55°12°50′0°
R7.57.16.365.33.873.37
b6.55.04.03.02.02.0
首先，按照公式vc=1.53H
求出进入蜗壳的水流速度，并根据流经水轮机的总流量，决定蜗壳进水截面
4Q1
D＝2（100）
HXv
HX
c
另一方面，根据vu=
k
r
的规律，用下列公式我们可以求出流经任一蜗壳截面的流
量（这里，实际面积的大小较所求面积减小，如图74所示的影线部分）：
a22
（ra）22
＝2（）（101）Q12kadrkaa
ra
式中ρ——蜗壳截面半径；a——水轮机中心线至截面中心线的距离；r——变数
和前面一样，为了使水流沿导水机构四周均匀分配，必须用下面方法从总的流量求出
流经距离蜗壳尾尖为φ角的蜗壳任何截面上的流量
Q
Q
360
因此
2k（a
2Q
2
a）
360
以符号标志
Q1
2kc
及
360
我们得
c
a
2
a
2
（102）
2
所以
2a
c
2
c
（103）
为了要求得ρ，必须给出从截面至截面的a值的变化规律。
从生产的观点看，获得最广泛采用的蜗壳是把由座环的进水圆锥面所形成的圆锥角画
在它的截面内，这个角的顶点应该恰在导水机构的中线上，如图75所示（关于这种结构的蜗
壳的缺点将在经后说明）。
ar1（104）
sina
将a值代入公式103中，并加以一系列的演算（括出含有ρ的各项，并补充它们成为
完全平方），我们得：
1
sin
ac
2
2
c
1
2
sin
a
2r
1
c
2
2
c
（105）
或
2
2
1
sinacc
ctg
2
a
2r
1
c
（106）
蜗壳外形半径R（图76）的数值可以直接由下式求得：
R=a+ρ
或将a值按公式104代入，我们得：
R=r1+ρ（
sin
a
sin
a
1
）
因此可将计算步骤归纳如下：
1.根据结论给出a角，这个角度一般采用50～60°，并给出从蜗壳进水截面至水轮机
中心间的距离a。
2.根据公式（104），求出蜗壳中心至a角顶点的距离（r
1）.
3.根据公式（102），求出比值并设第一截面（取蜗壳包圆角θ=360°）的数值φ=1，
c
我们得到c值。
4.将所有已知数值代入公式（106）中，并求出所有截面的ρ值（为了便于计算应该用列
表的方式）。
从结构上的观点来看，流量较小的最后诸截面，应该做成椭圆形，以便与座环接合。
具有正确球形截面的金属蜗壳，得到很广泛的采用，不用过渡的圆锥体就直接与座环
相接合，以后将要示出，这种蜗壳的优点，就是它所产生的应力较另一种形式的蜗壳为小。
计算这种蜗壳截面半径的基本公式是有一些不同的。
这种情况下的计算条件就是把所
有截面都折算到座环的指定各点中去。
将前述计算中所采用的全部符号代入之，同样我们可得公式102：
c
a
2
a
2
因为
a
22
R0h
（107）
代入之，我们得：
c
22222
R0hRh2Rh
00
2
22或用符号表示hx
（108）
我们得
c
22
R0xRh2Rx
000
（109）
然后我们用下列步骤来求蜗壳的截面。
1.从构造上的观点，我们可得到根据进水流速所求出的进水截面R0、h及ρ值。
2.根据公式107，我们求出进水截面的a值，然后按照公式102求得c值。
应该注意，
当θ=360°时，进水截面φ=1。
3.把未知截面的值代入公式109，对于每一个截面，我们将得到一x二次方程式。
c
4.从方程式108得出x数值，我们可得每一截面的ρ。
同前面的计算一样，这些方程式并不能解出最后一些截面。
这些截面，从结构上来看，
必须做成椭圆形。
48蜗壳的强度计算
让我们先来研究球形截面和直接与座环联结的蜗壳结构的计算。
这样的外壳可以用圆环
的形式来表示（图77）。
有着任意曲率半径的环形外壳，当它作用着可变的强大压力时，表面上任意点k的受
力状态有下列的关系。
由环形外壳的平衡条件，把所有的力投影在垂直方向我们可得：
22
2rssin（ar）
1
p
因此，我们得到径向平面的应力
2
a
p
1rs
2
r
sin
2
（110）
式中p——可变压力；
a——圆环的截面中心至旋转轴的距离；
r——研究点k至旋转轴的距离；
s——壳壁的厚度；
α——在k点的径向平面内的切线与旋转轴的法线之间的倾角。
把这公式加以演化，并以
ar
sina
代入之，在半径为ρ的圆环表面上我们得到：
parar
1（111）
0
s2r2r
第六章导水机构
50概论
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