六年级奥数第五讲1几何立体部分学生版.docx
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六年级奥数第五讲1几何立体部分学生版
第五讲 几何——立体部分
教学目标：
对于小学几何而言，立体图形的表面积和体积计算，既可以很好地考查学生的空间想象能力，又可以具
体考查学生在公式应用中处理相关数据的能力，所以，很多重要考试都很重视对立体图形的考查．
知识点拨：
一、长方体和正方体
如右图，长方体共有六个面（每个面都是长方形），八个顶点，十二条棱．
H
G
E
F
D
c
b
C
A
a
B
①在六个面中，两个对面是全等的，即三组对面两两全等．
（叠放在一起能够完全重合的两个图形称为全等图形．）
②长方体的表面积和体积的计算公式是：
长方体的表面积：
S
长方体的体积：
V
= 2（ab + bc + ca） ；
长方体
= abc ．
长方体
③正方体是各棱相等的长方体，它是长方体的特例，它的六个面都是正方形．
如果它的棱长为 a ，那么：
S
正方体
= 6a2 ， V
正方体
= a3 ．
二、圆柱与圆锥
立体图形
表面积
体积
S
圆柱
= 侧面积 + 2个底面积 = 2πrh + 2πr 2
V
圆柱
= πr 2 h
h
圆柱
r
h
S
圆锥
= 侧面积 + 底面积 =
n
360
πl 2 + πr 2
V
圆锥体
1
= πr 2h
3
圆锥
r
注：
l 是母线，即从顶点到底面圆上的线段长
1 / 14
例题精讲：
【例 1】 如右图，在一个棱长为 10 的立方体上截取一个长为 8，宽为 3，
高为 2 的小长方体，那么新的几何体的表面积是多少？
【例 2】 右图是一个边长为 4 厘米的正方体，分别在前后、左右、上下
各面的中心位置挖去一个边长 l 厘米的正方体，做成一种玩
具．它的表面积是多少平方厘米?
（图中只画出了前面、右面、
上面挖去的正方体）
【例 3】 下图是一个棱长为 2 厘米的正方体，在正方体上表面的正中，向下挖一个棱长为1 厘米的正方体小
洞，接着在小洞的底面正中向下挖一个棱长为厘米的正方形
2
小洞，第三个正方形小洞的挖法和前两个相同为厘米，那么
4
最后得到的立体图形的表面积是多少平方厘米？
【例 4】 一个正方体木块，棱长是 1 米，沿着水平方向将它锯成 2 片，
每片又锯成 3 长条，每条又锯成 4 小块，共得到大大小小的长
方体 24 块，那么这 24 块长方体的表面积之和是多少？
【例 5】 【巩固】如图，25 块边长为 1 的正方体积木拼成一个几何体，表面积最小是多少？
25块积木
【例 6】 要把 12 件同样的长 a、宽 b、高 h 的长方体物品拼装成一件大的长方体，使打包后表面积最小，该
如何打包？
⑴当 b = 2h 时，如何打包？
⑵当 b < 2h 时，如何打包？
⑶当 b > 2h 时，如何打包？
2 / 14
a
h
b
图1图2图 3
【例 7】 【巩固】如图，在一个棱长为 5 分米的正方体上放一个棱长为 4 分米的小正方体，求这个立体图形
的表面积．
【例 8】（2008 年“希望杯”五年级第 2 试）如图，棱长分别为1 厘米、 2 厘米、 3 厘米、 5 厘米的四个正方
体紧贴在一起，则所得到的多面体的表面积是_______平方厘米．
【例 9】 把 19 个棱长为 1 厘米的正方体重叠在一起，按右图中的方式拼成一个立体图形.，求这个立体图形
的表面积．
上下面左右面前后面
3 / 14
【例 10】有 30 个边长为 1 米的正方体，在地面上摆成右上图的形式，然后把露出的表面涂成红色．求被涂
成红色的表面积．
【例 11】棱长是 m 厘米（ m 为整数）的正方体的若干面涂上红色，然后将其切割成棱长是 1 厘米的小正方
体．至少有一面红色的小正方体个数和表面没有红色的小正方体个数的比为13:
12 ，此时 m 的最小
值是多少?
【例 12】有 64 个边长为 1 厘米的同样大小的小正方体，其中 34 个为白色的，30 个为黑色的．现将它们拼成
一个 4 ⨯ 4 ⨯ 4 的大正方体，在大正方体的表面上白色部分最多可以是多少平方厘米？
【例 13】三个完全一样的长方体，棱长总和是 288 厘米，每个长方体相交于一个顶点的三条棱长恰是三个连
续的自然数，给这三个长方体涂色，一个涂一面，一个涂两面，一个涂三面．涂色后把三个长方
体都切成棱长为 1 厘米的小正方体，只有一个面涂色的小正方体最少有多少个？
【例 14】把一个大长方体木块表面上涂满红色后，分割成若干个同样大小的小正方体，其中恰好有两个面涂
上红色的小正方体恰好是 100 块，那么至少要把这个大长方体分割成多少个小正方体？
【例 15】把正方体的六个表面都划分成 9 个相等的正方形．用红、黄、蓝三种颜色去染这些小正方形，要求
有公共边的正方形染不同的颜色，那么，用红色染的正方形最多有多少个？
【解析】一个面最多有 5 个方格可染成红色（见左下图）．因为染有 5 个红色方格的面不能相邻，可以相对，
所以至多有两个面可以染成 5 个红色方格．
红
红
红
红
红
红
红
红
红
红
红
．
其余四个面中，每个面的四个角上的方格不能再染成红色，至多能染4 个红色方格（见上中图） 因
为染有 4 个红色方格的面也不能相邻，可以相对，所以至多有两个面可以染成 4 个红色方格．最后
剩下两个相对的面，每个面最多可以染2 个红色方格（见右上图） ．所以，红色方格最多有
．
5 ⨯ 2 + 4 ⨯ 2 + 2 ⨯ 2 = 22 （个）
“
（另解）事实上上述的解法并不严密， 如果最初的假设并没有两个相对的有 5 个红色方格的面，是
否其他的四个面上可以出现更多的红色方格呢？
”这种解法回避了这个问题，如果我们从约束染色
方格数的本质原因入手，可严格说明 22 是红色方格数的最大值．
对于同一个平面上的格网，如果按照国际象棋棋盘的方式染色，那么至少有一半的格子可以染成红
色．但是现在需要染色的是一个正方体的表面，因此在分析问题时应该兼顾棱、角等面与面相交的
地方：
4 / 14
⑴⑵⑶
⑴如图，每个角上三个方向的 3 个方格必须染成不同的三种颜色，所以 8 个角上最多只能有 8 个方
格染成红色．
）
⑵如图，阴影部分是首尾相接由 9 个方格组成的环，这 9 个方格中只能有 4 个方格能染成同一种颜色
（如果有 5 个方格染同一种颜色，必然出现相邻，可以用抽屉原理反证之：
先去掉一个白格，剩下的
然后两两相邻的分成四个抽屉，必然有一个抽屉中有两个红色方格 ，像这样的环，在正方体表面最
多能找到不重叠的两道（关于正方体中心对称的两道），涉及的18 个方格中最多能有 8 个可染成红色．
⑶剩下 6 ⨯ 3 ⨯ 3 - 8 ⨯ 3 - 9 ⨯ 2 = 12 个方格，分布在 6 条棱上，这12 个格子中只能有 6 个能染成红色．
综上所述，能被染成红色的方格最多能有8 + 8 + 6 = 22 个格子能染成红色，第一种解法中已经给出 22
个红方格的染色方法，所以 22 个格子染成红色是最多的情况．
【例 16】一个长、宽、高分别为 21 厘米、15 厘米、12 厘米的长方形.现从它的上面尽可能大的切下一个正方
体，然后从剩余的部分再尽可能大的切下一个正方体，最后再从第二次剩余的部分尽可能大的切
下一个正方体，剩下的体积是多少立方厘米？
3
6
12
12
6
12
9
6 6
129
9
3
129
【例 17】有黑白两种颜色的正方体积木，把它摆成右图所示的形状，已知相邻（有公共面）的积木颜色不同，
标 A 的为黑色，图中共有黑色积木多少块？
A
【解析】分层来看，如下图（切面平行于纸面）共有黑色积木 17 块.
5 / 14
【例 18】【巩固】 （05 年武汉明心杯数学挑战赛）如图所示，一个 5 ⨯ 5 ⨯ 5 的立方体，在一个方向上开有1⨯1⨯ 5
的孔，在另一个方向上开有 2 ⨯1⨯ 5 的孔，在第三个方向上开有 3⨯1⨯ 5 的孔，剩余部分的体积是多
少？
表面积为多少？
【解析】求体积：
开了 3⨯1⨯ 5 的孔，挖去 3 ⨯1⨯ 5 = 15 ，开了1⨯1⨯ 5 的孔，
挖去1⨯1⨯ 5 - 1 = 4 ；开了 2 ⨯1⨯ 5 的孔，
挖去 2 ⨯1⨯ 5 - （2 + 2） = 6 ，
剩余部分的体积是：
5 ⨯ 5 ⨯ 5 - （15+ 4 + 6） = 100 ．
（另解）将整个图形切片，如果切面平行于纸面，那么五个切片分别如图：
得到总体积为：
22 ⨯ 4 + 12 = 100 ．
求表面积：
表面积可以看成外部和内部两部分．外部的表面积为5 ⨯ 5 ⨯ 6 -12 = 138 ，内部的面积可以分为前
后、左右、上下三个方向，面积分别为 2 ⨯ （2 ⨯ 5 + 1⨯ 5 - 1⨯ 2 - 1⨯ 3） = 20 、
2 ⨯ （1⨯ 5 + 3 ⨯ 5 - 1⨯ 3 - 1） = 32 、 2 ⨯ （1⨯ 5 + 1⨯ 5 - 1⨯1 - 2） = 14 ，所以总的表面积为
138 + 20 + 32 + 14 = 204 ．
（另解）运用类似于三视图的方法，记录每一方向上的不同位置上的裸露正方形个数：
前后方向：
32
上下方向：
30左右方向：
40
1
1
2 2
1
1
1 2
1
1
1
1 2
1
1
1
1
2
1
1
1
2
1
1
2
2
2
2
2
2
1
1
2
1
1 2
2
2
2
2
1
1
2
1
1
2
1 2
1 2
1
1
2
1
1
2
2
1
2
2 2
1 2
2
2
1
2
2
1
总表面积为 2 ⨯ （32 + 30 + 40） = 204 ．
【总结】“切片法”：
全面打洞（例如本题，五层一样），挖块成线（例如本题，在前一层的基础上，一条线一条
线地挖），这里体现的思想方法是：
化整为零，有序思考！
【例 19】【巩固】（2009 年迎春杯高年级组复赛）右图中的⑴⑵⑶⑷是同样的小等边三角形，⑸⑹也是等边
三角形且边长为⑴的 2 倍，⑺⑻⑼⑽是同样的等腰直角三角形，⑾是正方形．那么，以⑸⑹⑺⑻
6 / 14
⑼⑽⑾为平面展开图的立体图形的体积是以⑴⑵⑶⑷为平面展开图的立体图形体积的
倍．
⑸⑺
⑻ ⑹
⑾
⑵
⑴
⑶
⑼ ⑽
⑷
【解析】本题中的两个图都是立体图形的平面展开图，将它们还原成立体图形，可得到如下两图：
其中左图是以⑴⑵⑶⑷为平面展开图的立体图形，是一个四个面都是正三角形的正四面体，右图以
⑸⑹⑺⑻⑼⑽⑾为平面展开图的立体图形，是一个不规则图形，底面是⑾，四个侧面是⑺⑻⑼⑽，
两个斜面是⑸⑹．
对于这两个立体图形的体积，可以采用套模法来求，也就是对于这种我们不熟悉的立体图形，用一
些我们熟悉的基本立体图形来套，看看它们与基本立体图形相比，缺少了哪些部分．
由于左图四个面都是正三角形，右图底面是正方形，侧面是等腰直角三角形，想到都用正方体来套．
对于左图来说，相当于由一个正方体切去 4 个角后得到（如下左图，切去 ABDA 、CBDC 、D AC D 、
1111 1
B AC B ）；而对于右图来说，相当于由一个正方体切去2 个角后得到 （如下右图，切去 BACB 、
11 11
DACD ）．
1
B
C
B
C
A
D
A
D
B1C1
B1
C1
A1
D1
A1
D1
假设左图中的立方体的棱长为 a ，右图中的立方体的棱长为 b ，则以⑴⑵⑶⑷为平面展开图的立体图
形的体积为：
a3 - 1 a2 ⨯ a ⨯ 1 ⨯ 4 = 1 a3 ，
233
以⑸⑹⑺⑻⑼⑽⑾为平面展开图的立体图形的体积为b3 - 1 b2 ⨯ b ⨯ 1 ⨯ 2 = 2 b3 ．
233
由于右图中的立方体的棱长即是题中正方形⑾的边长，而左图中的立方体的每一个面的对角线恰好
是正三角形⑴的边长，通过将等腰直角三角形⑺分成 4 个相同的小等腰直角三角形可以得到右图中
的立方体的棱长是左图中的立方体的棱长的 2 倍，即 b = 2a ．
7 / 14
那么以⑴⑵⑶⑷为平面展开图的立体图形的体积与以⑸⑹⑺⑻⑼⑽⑾为平面展开图的立体图形的体
积的比为：
1 a3 :
2 b3 = 1 a3 :
2 ⨯ （2a ）3 = 1:
16 ，也就是说以⑸⑹⑺⑻⑼⑽⑾为平面展开图的立体图形
3333
的体积是以⑴⑵⑶⑷为平面展开图的立体图形体积的 16 倍．
【例 20】图⑴和图⑵是以正方形和等边三角形为面的立体图形的展开图，图中所有的边长都相同．请问：
图
⑴能围起来的立体图形的体积是图⑵能围起来的立体图形的体积的几倍？
图⑴图⑵
【解析】首先，我们把展开图折成立体图形，见下列示意图：
图⑴图⑵
对于这类题目，一般采用“套模法”，即用一个我们熟悉的基本立体图形来套，这样做基于两点考虑，
一是如果有类似的模型，可以直接应用其计算公式；二是如果可以补上一块或者放到某个模型里面，
那么可以从这个模型入手．
我们把图⑴中的立体图形切成两半，再转一转，正好放进去！
我们看到图⑴与图⑶的图形位置的微
妙关系：
60°
60°
1
和图3一致！
图⑶图⑷
由图⑷可见，图⑴这个立体的体积与图⑶这个被切去了 8 个角后的立体图形的体积相等．
假设立方体的 1 条边的长度是 1，那么一个角的体积是 1 ⨯ 1 ⨯ 1 ⨯ 1 ⨯ 1 = 1 ，所以切掉 8 个角后的
2222348
体积是1 - 1 ⨯ 8 = 5 ．
486
再看图⑵中的正四面体，这个正四面体的棱长与图⑶中的每一条实线线段相等，所以应该用边长为 1
2
的立方体来套．如果把图⑵的立体图形放入边长为 1 的立方体里的话是可以放进去的．
2
8 / 14
1
2
这是切去了四个角后的图形，从上面的分析可知一个角的体积为1 ，所以图⑵的体积是：
48
1111151
⨯⨯-⨯ 4 == 20 倍．
2224824624
【例 21】 如图，用高都是1 米，底面半径分别为1.5 米、 1 米和 0.5 米的 3 个圆柱组成一个物体．问这个物体
的表面积是多少平方米？
（ π 取 3.14 ）
0.5
1
1
1
1
1.5
【例 22】有一个圆柱体的零件，高10 厘米，底面直径是 6 厘米，零件的一端有一个圆柱形的圆孔，圆孔的直
径是 4 厘米，孔深5 厘米（见右图）．如果将这个零件接触空气的部分涂上防锈漆，那么一共要涂多
少平方厘米？
【例 23】（第四届希望杯 2 试试题）圆柱体的侧面展开，放平，是边长分别为10 厘米和 12 厘米的长方形，那
么这个圆柱体的体积是________立方厘米．（结果用 π 表示）
【例 24】如右图，是一个长方形铁皮，利用图中的阴影部分，刚好能做成一个油桶（接头处忽略不计），求这
个油桶的容积．（ π = 3.14 ）
16.56m
【巩固】如图，有一张长方形铁皮，剪下图中两个圆及一块长方形，正好可以做成 1 个圆柱体，这个圆柱体
的底面半径为 10 厘米，那么原来长方形铁皮的面积是多少平方厘米？
（ π = 3.14 ）
9 / 14
10cm
【例 25】把一个高是 8 厘米的圆柱体，沿水平方向锯去 2 厘米后，剩下的圆柱体的表面积比原来的圆柱体表
面积减少12.56 平方厘米．原来的圆柱体的体积是多少立方厘米？
【例 26】 一个圆柱体的体积是 50.24 立方厘米，底面半径是 2 厘米．将它的底面平均分成若干个扇形后，再
截开拼成一个和它等底等高的长方体，表面积增加了多少平方厘米？
（ π3.14 ）
【例 27】 （2008 年”希望杯”五年级第 2 试）一个拧紧瓶盖的瓶子里面装着一些水（如图），由图中的数据可
推知瓶子的容积是_______ 立方厘米．（ π 取 3.14 ）
610
8
4
（单位：
厘米）
【巩固】一个酒精瓶，它的瓶身呈圆柱形 （不包括瓶颈），如图．已知它的容积为 26.4π 立方厘米．当瓶子正
放时，瓶内的酒精的液面高为 6 厘米；瓶子倒放时，空余部分的高为 2 厘米．问：
瓶内酒精的体积
是多少立方厘米？
合多少升？
2
6
【巩固】一个盖着瓶盖的瓶子里面装着一些水，瓶底面积为10 平方厘米，（如下图所示），请你根据图中标明
的数据，计算瓶子的容积是＿＿＿＿＿＿．
7cm
5cm
4cm
【例 28】 一个盛有水的圆柱形容器，底面内半径为 5 厘米，深 20 厘米，水深 15 厘米．今将一个底面半径
为 2 厘米，高为 17 厘米的铁圆柱垂直放入容器中．求这时容器的水深是多少厘米？
【例 29】 有甲、乙两只圆柱形玻璃杯，其内直径依次是 10 厘米、20 厘米，杯中盛有适量的水．甲杯中沉没
10 / 14
着一铁块，当取出此铁块后，甲杯中的水位下降了 2 厘米；然后将铁块沉没于乙杯，且乙杯中的
水未外溢．问：
这时乙杯中的水位上升了多少厘米？
12
33
甲、乙两容器，哪一只容器中盛的水多？
多的是少的的几倍？
乙
甲
【例 31】 （2008 年仁华考题）如图，有一卷紧紧缠绕在一起的塑料薄膜，薄膜的直径为 20 厘米，中间有一直径
为 8 厘米的卷轴，已知薄膜的厚度为0.04 厘米，则薄膜展开后的面积是平方米．
20cm8cm
100cm
【例 32】 如图， ABC 是直角三角形， AB 、 AC 的长分别是 3 和 4．将 ∆ABC 绕 AC 旋转一周，求 ∆ABC 扫
出的立体图形的体积．（ π = 3.14 ）
C
4
BA
3
【例 33】 已知直角三角形的三条边长分别为 3cm ， 4cm ， 5cm ，分别以这三边轴，旋转一周，所形成的立
体图形中，体积最小的是多少立方厘米？
（ π 取 3.14 ）
．
【例 34】 如图， ABCD 是矩形，BC = 6cm ， AB = 10cm ，对角线 AC 、BD 相交 O ．E 、F 分别是 AD 与 BC
的中点，图中的阴影部分以 EF 为轴旋转一周，则白色部分扫出的立体图形的体积是多少立方厘
米？
（ π 取 3）
AEDAED
OO
BFCBFC
【例 35】 【巩固】 （人大附中分班考试题目）如图，在一个正方体的两对侧面的中心各打通一个长方体的洞，
11 / 14
在上下底面的中心打通一个圆柱形的洞．已知正方体边长为 10 厘米，侧面上的洞口是边长为 4 厘
米的正方形，上下底面的洞口是直径为 4 厘米的圆，求此立体图形的表面积和体积．
课后练习
练习1.（《小学生数学报》邀请赛）从一个棱长为 10 厘米的正方形木块中挖去一个长 10 厘米、宽 2 厘米、
高 2 厘米的小长方体，剩下部分的表面积是多少？
（写出符合要求的全部答案）
图 1图 2图 3图 4
练习2.一个酒瓶里面深 30cm ，底面内直径是10cm ，瓶里酒深15cm ．把酒瓶塞紧后使其瓶口向下倒立这时
酒深 25cm ．酒瓶的容积是多少？
（ π 取 3）
30
25
15
练习3.如右图所示，由三个正方体木块粘合而成的模型，它们的棱长分别为1 米、2 米、4 米，要在表面涂
刷油漆，如果大正方体的下面不涂油漆，则模型涂刷油漆的面积是多少平方米？
练习4.（2008 年第二届两岸四地”华罗庚金杯”少年数学精英邀请赛）一个圆柱体形状的木棒，沿着底面
直径竖直切成两部分．已知这两部分的表面积之和比圆柱体的表面积大 2008cm2 ，则这个圆柱体木
棒的侧面积是________ cm2 ．（ π 取 3.14 ）
12 / 14
第2题
练习5.如图，厚度为 0.25 毫米的铜版纸被卷成一个空心圆柱（纸卷得很紧，没有空隙），它的外直径是 180
厘米，内直径是 50 厘米．这卷铜版纸的总长是多少米？
月测备选
【备选 1】如右图，一个正方体形状的木块，棱长l 米，沿水平方向将它锯成 3 片，每片又锯成 4 长条，每条
又锯成 5 小块，共得到大大小小的长方体 60 块．那么，这 60 块长方体表面积的和是多少平方米?
【备选 2】一个透明的封闭盛水容器，由一个圆柱体和一个圆锥体组成，圆柱体的底面直径和高都是 12 厘米．其
内有一些水，正放时水面离容器顶11 厘米，倒放时水面离顶部 5 厘米，那么这个容器的容积是多少
立方厘米？
（ π 3 ）
11cm5cm
【备选 3】如图，有一个边长为 20 厘米的大正方体，分别在它的角上、棱上、面上各挖掉一个大小相同的小
立方体后，表面积变为 2454 平方厘米，那么挖掉的小立方体的边长是多少厘米？
【备选 4】一个圆柱体底面周长和高相等．如果高缩短 4 厘米，表面积就减少 50.24 平方厘米．求这个圆柱体
的表面积是多少？
13 / 14
4cm
【备选 5】（2009 年”希望杯”一试六年级）如图，圆锥形容器中装有水 50 升，水面高度是圆锥高度的一半，
这个容器最多能装水
升．
r
1
2 r
h
1
2 h
14 / 14
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