届重庆市南开中学高三第五次教学质量检测考试数学理试题解析版.docx
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届重庆市南开中学高三第五次教学质量检测考试数学理试题解析版
2020届重庆市南开中学高三第五次教学质量检测考试数学
（理）试题
、单选题
1．已知集合Ax|x22x30,B
1,0,1,2,3,则AIB（
B．1,0
A．1,0,1
C．0,1
D．0,1,2
【答案】D
2
【解析】化简集合Ax|x22x30,根据交集定义即可求得答案
【详解】
2
QAx|x22x301,3
又QB1,0,1,2,3
AIB0,1,2
故选:
D.
【点睛】
本题考查了集合的交集,在集合运算比较复杂时,可以使用数轴来辅助分析问题,属于基础题.
2．已知随机变量X:
N2,20，若PX40.7，则PX0（）
A．0.2
B．0.3
C．0.5
D．0.7
【答案】
B
【解析】
由随机变量
X:
2
N2,20,当PX
40.7,结合PX20.5
即可求得
P2X
4
0.2,根据正态分布的对称性
即可求得答案.
【详解】
Q随机变量X:
N2,20当PX40.7
又QPX20.5,可得P2X40.2
第1页共24页
PX00.50.20.3
故选:
B.
【点睛】
本题主要考查正态分布的对称性，意在考查对基础知识的掌握与应用，属于基础题
3.已知alog0.2
0.2,e
0.2,则（）
A.abc
B.cb
C.ae
D.be
【答案】
【解析】
因为alog0.2
0,b
0.21,由e0.2
得：
0e1,即可求得答案•
【详解】
Q根据
ylog。
』x图像可知：
a
log0.20
0.2
1,
根据y
0.2x图像，由e0.2
0e1
综上所述,aeb.
故选:
C.
【点睛】
本题考查比较数值大小，这类大小比较一般是借助中间值，与中间值比较后可得它们的大小关系.
4.2016年1月6日，中国物流与采购联合会正式发布了中国仓储指数，中国仓储指数
是反映仓储行业经营和国内市场主要商品供求状况与变化趋势的一套指数体系，如图所
示的折线图是2019年甲企业和乙企业的仓储指数走势情况.根据该折线图，下列结论中
不正确的是（）
―♦—甲企业乙it业
A.2019年1月至4月甲企业的仓储指数比乙企业的仓储指数波动大
B.甲企业2019年的年平均仓储指数明显低于乙企业2019年的年平均仓储指数
C.两企业2019年的最大仓储指数都出现在4月份
D.2019年7月至9月乙企业的仓储指数的增幅高于甲企业
【答案】D
【解析】先对图表数据分析处理，再结合简单的合情推理，对每个选项逐一判断即可得到答案•
【详解】
对于A,从图可以看出，2019年1月至4月甲企业的仓储指数比乙企业的仓储指数波动
大,故A结论正确；
对于B,从图可以看出，甲企业2019年的年平均仓储指数明显低于乙企业2019年的年平
均仓储指数，故B结论正确；
对于C，从图可以看出，两企业2019年的最大仓储指数都出现在4月份，故C结论正确；
对于D，从图可以看出，2019年7月至9月乙企业的仓储指数的增幅低于甲企业，故D结
论错误•
故选:
D.
【点睛】
本题考查了折线图，掌握折线图相关知识是解题关键，考查了分析能力，属于基础题•
5.已知各项均为正数的等比数列an的前4项和为45,且a52a3a4，则a2（）
A.6B.9
C.12D.15
【答案】A
a11qn
【解析】设等比数列an的公比为q，由等比数列的前n项和公式&J———和等
1q
_n1
比数列通项公式anae，结合已知即可求得答案•
【详解】
Qa52a3a4
根据等比数列通项公式anaen1
a1q42qq2qq3
q22q即（q2）（q1）0
解得：
q=2或q1（舍去）
Q等比数列an的前4项和为45
根据等比数列的前
n项和公式sn
n
a11q
可得S4
a-i1
q4
45,解得a1
1q
故：
a2
a1q6
故选A
【点睛】
本题主要考查等比数列的通项公式，等比数列的前n项和公式的应用.解题关键是掌握
等比数列前n项和公式，考查了计算能力
属于中档题
若sin
1，则sin2（
3
2
9
7
9
【答案】
A.
C.
【解析】
由sin
1,可得sin
3
B.
D.
1
9
8
9
-,根据
3
cos—
2
2sin2
即可求得答案
【详解】
sin
1
可得sin
3
cos
2sin
sin2
cos
故选：
C.
【点睛】
本题考查了诱导公式及二倍角的余弦公式
解题的关键是根据已知条件选用余弦的二倍
角公式来解决问题•
7．x2
x
2
x
4
1的展开式中x项的系数为（）
A．9
B．5
C．7
D．8
【答案】
A
【解析】
将
2x
x
4
2x1化简为
:
x2（x1）4x（x1）42（x1）4,写出（x1）
二项展开式的通项公式
Tr1C4rx（4r）
（1）r,即可求得答案.
【详解】
Qx2
x
2
x
14x2（x1）4
44
x（x1）42（x1）4
（x1）4二项展开式的通项公式Tr1C4rx（4r）
（1）r
Qx2（x1）4中不含x项，无需求解.
Qx（x1）4中含x项,即当r4时xC4x（44）
（1）4x
Q2（x1）4中含x项，即当r3时2C43x（43）
（1）38x
24x2x2x1的展开式中x项9x
故选:
A.
【点睛】
本题考查求二项式展开式中常数项,解题关键是掌握二项展开式的通项公式,考查分析
能力和计算能力,属基础题.
8．数列:
1,1,2,3,5,8,13,称为斐波那契数列,是由十三世纪意大利数学家列昂纳
多•斐波那契以兔子繁殖为例而引入，故又称为“兔子数列”•该数列前两项均为1,从
第三项开始,每项等于其前相邻两项之和,某同学设计如图所示的程序框图,当输入正整
数nn3时,输出结果恰好为“兔子数列”的第n项,则图中空白处应填入（）
第5页共24页
A.b
ab
B.bac
C.a
bc
D.
ca
c
【答案】
B
【解析】
由数列：
1,1,2,3,5,8,13,
可得数列an
an-1
an2,nn3.结合程序框图
即可得出答案•
【详解】
Q由数列：
1,1,2,3,5,8,13,
可得数列anan-1an2,nn3
结合程序框图可得空白处为：
bac
故选:
B.
【点睛】
本题考查斐波那契数列的理解和运用，解题关键是能够理解程序框图，考查了分析能力，
属于基础题.
9•随机变量X的分布列如下表所示，在EX0的前提条件下，不等式x2xa0
对xR恒成立的概率为（）
X
1
0
1
P
a
a
b
A.
1
12
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】
根据E（X）X1pX2P2
X3P3,则E（X）ab,可得ab
0.根据
P1P2
P31
得2ab
1.要保证不等式x2
a0对xR恒成立，需满足14a
0,即可求
得答案•
【详解】
QE（X）
X1P1X2P2X3P3
E（X）
ab,结合E
0可得ab0
根据P1
P2
P31得2a
解得:
0
2a
Q要保证不等式
x2
0对xR恒成立，需满足1
4a0
解得：
a
则不等式
x2x
11
R恒成立的概率为：
晋4
3
故选:
B.
【点睛】
本题考查利用古典概型求解概率、
离散型随机变量的分布列和数学期望的求解问题
练掌握求几何型概率的方法是解题关键，属于基础题
22
10.已知双曲线C:
-1a
ab
0,b0的右焦点为Fc,0,若存在过点F的直
A,
线I与双曲线的右支交于不同的两点，与双曲线的一条渐近线交于第一象限内的点
且AFc,则双曲线C的离心率的取值范围是（）
A.1,「3B.1,2
D.2,
C.,2,2
【答案】B
【解析】根据题意画出其几何图像,设AOF
根据双曲线的一条渐近线交于第
象限内的点A,且AFc则AFO1802
BOM,若存在过点F的直线
I与双曲线的右支交于不同的两点，需保证BOMAFO,根据双曲线的渐近线为y一x,则tan-，即可求得离心率范围.
aa
【详解】
根据题意画出其几何图像
设AOF,根据双曲线的一条渐近线交于第一象限内的点A,且AFc
AFO1802,BOM
若存在过点F的直线I与双曲线的右支交于不同的两点，需保证BOMAFO
BOMAFO,则1802
60
根据双曲线的渐近线为y—x,则tan—
aa
一.3
a
Q根据双曲线C的离心率e-.j一
aYa
、12
Q根据双曲线C的离心率e1
1e2
故选:
B.
【点睛】
本题考查了求双曲线离心率的范围问题，解题关键是根据已知条件画出其几何图像，数形结合.考查分析能力和计算能力，属于中档题.
2x,1x2
11.已知定义在区间1,
上的函数fx1x,若函数
丄f仝，x2
22
k
gxfx有无穷多个零点，则实数k的取值范围是（）
x
A.1,2
C.2,8
【答案】C
【解析】因为定义在区间1,上的函数
B.2,4
D.4,8
2x,1x2
x1x,画出其函数图像
f,x2
22
求函数gx1
fx
k零点个数
x
即求fx
k
-交点个数，即可求得实数k的取值范
x
围•
【详解】
Q求函数gx
f
x-零点个数，
即求y
_k
fx与y—交点个数
x
x
2x,1
x2
因为定义在区间
1,
上的函数
fx
1
x
-f
x2
2
2
令2x4,则
f（x）
1f△
22
2
令4x8,则
f（x）
!
f冬
22
4
画出y8和y
x
2x,1x2
1x图像:
f,x2
22
-3■-2—J6~~1~~3456789~~W~~H
-1-
k
由图像可知实数k的取值范围在2,8时，fx交点个数是无穷多个
x
故选:
C.
【点睛】
本题考查了分段函数和方程零点问题
.解题关键是画出其函数图像
结合函数图像，将函
数的求零点问题转化图像交点问题
考查了分析能力和理解能力
属于中档题.
2
12.已知椭圆C:
笃
2
a
2yb2
b0的左焦点为Fc,0
上顶点为A,离心率为
乜，直线FA与抛物线
2
E：
4cx交于M,N两点，则MA
NA（）
A.2、3a
B.5a
C.4、3a
D.10a
【答案】
【解析】
设点
M,yM
1
xN,Yn,由题意可知kFA-3,故
MA
NA
xMxN
设MN的中点坐标为xg,yo,由中点坐标公式和点差法
即可求得答案
【详解】设点MXm,Ym,NXn,Yn
Q由题意可知kFA
MA
NA
2
~3
Xn，
设MN的中点坐标为xo,yo,
由中点坐标公式：
QyM4cXM—①
Xo
yo
2,yN
XMXN
2
yMyN
2
4cxn―②
由①-②，点差法可得：
yo
1_
—32c,即yo2、3c,
又Qfa：
y
故Xo5c,
XM
Xn
2xo10c,
MA
NA
2Oc
「31Oa.
故选:
D.
【点睛】
本题考查求椭圆方程与抛物线方程，解题关键是掌握椭圆和抛物线的相关知识，和熟练使用点差法，考查了分析能力和计算能力，属于中档题•
二、填空题
13•曲线y2x1ex在点o,1处的切线方程为.
【答案】yx1
【解析】利用切线的斜率是函数在切点处导数，求出切线斜率，再利用直线方程的点斜式
即可求出切线方程.
【详解】
Qy2x1ex
y2ex2x1ex
函数y2x1e在x0处的切线斜率为1,
又Q切点坐标为0,1,切线方程为yx1.
故答案为：
yx1.
【点睛】
本题主要考查了利用导数的几何意义求解切线的方程，其中解答中准确求得函数的导数
合理利用导数的几何意义求解是解答的关键
着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
14.设实数x,y满足约束条件
2xy60
x2y40,则z上的取值范围是
x
xy20
17
【答案】丄,7
44
【解析】作出不等式组所表示的可行域
y
z可看作是可行域上的点与原点
x
O0,0两
点的斜率，结合图像即可求得z-的取值范围
x
【详解】
2xy60
根据实数x,y满足约束条件x2y40,
xy20
作出不等式组所表示的可行域，如图：
由2xy
x2y
8
0
x-
5
A8
14
解得：
即A一,
0
14
y7
5
5
2x
y
6
0
x-
3
5
8
由
解得：
即B-
x
y
2
0
2
3
y-
3
则koB
1
4
Qzy可看作是可行域上的点与原点O
0,0两点的斜率
x
y17
z的取值范围是：
匚，.
x44
17
故答案为：
-,7.
44
【点睛】
本题考查线性规划问题，关键是根据所给的约束条件准确地画岀可行域和目标函数•在
平面区域中，求线性目标函数的最优解，要注意分析线性目标函数所表示的几何意义，从
而确定目标函数在何处取得最优解
15•用0,1,2,3,4,5这六个数字组成一个无重复数字的六位数，要求偶数互不相邻0和5
必须相邻，则满足条件的六位数的个数为.（用数字作答）
【答案】60
【解析】由题意可知用0,1,2,3,4,5这六个数字组成一个无重复数字的六位数，要求偶数互不相邻0和5必须相邻，将数字0和5捆绑在一起，按05和50两种次序和数字1,3进行排列，数字2,4插空处理.
【详解】
数字0和5捆绑在一起，按50次序和数字1,3进行排列，数字2,4插空处理
满足此条件的六位数的个数为：
A：
36
数字0和5捆绑在一起，按05次序和数字1,3进行排列，数字2,4插空处理
满足此条件的六位数的个数为：
A：
A：
36
当05排在首位不符合题意，此时排列个数为：
A；A：
12
故:
满足条件的六位数的个数为：
36+361260
故答案为：
60.
本题考查排列的简单应用•在排列的过程中，一般我们要注意：
特殊元素优先排，相邻元素捆绑排这样一个原则•
16.已知梯形
ABCD中，BC2AD,
ABADCD,若平面内一点P满足：
uuuuult
uuu
uuu
UJU
0,V0,则xV的最小值为•
PBPC0,
PB
xPA
yPC,其x
【答案】3
【解析】画出其几何图像，
UULUJU由PBPC
0知，点P的轨迹是以BC为直径的圆，设PB与
uuuuuumuxULDyuuuXV
AC交于点Q,PBPQ,故PQ—PAPC,A,Q,C三点共线知1,
可得：
xV,结合图像即可求得x
V的最小值.
【详解】
画出其几何图像：
由PBPC0知，点P的轨迹是以
BC为直径的圆，
又x0,V0,
点P只能在劣弧
AC上运动
（不含
A,C两点）
设PB与AC交于点
UULQ,PB
UULT
PQ
UJUxUULVUJUPQ-PAPC,
x
A,Q,C三点共线知一
1,可得:
PB
PQ
结合图形知：
当占
■=1八、、
P运动至距AC最远时最小,
DADC,
点P与点D重合时最小，此时
|pq|
AD
1—
PB
|QB
BC
1,可得
PQ
3.
故答案为：
3.
【点睛】
本题考查了向量的共线和向量的运算，熟悉向量相关知识点和数形结合是解题的关键
考查了分析能力和计算能力，属于基础题•
三、解答题
17•已知数列an满足a11,an1
2an
4an
（1）证明：
数列—1为等比数列；an
（2）求数列丄的前n项和.an
【答案】
（1）证明见解析
（2）2
【解析】
（1）由an1
2an
n
an
可得
an1
42
221,根据等比数
anan
列概念即可得出答案；
（2）由
2
知1
an
n1_1
2,可得一
an
2n11
2n
2丄，采用分组求和方法，即可求
2
得数列
的前n项和.
【详解】
（1）Q
an1
则2
an1
an
an
a
2an
an
2an
an
an
an
2
，又11
a1
是以1为首项，2为公比的等比数列•
an
2
（2）由
（1）知12
an
12n112n21
an22
故其前n项和为：
Sn
112n
数列
的前n项和为：
2n1
an
【点睛】
本题主要考查判断数列是否为等比数列和分组求和
解题关键是掌握等比数列的前n项
和公式和等差数列前n项和公式，考查了计算能力，属于基础题.
18.已知函数fx2cosxsinx
sin,
0,，且f
0
2
（2）如图，在VABC中，A,AC1,D是边ab的中点，BC2CD,求AB.
【答案】
（1）-
（2）AB
3
【解析】
（1）由f
0，可得
2cossin2sin0,结合
0,—,即可求得
2
（2）设ADDB
x，CB2CD2y，在VACD和VABC分别使用余弦定理，即可
求得AB.
【详解】
（1）Q由f
0得：
2cossin2sin0
sin
4cos2
由0,—，sin,cos0
2
1
cos-—
2，3.
（2）设ADDBx,CB2CD2y
Q在VACD中，由余弦定理寸x212xcos60x1x―①
Q在VABC中,由余弦定理4y214x222xcos604x22x1—②
3
联立①②消去y解得x-
2
AB2x3.
【点睛】
本题考查了余弦定理解三角形
解题关键是灵活使用余弦定理
考查了分析能力和计算
能力，属于基础题.
19.《中国诗词大会》是由CCTV0自主研发的一档大型文化益智节目，以“赏中华诗词
寻文化基因品生活之美”为宗旨，带动全民重温经典、从古人的智慧和情怀中汲取营养、涵养心灵，节目广受好评还因为其颇具新意的比赛规则：
每场比赛,106位挑战者全部参
赛,分为单人追逐赛和擂主争霸赛两部分单人追逐赛的最终优胜者作为攻擂者与守擂擂主进行比拼，竞争该场比赛的擂主，擂主争霸赛以抢答的形式展开，共九道题，抢到并回答正确者得一分，答错则对方得一分，先得五分者获胜，成为本场擂主，比赛结束已知某场擂主争霸赛中，攻擂者与守擂擂主都参与每一次抢题且两人抢到每道题的概率都是
34
3,-,且两人各道题是否回答正
55
1
1,攻擂者与守擂擂主正确回答每道题的概率分别为
2
确均相互独立.
（1）比赛开始，求攻擂者率先得一分的概率
（2）比赛进行中，攻擂者暂时以3:
2领先，设两人共继续抢答了X道题比赛结束，求随
机变量X的分布列和数学期望.
2
【答案】
（1）2
（2）答案见解析
5
【解析】
（1）由题意可知：
每道题的抢答中，记攻擂者得一分为事件M,M发生有两种
可能:
抢到题且答对,对方抢到题且答错，即可求得攻擂者率先得一分的概率；
23
（2）由
（1）知,在每道题的抢答中攻擂者与守擂擂主得一分的概率分别为-,-.根据
55
（X=4），
比赛规则，X的所有可能取值分别为2,3,4,求出PX
即可求得随机变量X的分布列和数学期望
【详解】
（1）每道题的抢答中，记攻擂者得一分为事件M.
M发生有两种可能：
抢到题且答对，对方抢到题且答错
3
3
73
2
2
51
P
X
3
c2-
5
25
5
125
4
51
54
P
X
4
1
25
125
125
X的分布列为
X
2
3
4
P
4
25
51
125
54
125
比赛开始
（2）由
（1）
根据比赛规则
则PX2
求攻擂者率先得一分的概率为
知，在每道题的抢答中攻擂者与守擂擂主得一分的概率分别为
X的所有可能取值分别为2,3,4,
4一25
2一5
2兰3邑4邑409
25125125125
【点睛】
在列分布列时，要弄清
本题考查了概率的求法和离散型随机变量分布列及其数学期望随机变量所满足的分布列类型，结合相应公式求出事件的概率，进而得出概率分布列以
及数学期望，考查计算能力•
2
x
20•已知
升级会员 