届重庆市南开中学高三第五次教学质量检测考试数学理试题解析版.docx

1、届重庆市南开中学高三第五次教学质量检测考试数学理试题解析版2020 届重庆市南开中学高三第五次教学质量检测考试数学（理）试题、单选题1已知集合 A x|x2 2x 3 0 , B1,0,1,2,3 , 则 AI B (B 1,0A 1,0,1C 0,1D 0,1,2【答案】 D2【解析】 化简集合 A x|x2 2x 3 0 ,根据交集定义即可求得答案【详解】2Q A x|x2 2x 3 0 1,3又 Q B 1,0,1,2,3AI B 0,1,2故选 :D.【点睛】本题考查了集合的交集 ,在集合运算比较复杂时 ,可以使用数轴来辅助分析问题 , 属于基 础题 .2已知随机变量 X : N 2,

2、 2 0 ，若 P X 4 0.7，则 P X 0 （ ）A0.2B0.3C0.5D0.7【答案】B【解析】由随机变量X:2N 2, 2 0 , 当 P X4 0.7, 结合 P X 2 0.5即可求得P 2 X40.2, 根据正态分布的对称性, 即可求得答案 .【详解】Q 随机变量 X : N 2, 2 0 当 P X 4 0.7又 Q P X 2 0.5,可得 P 2 X 4 0.2第 1 页 共 24 页P X 0 0.5 0.2 0.3故选:B.【点睛】本题主要考查正态分布的对称性 ，意在考查对基础知识的掌握与应用 ，属于基础题3 .已知 a log0.20.2, e0.2 ,则（ ）

3、A. a b cB. c bC. a eD. be【答案】【解析】因为 a log 0.20, b0.2 1,由 e 0.2得：0 e 1,即可求得答案【详解】Q根据y log。x图像可知：alog 0.2 00.21,根据y0.2x图像，由e 0.20 e 1综上所述,a e b.故选:C.【点睛】本题考查比较数值大小，这类大小比较一般是借助中间值，与中间值比较后可得它们的 大小关系.4. 2016年1月6日，中国物流与采购联合会正式发布了中国仓储指数，中国仓储指数是反映仓储行业经营和国内市场主要商品供求状况与变化趋势的一套指数体系， 如图所示的折线图是2019年甲企业和乙企业的仓储指数走势

4、情况 .根据该折线图，下列结论中不正确的是（ ）甲企业 乙it业A. 2019年1月至4月甲企业的仓储指数比乙企业的仓储指数波动大B. 甲企业2019年的年平均仓储指数明显低于乙企业 2019年的年平均仓储指数C. 两企业2019年的最大仓储指数都出现在 4月份D. 2019年7月至9月乙企业的仓储指数的增幅高于甲企业【答案】D【解析】先对图表数据分析处理，再结合简单的合情推理，对每个选项逐一判断即可得到 答案【详解】对于A,从图可以看出，2019年1月至4月甲企业的仓储指数比乙企业的仓储指数波动大,故A结论正确；对于B,从图可以看出，甲企业2019年的年平均仓储指数明显低于乙企业 2019年

5、的年平均仓储指数，故B结论正确；对于C，从图可以看出，两企业2019年的最大仓储指数都出现在 4月份，故C结论正确；对于D，从图可以看出，2019年7月至9月乙企业的仓储指数的增幅低于甲企业 ，故D结论错误故选:D.【点睛】本题考查了折线图，掌握折线图相关知识是解题关键 ，考查了分析能力，属于基础题5 .已知各项均为正数的等比数列 an的前4项和为45,且a5 2a3 a4，则a2 ( )A. 6 B. 9C. 12 D. 15【答案】Aa1 1 qn【解析】设等比数列 an的公比为q，由等比数列的前n项和公式& J和等1 q_ n 1比数列通项公式an ae ，结合已知即可求得答案【详解】Q

6、 a5 2a3 a4根据等比数列通项公式 an aen1a1q4 2qq2 qq3q2 2 q 即(q 2)(q 1) 0解得：q = 2或q 1(舍去)Q等比数列an的前4项和为45根据等比数列的前n项和公式snna1 1 q可得S4a-i 1q445,解得a11 q故：a2a1q 6故选A【点睛】本题主要考查等比数列的通项公式 ，等比数列的前n项和公式的应用.解题关键是掌握等比数列前n项和公式，考查了计算能力,属于中档题若sin1，则 sin 2 (32979【答案】A.C.【解析】由sin1,可得sin3B.D.1989-,根据3cos 22sin 2即可求得答案【详解】sin1,可得s

7、in3cos2sinsin 2cos故选：C.【点睛】本题考查了诱导公式及二倍角的余弦公式,解题的关键是根据已知条件选用余弦的二倍角公式来解决问题7 x2x2x41的展开式中x项的系数为( )A 9B 5C 7D8【答案】A【解析】将2 xx42 x 1 化简为: x2(x 1)4 x(x 1)4 2(x 1)4,写出 (x 1)二项展开式的通项公式Tr 1 C4r x(4 r)( 1)r , 即可求得答案 .【详解】Q x2x2x1 4 x2 (x 1)444x(x 1)4 2(x 1)4(x 1)4二项展开式的通项公式 Tr 1 C4rx(4 r ) ( 1)rQ x2(x 1)4中不含x

8、项，无需求解.Q x(x 1)4 中含 x 项,即当 r 4 时 x C4x(4 4) ( 1)4 xQ 2(x 1)4 中含 x 项，即当 r 3时 2C43x(4 3) ( 1 )3 8x24 x2 x 2 x 1的展开式中x项9x故选:A.【点睛】本题考查求二项式展开式中常数项 ,解题关键是掌握二项展开式的通项公式 ,考查分析能力和计算能力 , 属基础题 .8数列 : 1,1,2,3,5,8,13, 称为斐波那契数列 , 是由十三世纪意大利数学家列昂纳多斐波那契以兔子繁殖为例而引入 ，故又称为“兔子数列” 该数列前两项均为 1,从第三项开始 , 每项等于其前相邻两项之和 , 某同学设计如

9、图所示的程序框图 , 当输入正整数n n 3时,输出结果恰好为“兔子数列”的第 n项,则图中空白处应填入( )第 5 页 共 24 页A. ba bB. b a cC. ab cD.c ac【答案】B【解析】由数列：1,1,2,3,5,8,13,可得数列anan-1an 2, n n 3 .结合程序框图即可得出答案【详解】Q 由数列：1,1,2,3,5,8,13,可得数列 an an-1 an 2, n n 3结合程序框图可得空白处为 ：b a c故选:B.【点睛】本题考查斐波那契数列的理解和运用 ，解题关键是能够理解程序框图，考查了分析能力，属于基础题.9 随机变量X的分布列如下表所示，在E

10、 X 0的前提条件下，不等式x2 x a 0对 x R恒成立的概率为（ ）X101PaabA.112B.C.D.【答案】B【解析】根据 E(X) X1 p X2P2X3P3,则 E(X) a b ,可得 a b0 .根据P1 P2P3 1得2a b1 .要保证不等式x2a 0对x R恒成立，需满足1 4a0,即可求得答案【详解】Q E(X)X1P1 X2 P2 X3P3E(X)a b,结合E0可得a b 0根据P1P2P3 1 得 2a解得:02aQ要保证不等式x20对x R恒成立，需满足14a 0解得：a则不等式x2 x1 1R恒成立的概率为：晋43故选:B.【点睛】本题考查利用古典概型求解

11、概率、离散型随机变量的分布列和数学期望的求解问题练掌握求几何型概率的方法是解题关键 ，属于基础题2 210 .已知双曲线C : -1 aa b0,b 0的右焦点为F c,0 ,若存在过点F的直A,线I与双曲线的右支交于不同的两点 ，与双曲线的一条渐近线交于第一象限内的点且AF c,则双曲线C的离心率的取值范围是（ ）A. 1,3 B. 1,2D. 2,C. ,2,2【答案】B【解析】 根据题意画出其几何图像,设 AOF,根据双曲线的一条渐近线交于第象限内的点A,且 AF c 则 AFO 180 2BOM ,若存在过点F的直线I与双曲线的右支交于不同的两点 ，需保证 BOM AFO,根据双曲线的

12、渐近线为 y 一 x,则tan -，即可求得离心率范围.a a【详解】根据题意画出其几何图像设 AOF ,根据双曲线的一条渐近线交于第一象限内的点 A,且AF cAFO 180 2 , BOM若存在过点F的直线I与双曲线的右支交于不同的两点，需保证 BOM AFOBOM AFO,则 180 260根据双曲线的渐近线为 y x,则tan a a一 .3aQ根据双曲线C的离心率e - .j 一a Y a、1 2Q根据双曲线C的离心率e 11 e 2故选:B.【点睛】本题考查了求双曲线离心率的范围问题 ，解题关键是根据已知条件画出其几何图像 ，数 形结合.考查分析能力和计算能力，属于中档题.2x,1

13、 x 211.已知定义在区间 1,上的函数f x 1 x ,若函数丄f仝，x 22 2kg x f x 有无穷多个零点，则实数k的取值范围是（ ）xA. 1,2C. 2,8【答案】C【解析】因为定义在区间1, 上的函数B. 2,4D. 4,82x,1 x 2x 1 x ,画出其函数图像f , x 22 2求函数g x 1f xk零点个数x,即求f xk-交点个数，即可求得实数k的取值范x围【详解】Q求函数g xfx -零点个数，即求y_ kf x与y 交点个数xx2x,1x 2因为定义在区间1,上的函数f x1x-f,x 222令2 x 4,则f(x)1 f 2 22令4 x 8,则f(x)!

14、f冬2 24画出y 8和yx2x,1 x 21 x 图像:f ,x 22 2-3-2J 61 3 4 5 6 7 8 9WH-1 -k由图像可知实数k的取值范围在 2,8时，f x 交点个数是无穷多个x故选:C.【点睛】本题考查了分段函数和方程零点问题.解题关键是画出其函数图像,结合函数图像，将函数的求零点问题转化图像交点问题,考查了分析能力和理解能力,属于中档题.212 .已知椭圆C :笃2a2 y b2b 0的左焦点为F c,0,上顶点为A,离心率为乜，直线FA与抛物线2E：4cx交于M , N两点，则MANA ()A. 2、3aB. 5aC. 4、3aD. 10a【答案】【解析】设点M

15、,yM, 1xN,Yn ,由题意可知kFA -3 ,故MANAxM xN,设MN的中点坐标为 xg,yo ,由中点坐标公式和点差法即可求得答案【详解】 设点 M Xm ,Ym , N Xn ,YnQ由题意可知kFAMANA23Xn ，设MN的中点坐标为 xo,yo ,由中点坐标公式：Q yM 4cXM Xoyo2 ,yNXM XN2yM yN24cxn 由-，点差法可得：yo1 _3 2c ,即 yo 2、3c ,又Q fa ： y,故 Xo 5c ,XMXn2xo 10c,MANA2Oc3 1Oa.故选:D.【点睛】本题考查求椭圆方程与抛物线方程 ，解题关键是掌握椭圆和抛物线的相关知识 ，和

16、熟练 使用点差法，考查了分析能力和计算能力，属于中档题二、填空题13 曲线y 2x 1 ex在点o, 1处的切线方程为 .【答案】y x 1【解析】利用切线的斜率是函数在切点处导数 ，求出切线斜率，再利用直线方程的点斜式即可求出切线方程.【详解】Q y 2x 1 exy 2ex 2x 1 ex函数y 2x 1 e在x 0处的切线斜率为1,又Q切点坐标为 0, 1 , 切线方程为y x 1 .故答案为：y x 1.【点睛】本题主要考查了利用导数的几何意义求解切线的方程 ，其中解答中准确求得函数的导数合理利用导数的几何意义求解是解答的关键,着重考查了推理与运算能力，属于基础题.14.设实数x, y

17、满足约束条件2x y 6 0x 2y 4 0,则z上的取值范围是xx y 2 01 7【答案】丄,74 4【解析】作出不等式组所表示的可行域yz 可看作是可行域上的点与原点xO 0,0 两点的斜率，结合图像即可求得 z -的取值范围x【详解】2x y 6 0根据实数x, y满足约束条件 x 2y 4 0,x y 2 0作出不等式组所表示的可行域 ，如图：由2x yx 2y80x -5A 814解得：,即 A 一,014y 7552xy60x -358由解得：即B -xy2023y -3则koB14Q z y可看作是可行域上的点与原点 O0,0两点的斜率xy 1 7z 的取值范围是：匚，.x 4

18、 41 7故答案为：-,7 .4 4【点睛】本题考查线性规划问题，关键是根据所给的约束条件准确地画岀可行域和目标函数 在平面区域中，求线性目标函数的最优解，要注意分析线性目标函数所表示的几何意义 ，从而确定目标函数在何处取得最优解15 用0,1,2,3,4,5这六个数字组成一个无重复数字的六位数 ，要求偶数互不相邻0和5必须相邻，则满足条件的六位数的个数为 .（用数字作答）【答案】60【解析】由题意可知用0,1,2,3,4,5这六个数字组成一个无重复数字的六位数 ，要求偶数 互不相邻0和5必须相邻，将数字0和5捆绑在一起，按05和50两种次序和数字1,3进 行排列，数字2,4插空处理.【详解】

19、数字0和5捆绑在一起，按50次序和数字1,3进行排列，数字2,4插空处理满足此条件的六位数的个数为 ：A： 36数字0和5捆绑在一起，按05次序和数字1,3进行排列，数字2,4插空处理满足此条件的六位数的个数为 ：A： A： 36当05排在首位不符合题意，此时排列个数为：A； A： 12故:满足条件的六位数的个数为：36+36 12 60故答案为：60.本题考查排列的简单应用在排列的过程中，一般我们要注意：特殊元素优先排，相邻元 素捆绑排这样一个原则16 .已知梯形ABCD 中，BC 2AD,AB AD CD ,若平面内一点P满足：uuu uultuuuuuuUJU0, V 0,则x V的最小

20、值为 PB PC 0,PBxPAyPC ,其 x【答案】3【解析】画出其几何图像，UUL UJU 由 PB PC0知，点P的轨迹是以BC为直径的圆，设PB与uuu uuu mu x ULD y uuu XVAC交于点Q, PB PQ,故PQ PA PC , A, Q, C三点共线知 1 ,可得： x V,结合图像即可求得xV的最小值.【详解】画出其几何图像：由PB PC 0知，点P的轨迹是以BC为直径的圆，又 x 0, V 0,点P只能在劣弧AC上运动（不含A, C两点）设PB与AC交于点UUL Q, PBUULTPQUJU x UUL V UJU PQ -PA PC,xA, Q, C三点共线

21、知一1 ,可得:PBPQ,结合图形知：当占=1 八、P运动至距 AC最远时 最小,DA DC ,点P与点D重合时最小，此时|pq|AD1 PB|QBBC1,可得PQ3.故答案为：3.【点睛】本题考查了向量的共线和向量的运算 ，熟悉向量相关知识点和数形结合是解题的关键考查了分析能力和计算能力，属于基础题三、解答题17 已知数列 an满足a1 1, an 12an4 an（1）证明：数列1为等比数列； an（2）求数列丄的前n项和. an【答案】（1）证明见解析（2）2【解析】（1）由an 12annan,可得an 14 22 2 1,根据等比数an an列概念即可得出答案；(2)由2知 1ann

22、 1 _12 ,可得一an2n 1 12n2丄，采用分组求和方法，即可求2得数列的前n项和.【详解】(1) Qan 1则2an 1anana2anan2anananan2，又 1 1a1是以1为首项，2为公比的等比数列an2(2)由(1)知 1 2an1 2n1 1 2n 2 1an 2 2故其前n项和为：Sn1 1 2n数列的前n项和为：2n 1an【点睛】本题主要考查判断数列是否为等比数列和分组求和,解题关键是掌握等比数列的前 n项和公式和等差数列前 n项和公式，考查了计算能力，属于基础题.18 .已知函数 f x 2cosxsin xsin ,0,，且 f02(2)如图，在VABC中，A

23、 , AC 1, D是边ab的中点，BC 2CD ,求AB.【答案】(1) - (2) AB3【解析】(1 )由f0，可得2cos sin 2 sin 0,结合0,即可求得2(2)设 AD DBx，CB 2CD 2y，在VACD和VABC分别使用余弦定理，即可求得AB .【详解】(1) Q 由 f0得：2cos sin 2 sin 0sin4cos2由 0,，sin ,cos 021cos - 2， 3.(2)设 AD DB x, CB 2CD 2yQ在VACD中，由余弦定理 寸 x2 1 2xcos60 x 1 x Q 在 VABC 中,由余弦定理 4y2 1 4x2 2 2xcos60 4

24、x2 2x 13联立消去y解得x -2AB 2x 3.【点睛】本题考查了余弦定理解三角形,解题关键是灵活使用余弦定理考查了分析能力和计算能力，属于基础题.19.中国诗词大会是由CCTV0自主研发的一档大型文化益智节目 ，以“赏中华诗词寻文化基因品生活之美”为宗旨，带动全民重温经典、从古人的智慧和情怀中汲取营养、 涵养心灵，节目广受好评还因为其颇具新意的比赛规则 ：每场比赛,106位挑战者全部参赛,分为单人追逐赛和擂主争霸赛两部分单人追逐赛的最终优胜者作为攻擂者与守擂擂 主进行比拼，竞争该场比赛的擂主，擂主争霸赛以抢答的形式展开 ，共九道题，抢到并回 答正确者得一分，答错则对方得一分，先得五分者

25、获胜，成为本场擂主，比赛结束已知某 场擂主争霸赛中，攻擂者与守擂擂主都参与每一次抢题且两人抢到每道题的概率都是3 43 ,-,且两人各道题是否回答正5 511,攻擂者与守擂擂主正确回答每道题的概率分别为2确均相互独立.(1)比赛开始，求攻擂者率先得一分的概率(2)比赛进行中，攻擂者暂时以3: 2领先，设两人共继续抢答了 X道题比赛结束，求随机变量X的分布列和数学期望.2【答案】(1) 2 (2)答案见解析5【解析】(1)由题意可知：每道题的抢答中，记攻擂者得一分为事件 M , M发生有两种可能:抢到题且答对,对方抢到题且答错，即可求得攻擂者率先得一分的概率 ；2 3(2)由(1)知,在每道题的

26、抢答中攻擂者与守擂擂主得一分的概率分别为 -,-.根据5 5(X=4)，比赛规则，X的所有可能取值分别为 2,3,4 ,求出P X即可求得随机变量 X的分布列和数学期望【详解】(1)每道题的抢答中，记攻擂者得一分为事件 M.M发生有两种可能：抢到题且答对，对方抢到题且答错337 32251PX3c2 -52 5512545154PX4125125125X的分布列为X234P4255112554125比赛开始(2)由(1)根据比赛规则则P X 2,求攻擂者率先得一分的概率为知，在每道题的抢答中攻擂者与守擂擂主得一分的概率分别为,X的所有可能取值分别为 2,3,4,4一252 一 52兰3邑4邑40925 125 125 125【点睛】,在列分布列时，要弄清本题考查了概率的求法和离散型随机变量分布列及其数学期望 随机变量所满足的分布列类型，结合相应公式求出事件的概率，进而得出概率分布列以及数学期望，考查计算能力2x20 已知