江西省红色七校届高三第二次联考理科数学试题.docx

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江西省红色七校届高三第二次联考理科数学试题

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江西省红色七校2020届高三第二次联考数学（理科）试题

注意事项：

1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2、请将答案正确填写在答题卡上

一、选择题：

本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.复数（是虚数单位），则的模为（）

A.0B.1C.D.2

2.已知全集，集合，，则（）

A.B.

C.D.

3.命题“，”的否定是（）

A.，B.，

C.，D.，

4.下列函数中，既是奇函数又在上单调递增的是（）

A.B.C.D.

5.已知等比数列的前项和为，，则数列的公比（）

A.-1B.1C.D.2

6.过椭圆的中心任作一直线交椭圆于，两点，是椭圆的一个焦点，则的周长的最小值为（）

A.12B.14C.16D.18

7.把标号为1，2，3，4的四个小球放入标号为1，2，3，4的四个盒子中，每个盒子只放一个小球，则1号球不放入1号盒子的方法共有（）

A.18种B.9种C.6种D.3种

8.为检测某药品服用后的多长时间开始有药物反应，现随机抽取服用了该药品的1000人，其服用后开始有药物反应的时间（分钟）与人数的数据绘成的频率分布直方图如图所示.若将直方图中分组区间的中点值设为解释变量（分钟），这个区间上的人数为（人），易见两变量，线性相关，那么一定在其线性回归直线上的点为（）

A.B.C.D.

9.单位正方体在空间直角坐标系中的位置如图所示，动点，，其中，，设由，，三点确定的平面截该正方体的截面为，那么（）

A.对任意点，存在点使截面为三角形

B.对任意点，存在点使截面为正方形

C.对任意点和，截面都为梯形

D.对任意点，存在点使得截面为矩形

10.设，，，则（）

A.B.C.D.

11.已知是双曲线：

的左焦点，过点且倾斜角为的直线与曲线的两条渐近线依次交于，两点，若是线段的中点，且是线段的中点，则直线的斜率为（）

A.B.C.D.

12.函数（，是自然对数的底数，）存在唯一的零点，则实数的取值范围为（）

A.B.C.D.

二、填空题：

本大题共4小题，每小题5分.

13.在中，，则角的大小为______.

14.已知函数是定义域为的偶函数，且在上单调递增，则不等式的解集为______.

15.已知各项都为正数的数列，其前项和为，若，则______.

16.，为单位圆（圆心为）上的点，到弦的距离为，是劣弧（包含端点）上一动点，若，则的取值范围为______.

三、解答题：

本大题共6个大题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.已知函数，，是函数的零点，且的最小值为.

（1）求的值；

（2）设，若，，求的值.

18.某厂包装白糖的生产线，正常情况下生产出来的白糖质量服从正态分布（单位：

）.

（1）求正常情况下，任意抽取一包白糖，质量小于的概率约为多少？

（2）该生产线上的检测员某天随机抽取了两包白糖，称得其质量均小于，检测员根据抽检结果，判断出该生产线出现异常，要求立即停产检修，检测员的判断是否合理？

请说明理由.

附：

，则，，.

19.如图，直三棱柱中，，，为的中点.

（1）若为上的一点，且与直线垂直，求的值；

（2）在

（1）的条件下，设异面直线与所成的角为，求直线与平面成角的正弦值.

20.已知抛物线：

，其焦点到准线的距离为2，直线与抛物线交于，两点，过，分别作抛物线的切线，，与交于点.

（1）求的值；

（2）若，求面积的最小值.

21.已知是函数的极值点.

（1）求实数的值；

（2）求证：

函数存在唯一的极小值点，且.

（参考数据：

，，其中为自然对数的底数）

请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.

22.【选修4-4：

坐标系与参数方程】

在平面直角坐标系中，直线过原点且倾斜角为.以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立坐标系，曲线的极坐标方程为.在平面直角坐标系中，曲线与曲线关于直线对称.

（1）求曲线的极坐标方程；

（2）若直线过原点且倾斜角为，设直线与曲线相交于，两点，直线与曲线相交于，两点，当变化时，求面积的最大值.

23.【选修4-5：

不等式选讲】

已知函数.

（1）当时，求不等式的解集；

（2）当不等式的解集为时，求实数的取值范围.

江西省红色七校2020届高三第二次联考数学（理科）参考答案

一、选择题

1-5：

CABDC6-10：

DACAB11-12：

DA

二、填空题

13.14.15.16.

三、解答题

17.

（1）

，

∵的最小值为，∴，即，∴.

（2）由

（1）知：

，

∴，

，∴，

又∵，∴，，

∴.

18.

（1）设正常情况下，该生产线上包装出来的白糖量为，由题意可知.

由于，所以根据正态分布的对称性与“原则”可知

.

（2）检测员的判断是合理的.

因为如果生产线不出现异常的话，由

（1）可知，随机抽取两包检查，质量都小于的概率约为，

几乎为零，但这样的事件竟然发生了，所以有理由认为生产线出现异常，检测员的判断是合理的.

19.证明：

取中点，连接，，有，

因为，所以，

又因为三棱柱为直三棱柱，

所以平面平面，

又因为平面平面，所以平面，

又因为平面，所以，

又因为，，平面，平面，

所以平面，

又因为平面，所以，

因为，所以，

连接，设，

因为为正方形，所以，

又因为平面，平面，所以，

又因为为的中点，所以为的中点，所以.

（2）如图以为坐标原点，分别以，，为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，

设，由

（1）可知

所以，所以，

所以，，，，，

所以，，，

设平面的法向量为，则，即，

则的一组解为.

所以，

所以直线与平面成角的正弦值为.

20.

（1）由题意知，抛物线焦点为，准线方程为，

焦点到准线的距离为2，即.

（2）抛物线的方程为，即，所以，

设，，

：

，：

，

由于，所以，即，

设直线方程为，与抛物线方程联立，

得，所以，

，，，所以，

即：

，

联立方程，得，即，

点到直线的距离，

，

所以，

当时，面积取得最小值4.

21.

（1）因为，且是极值点，

所以，所以.

此时，

设，则.

则当时，，为减函数.

又，，

所以在时，，为增函数；

时，，为减函数.

所以为的极大值点，符合题意.

（2）当时，，为增函数，且，，

所以存在，；

当时，，为减函数；时，，为增函数，

所以函数存在唯一的极小值点.

又，已知，可得，

所以，所以且满足.

所以.

其中也可以用如下方式证明：

，设，

则.

则当时，，为减函数；

当时，，为增函数.

所以，

所以在，所以.

四、选做题

22.

（1）法一：

由题可知，的直角坐标方程为.

设曲线上任意一点关于直线对称点为，

所以，

又因为，即，

所以曲线的极坐标方程为.

法二：

由题可知，的极坐标方程为，

设曲线上一点关于的对称点为，

所以，

又因为，即，

所以曲线的极坐标方程为.

（2）直线的极坐标方程为，直线的极坐标方程为，

设，，

所以，解得，

，解得，

∴

，

因为，所以，

当，即时，，取得最大值为.

23.

（1）时，，

当时，，即，∴；

当时，，即，∴；

当时，，无解，

综上，的解集为.

（2），

当，即时，时等号成立；

当，即时，时等号成立，

所以的最小值为，

即，∴或.