傅里叶变换光学.docx
《傅里叶变换光学.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《傅里叶变换光学.docx（24页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
傅里叶变换光学
（1）
Do。
光线由该点通
中山大学光信息专业实验报告：
傅里叶光学变换系统
实验人：
何杰勇（11343022）合作人：
徐艺灵组号B13
一、实验目的和内容
1、了解透镜对入射波前的相位调制原理。
2、加深对透镜复振幅、传递函数、透过率等参量的物理意义的认识。
3、观察透镜的傅氏变换（FT）图像，观察4f系统的反傅氏变换（IFT）图像，并进行比较。
4、在4f系统的变换平面（T）插入各种空间滤波器，观察各种试件相应的频谱处理图像。
二、实验原理
1、透镜的FT性质及常用函数与图形的关学频谱分析透镜由于本身厚度的不同，使得入射光在通过透镜时，各处走过的光程差不同，即所受时间延迟不同，因而具有相位调制能力。
图1为简化分析，假设任意点入射光线在透镜中的传播距离等于改点沿光轴方向透镜的厚度，并忽略光强损失，即通过透镜的光波振幅分布不变，仅产生位相的变化，且其大小正比于透镜在该
点的厚度。
设原复振幅分布为Ul（x,y）的光通过透镜后，其复振
幅分布受到透镜的位相调制，附加了一个位相因子（X,y）后变为Ul（x,y）:
Ul（x,y）Ul（x,y）exp[j（x,y）]
若对于任意一点（x，y）透镜的厚度为D（x,y），透镜的中心厚度为
过透镜时在透镜中的距离为D（x,y），空气空的距离为Do—D（x,y），透镜折射率为n,则
该点的总的位相差为：
（x,y）k[D°D（x,y）]knD（x,y）kD°k（n1）D（x,y）
（2）
（2）中的k=2n/入，为入射光波波数。
用位相延迟因子t（x,y）来表示即为：
t（x,y）exp（jkD°）exp[jk（n1）D（x,y）]
由此可见只要知道透镜的厚度函数D（x,y）就可得出其相位调制。
在球面镜傍轴区域,
用抛物面近似球面，可以得到球面透镜的厚度函数为：
12211
D（x,y）Do尹y）（-瓦）
（4）对双凹、双凸、或凹凸透镜都成
其中Ri、R2是构成透镜的两个球面的曲率半径。
公式
发生位相延迟。
从式（6）容易看出第一项位相因子exp（jknD。
）仅表示入射光波的常量位相延迟，不影
响位相的空间分布，即波面形状，所以在运算过程中可以略去。
第二项exp[j#（x2y2）]
是具有调制作用的因子，它表明光波通过透镜的位相延迟与该点到透镜中心的距离的平方成正比。
而且与透镜的焦距有关。
当考虑透镜孔径后，有:
k22
t（x,y）exp[j（xy）]p（x,y）
其中的p（x,y）为透镜的光瞳函数，表达式为:
1孔径内
p（x,y）（8
0其它
2、透镜的傅里叶变换性质
在单色平面波垂直照射下，夫琅和斐衍射光场的复振幅分布正比于衍射屏透射系数的傅
里叶变换。
衍射图像的强度分布正比于衍射屏的功率谱分布。
一般情况下，我们是将夫朗和
斐衍射图像成像到透镜的像方焦平面出，这就是说，作为成像元件的透镜，就相当于傅里叶变换器。
如图2所示，设单位振幅的单色平面光垂直照射一透射系数为t（x,y）的衍射屏，与衍
射屏相距Z处放置一焦距为f的薄透镜L,先观察其像方平面L的光场分布。
为了讨论方便，这里我们忽略透镜材料的吸收、散射、透镜表面的反射以及透镜孔径大小等因素的影响。
设E（x,y）、E（Xi,yJ、E（X|,yi）、E（Xf,yJ分别表示衍射屏后、透镜输入平面、输
出平面以及像方平面出光波场的复振幅分布。
由于透镜的相位调制特性，输出平面与输入平
面出光波场之间的关系由下式决定：
面上的光波场复振幅E（xf,yf）分布应具有如下形式:
在单位振幅的平面波垂直照射下，透镜衍射屏的光波场复振幅分布屏的透射系数t（x,y），故其频谱分布为:
E（x,y）即等于衍射
（12）
F{E（x,y）}F{t（x,y）}T（u,v）
在傍轴条件下（u,v,z）具有如下的形式:
从上式可以看到，在单色平面波垂直照射下，透镜像方焦平面处的光场除了一个常数因子外和一个二次因子外，其余的反应了衍射屏透射系数得傅里叶变换。
经过进一步的分析我
们可以得到在用透镜对二维关学图像进行傅里叶变换时，若将图像放置在透镜的物方焦平面
上，则在透镜的像方焦平面上得到输入图像准确的傅里叶变换。
若将输入图像放置在透镜与
其像方焦平面之间，则像方焦平面上频谱图样的大小可随衍射屏到像方焦平面的距离的变化而改变；并且当输入图像紧贴透镜后放置时可获得最大的频谱图样。
而对于球面波照射时，傅里叶变换平面将不是在透镜的像方平面。
而是光源的共轭像平面上。
3.透镜孔径的衍射与滤波特性
由于孔径的衍射效应，任何具有有限大小通过光孔径的光学成像系统，均不存在如几何光学中所说的理想像点。
所谓共轭像点，实际上是由系统孔径引起的，以物点的几何像点
为中心的夫琅和斐衍射图样的中央亮斑一一艾里斑。
其次，透镜有限大小的通光孔径，也限
制了衍射屏函数的较高频率成分（具有较大入射倾角的平面波分量）的传播。
这可以从图3
可以看出：
透过衍射屏的基频平面波分量1可以全部通过透镜，具有较高（空间）频率的平面波
分量2只能部分通过，而高频平面波分量3则完全不能通过。
这样，在透镜像方焦平面上的光波场中就缺少了衍射屏透射光场中部分高频成分，因此，所得衍射屏函数的频谱将不完整。
这种现象称为衍射的渐晕效应。
由此可将，从光信息处理角度来讲，透镜孔径的有限大小，使得系统存在着有限大小的通频宽带和截止频率；从光学成像的角度来讲，则使得系统存在
着一个分辨极限。
4•相干光学图像处理系统（4f系统）
用夫琅和斐衍射来实现图像的频谱分解，最重要的意义是为空间滤波创造了条件，由
于衍射场就是屏函数的傅里叶频谱面，空间频率（u,v）与衍射场点位置（，）一一对应，使得人们可见从改变频谱入手来改造图像，进行信息处理。
为此，设计了图4所示的图像处理系统。
图44f图像处理系统
在此系统中，两个透镜、L2成共焦组合，L的前焦面（x,y）为物平面0,图像由
此输入，L2的后焦面（X',y'）为像平面I，图像在此输出。
共焦平面（，）称为变换平面
T,在此可以安插各种结构和性能的屏（即空间滤波器）。
当平行光照射在物平面上时，整个0TI系统成为相干成像系统。
由于变换平面上空间
滤波器的作用，使输出图像得以改造，所以0TI系统又是一个相干光学信息处理系统。
这里
先研究它的成像问题。
我们将相干光学系统的成像过程看作两步：
第一步，从0面到T面，使第一次夫琅和
斐衍射，它起分频作用。
第二步，从T面到I面，再次夫琅和斐衍射，起合成作用，即综合
频谱输出图像。
在这样的两步中，变换平面T处于关键地位，若在此处设置光学滤波器，就能起到选频作用。
要想作到图像的严格复原，T面必须完全畅通无阻。
此处的4f系统每次
衍射都是从焦面到焦面，这就保证了复振幅的变换是纯粹的傅里叶变换。
如果光波能够自由
通过变换平面，即连续两次的傅里叶变换，函数的形式基本复原，只是自变量变号,
Ujx’y）Uo（x,y）即图像倒置。
在有源滤波器的情况下，U!
U°tTU。
这里为滤波
器的透过率函数，这也是我们进行滤波实验的依据。
5.空间滤波实验
要从输入图像中提取或排除某种信息，就要事先研究这类信息的频谱特征，然后针对它制备相应的空间滤波器置于变换平面，经过第二次衍射合成后，就可以达到预期的效果，光信息处理的原理也就是基于如此。
三、实验仪器与装置图
实验仪器：
激光器、准直系统、傅里叶透镜、傅里叶变换试件、频谱处理器、CCD光
电接收器；
实验装置图：
如图5
图5实验装置图
四、实验内容
1.根据傅里叶变换光路装置简图摆好光路，打开激光电源，调整光路。
2.开启电脑，运行csylaser软件。
调节光路中各器件的位置，以得到样品较为清晰的傅
里叶变换图像（根据所用样品，最终应得到“米”字图像）。
并将图像保存，作为原始数
据。
3.根据反傅里叶变换光路装置简图（4f系统）摆好光路，调节器件位置，以得到样品最为
尖锐的反傅里叶变换图像，并保存。
在调节时，主要是调节CCD的位置，傅里叶透镜的
位置摆放好不要轻易乱动。
4.在频谱处理器的位置加上带有狭缝的滤波片，将激光依次透过狭缝，观察不同的狭缝对于光波的透过作用的不同，保存图像，并分析。
5.关闭激光器和电脑电源，整理好仪器。
实验结束。
四、实验数据记录与分析
1.观察样品的傅里叶频谱图图样。
图7样品傅里叶变换频谱图
由图可知，样品经过傅里叶变换得到的频谱图
理论验证：
用MatLab程序编辑一个二维矩阵做出一个图6所示的图像，使其发光部分值为1,不
发光部分为0。
如图8（a）所示。
图像在焦平面上的频谱图为图像经过了一次二维傅里叶变换，再将频谱搬移到中心，得
到的频谱图如图8（b），可以看到，理论和实际得到的图像很相似，都为米”字型。
图8MatLab的模拟图（a）原始图像；（b）图像的频谱图
对比分析：
结合图7与图8（b）可以看出，所测样品的傅里叶变换图像，类似一个“米”字。
分析可知，中心的十字经变换后仍为十字形，而顶角处的三角形则经过傅里叶变换后变为“X”形，因为最终样品的傅里叶变换图像为“米”字形。
图7中的“米”字不是很清晰，分析其原因，主要是由于激光器所发激光的光强太大，导致CCD过曝光，使中心十字过亮而“X”形不明显。
图质稍有模糊，分析原因，除了CCD的采样分辨率太小之外，可能是由于光路没有调节至完全共轴，或者CCD没有恰好在透镜
焦点上，导致了实际上没有在焦平面上获取图像。
由数学理论分析可知，频谱可以认为表示的是图像的衬比度的变化程度。
图中处于中心
位置的是零频位置，也就是图像的直流成分，可以理解为光强没有发生变化的表象；越远离
中心的频谱自然指的是衬比度变化的部分，越远离中心，衬比度的变化程度越大。
又由阿贝
成像原理，我们可以知道物体在焦面上成的像，其实是图像在透镜经过夫琅禾费衍射所形成
的像，于是水平部分指的应是竖直方向上的衬比度变化，竖直部分指的是水平方向上的衬比
度变化。
而图中的“X”部分就是箭头的斜边部分的衬比度了。
故我们实验中得到的频谱图与
理论得到的很符合。
改进方法：
降低激光光强，是CCD尽量不产生过曝；
调整光路，使CCD尽量正对傅里叶透镜的焦面，得到尽量更好的图样；
更换焦距较大的透镜，由于焦距太小，导致对光的折射角度过大，使对焦点的确定变得很难。
故可以试着更换焦距较大的透镜。
2.观察样品的反傅里叶频谱图图样。
摆好并调节好光路后，可得样品的反傅里叶变换图像如下图所示：
图9样品的反傅立叶变换图像
由上图可以看出，待测样品的反傅里叶变换图像就是它本身，但是图像发生了反转。
调节光路，当获得最为清晰，且边缘最为尖锐的图像时，为较理想的图像。
理论验证：
用MatLab软件编辑程序将由步骤1得到的图像的频谱图进行一次傅里叶变换，得打
如图10的图样。
可知，源图像的频谱图经过傅里叶变换后得到的图样形状和原图一致，但是发生了翻转，与实验得到的结果相同。
频谱图傅里叶变换图
图10基于MatLab的频谱傅里叶变换图样
对比分析：
实验所得图像和理论图相比，只有部分图像，原因是CCD所采图像不全，其根本的原因是没有调好4F系统导致在CCD上得到的是放大后的像，于是只能得到部分图像。
实验得到的图像边缘模糊，不光滑，其可能原因是CCD没有刚好落在透镜焦点位置，也可能是因为两傅里叶透镜没有完全共轴，或者各器件之间的距离与4F系统所要求的距离
有偏差。
实验得到的图像的亮度不完全均匀，原因可能是激光的光点没有全部照在CCD上，使
亮度不均匀。
改进方法：
保证光路准直后，检查射出的平行光斑是否为圆斑，若不是，则继续调试准直系统使其
成为一个圆斑。
总之必须耐心调节光路，尽量使光路接近4F系统。
在由于佳偶等原因没法调出较为准确的4F系统的情况下，可以尝试着以调节CCD为主，前后左右移动以成像找到最佳位置，若仍然能没有理想图像，再微调傅里叶透镜，之后再调CCD，如此反复，以得到最佳的图像。
3.4F系统下观察样品的滤波后的图像
根据光路摆出4F系统，在频谱变换位放置各种频谱变换器，亦即滤波器。
观察经过4F
系统后图像的变化情况。
（1）频谱处理面放置中间有不透明细线，两边全透的滤波片（高通滤波器）。
依次经过细线宽度不断增大的细线，得到的图像如图11：
（c）线宽最粗
丿，I』；rJ，<
■>'*-冷
『.••上■-.V
•*M\I
J1B
V匸1/
T
7
（a）线宽最细
图11滤波成像实验图（a）线宽最细（b）线宽次细（c）线宽最粗
由图11可知，CCD得到的图像的亮度与图9相比有明显的降低。
图像边缘亮度比中间的亮度稍稍亮，而且仔细观察还可知，图像边缘竖直方向（竖直边缘）的亮度比水平方向
（水平边缘）的亮度要大。
图像整体模糊而且亮度分布不均匀，可能是4F系统没有非常的
精准。
随着线宽的增大，所得到的图像的亮度更低，相反的其边缘的明亮反而更加明显，亦即图像的衬比度增大了。
理论验证：
用MatLab软件编辑程序，使频谱经过理想高通滤波器调制，改变高通滤波器的宽度，
观察得到的图像。
图12~图14显示的是（a）不同高通滤波器宽度下所能通过的频谱图，也就是经过调制后
的频谱图，（b）最终滤波后得到的图像。
滤波后的图像频谱图
高通滤波后的图像
（a）（b）
图12线宽最细的高通滤波器（a）滤波后的图像频谱图（b）滤波后的最终图像
（a）（b）
图13线宽次细的高通滤波器（a）滤波后的图像频谱图（b）滤波后的最终图像
（a）
（b）
图14线宽最粗的高通滤波器
（a）滤波后的图像频谱图（b）滤波后的最终图像
程序上使用的是理想的高通滤波器，也就是在竖直方向上的中间的部分的频谱全部遮挡，
只通过其他的高通部分。
得到的频谱图可见竖直方向零频部分亮度为0，其他部分完全通过，
高通滤波后的最终图像和理论（图10）相比中间全黑，边缘亮度高，同时也可以发现竖直边缘的亮度大，水平边缘无亮度。
理论的图像发生了衍射，可能是细线的宽度太小导致发生了夫琅禾费衍射。
相比图12~图14随着线宽的增大，滤波后得到图像可看出：
图像中间区域全黑范围增加，边缘的亮度相比之下更加明显。
对比分析：
由理论可知，高通滤波器具有通高频，挡低频”的作用，也就是说，图像的频谱的中心频率部分（零频部分）被遮挡，导致直流部分的衬比度为0也就是说中间的相同亮度部分亮度丢失。
其他高频的部分被保留完全通过，也就是说衬比度变化程度大的部分，即图像的亮
-暗边缘被保留。
理论得到的图像和实验得到的图像均验证了这一点。
除此之外，由于竖直方向的零频分量被完全遮挡，也就是说源图像的水平部分的衬比度
基本为0，故得到的图像只有竖直边缘发亮。
理论得到的图像和实验得到的图像也均验证了这一点。
当我们增加高通滤波器所遮挡的低频部分时，图像整体的低频分量会减少，这会导致图
像以高频分量为主，故和遮挡低频少的情况相比，边缘的亮度会更加明显。
理论得到的图像
支持了这一点，但是实验中虽然整体的亮度（直流部分）降低了，但是边缘的亮度没有明显
反倒是降低了。
原因可能是4F系统下CCD没有刚好在焦点上，也可能是光学系统本身的传递函数的限制（OTF）导致了图像的整体衬比度很低。
（2）频谱处理面放置中间全透明细缝，两边不全透的滤波片（低通滤波器）。
依次经过缝宽度不断增大的细缝，得到的图像如图15:
（c）缝宽最粗
图15滤波成像实验图（a）缝宽最细（b）缝宽次细（c）缝宽最粗
由图15可知，CCD得到的图像的亮度与图9相比变化不大。
图像边缘模糊化，亮度也没有中间的亮度亮。
图像整体模糊亮度分布不均匀，可能是4F系统没有非常的精准。
随着线宽的增大，所得到的图像的亮度更低，相反的其边缘的明亮反而更加明显，亦即图像的衬比度增大了。
理论验证：
用MatLab软件编辑程序，使频谱经过理想低通滤波器调制，改变低通滤波器进光缝的宽度，观察得到的图像。
图12~图14显示的是（a）不同高通滤波器宽度下所能通过的频谱图，也就是经过调制后
的频谱图，（b）最终滤波后得到的图像。
图16缝宽最细的低通滤波器
（b）
（a）滤波后的图像频谱图（b）滤波后的最终图像
（a）
图18缝宽最粗的低通滤波器
（b）
（a）滤波后的图像频谱图（b）滤波后的最终图像
程序上使用的是理想的低通滤波器，也就是在竖直方向上的中间的部分的频谱全部透过，
不通过其他的频谱。
得到的频谱图可见竖直方向零频部分完全透过，其他部分为0,滤波后
的最终图像和原图（图10）相比中间衬比度不变化的部分亮度基本无变化，边缘很模糊而且亮度稍暗，同时也可以发现水平边缘和住址边缘相比更加锐利，衬比度明显，竖直边缘模
糊且亮度较暗。
理论的图像发生了衍射，可能是细线的宽度太小导致发生了夫琅禾费衍射。
相比图16~图18随着缝宽的增大，滤波后得到图像可看出：
图像中间区域亮度增大，衬比度明显增加，图像边缘相比之下更加清晰。
可以理解为图像整体的衬比度增大。
缝宽增大时
衍射的条纹增多且变密，这个是由于单缝衍射的缝宽增大导致光程差较小造成的结果。
对比分析：
由理论可知，低通滤波器具有通低频，挡高频”的作用，也就是说，图像的频谱的中心
频率部分（零频部分）全部透过，直流部分全透也就是说中间的相同亮度部分不被遮挡。
其他高频的部分被完全遮挡，也就是说衬比度变化程度大的部分，即图像的亮-暗边缘丢失。
度会增加。
同时由于较高频谱的透过使得图像整体的衬比度会增加，图像变清晰。
理论与实验中得到的图像支持了这一点，只是实验中在透过最细的缝的低通滤波时，图像太多余模糊以至于难以辨识图像。
原因可能是4F系统下CCD没有刚好在焦点上，也可能是光学系统本身的传递函数的限制（OTF）导致了图像的整体衬比度很低。
改进方法:
在除了耐心调试光路至更为精准的4F系统之外，可以尝试着换一个焦距更大的傅里
叶透镜，焦距越小的透镜其频谱面即焦面的位置就越需要精确定位，而焦距大的透镜其焦面
的位置的定位就可以不这么严格。
故更换焦距更大的透镜可以使4F成像系统更加容易实现。
五、结论
1、本实验的关键在于调节电路，尤其是观察样品反傅里叶变换图像时，注意调节CCD和
傅里叶透镜以得到边缘最为尖锐的图像。
在做滤波实验时，注意一定要将频谱处理器置于两
透镜的焦点位置，找焦点的方法是先用一张小纸片在两透镜之间，找到激光光斑最小的位置，
即焦点位置。
2、如果在做滤波实验时，图像的水平边缘位置随狭缝的变化而改变，则可能是因为光路中的各器件没有完全共轴。
3、影响图像质量的一大原因在于CCD没有调到理想位置，若发现图像质量有问题，应先调节CCD因为CCD在成像光路后面，好调节，不应随意调节光路中的透镜等。
4、实验过程为避免其他光源对于CCD接收光波的影响，应当关灯且避免其他光源的直射。
5、MatLab软件模拟傅里傅里叶成像系统，是为了验证在理想情况下成像的结果，从而和实
验得到的结果做比较得出我们实验成果的优劣以及提出新的想法。
六、附录
I.MatLab程序代码:
closeall
%原图像生成
K=zeros（400）;
K（101:
340,171:
240）=1;
K（166:
245,101:
310）=1;
K（101:
300,46:
110）=1;
forj=0:
74
K（100-j,131+j:
280-j）=1;
end
imshow（K）;title（'源图像'）;
%傅里叶变换
PQ=paddedsize（size（K））;
F=fft2（K,PQ
（1）,PQ
（2））;
g=abs（fftshift（F））;
figure;imshow（0.01.*g）;title（'图像的频谱图'）;
%傅里叶反变换
PQ_2=paddedsize（size（F））;
F_2=fft2（F,800,800）;g_2=abs（fftshift（F_2））;figure;imshow（0.01.*g_2（1:
400,1:
400））;title（'频谱图傅里叶变换图'）;
%理想高通滤波
D0=30;%滤波器半宽（改动这个改变低通和高通宽度此处用的依次是10、20、30）
H=ones（PQ
（1）,PQ
（2））;
H（:
（PQ
（2）/2-D0）:
1:
（PQ
（2）/2+D0））=0;
figure;imshow（H）;title（'高通滤波器平面图'）;
a=fftshift（g）.*fftshift（H）;%频谱通过滤波器
figure;imshow（（0.01.*（fftshift（a））））;title（'滤波后的图像频谱图'）;t=abs（dftfilt（K,fftshift（H）））;%通过滤波器后的图像矩阵
t=t（end:
-1:
1,end:
-1:
1）;
figure;imshow（t,[]）;title（'高通滤波后的图像'）;
%理想低通滤波
H_D=zeros（PQ
（1）,PQ
（2））;
H_D（:
（PQ
（2）/2-D0）:
（PQ
（2）/2+D0））=1;
figure;imshow（H_D）;title（'低通滤波器平面图'）;
a=fftshift（g）.*fftshift（H_D）;%频谱通过滤波器
figure;imshow（（0.01.*（fftshift（a））））;title（'滤波后的图像频谱图'）;
t=abs（dftfilt（K,fftshift（H_D）））;%通过滤波器后的图像矩阵t=t（end:
-1:
1,end:
-1:
1）;
figure;imshow（t,[]）;title（'低通滤波后的图像'）;
七、思考
1、透镜相位调试表达式的物理含义
个点的厚度。
上式有很明显的物理含义，由于透镜的厚度是位置（
x,y）的函数，使得通过
透镜平面不冋点的光经过的光程是不冋的。
我们计算光线通过以
Do为厚度的圆柱体时通过
的光程，这个光程分为两个部分：
一部分是在透镜玻璃中的光程，
即上式中的nD（x,y）；另
其中k是某频率光波的波矢量,
n是透镜折射率，Do是透镜中心厚度，D（x,y）是透镜上各
一部分则是光线在空气中的光程，即上式中的D0D（x,y）（设空气折射率为1）。
这两个
光程之和乘以波矢k就是透镜各个点造成光波的相位延迟。
2、光信息处理的大概原理是什么？
为何用白光做光源却能得到彩色图像？
如何实验物像
的反衬度反转？
答：
阿贝在研究显微镜成像问题时，提出了一种不同于几何光学的新观点，他将物看成是不
同空间频率信息的集合，相干成像过程分两步完成，第一步是入射光场经物平面发生夫琅禾
费衍射，在透镜后焦面上形成一系列衍射斑；
升级会员 