届黑龙江省大庆市高三第二次教学质量检测理科数学试题解析版.docx
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届黑龙江省大庆市高三第二次教学质量检测理科数学试题解析版
2018届黑龙江省大庆市高三第二次教学质量检测
理科数学试题（解析版）
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：
本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.设集合，则（）
A.B.C.D.
【答案】B
【解析】∵集合
∴
∵集合
∴
故选B.
2.复数的实数为（）
A.B.C.1D.-1
【答案】D
【解析】∵复数
∴复数的实数为
故选D.
3.若满足，则的最大值为（）
A.1B.3C.9D.12
【答案】C
【解析】根据不等式组画出可行域如图所示：
联立，解得，化目标函数为，由图可知，当直线过时，直线在轴上的截距最大，此时，有最大值为.
故选C.
点睛：
本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：
（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；
（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.
4.执行下面的程序框图，则输出的=（）
A.B.
C.D.
【答案】C
【解析】模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得程序的作用是求和.
故选C.
5.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）
A.B.6C.D.
【答案】A
【解析】由三视图可知该几何体为三棱锥，如图所示：
其中，平面，，.
∴，，
∴该几何体的表面积为
故选A.
6.在中，,为的中点，则=（）
A.2B.-2C.D.
【答案】B
【解析】∵为的中点
∴，
∵
∴
故选B.
7.在古代，直角三角形中较短的直角边称为“勾”,较长的直角边称为“股”，斜边称为“弦”.三国时期吴国数学家赵爽用“弦图”（如图）证明了勾股定理，证明方法叙述为:
“按弦图,又可以勾股相乘为朱实二，倍之为朱实四，以勾股之差自相乘为中黄实，加差实，亦成弦实.”这里的“实”可以理解为面积.这个证明过程体现的是这样一个等量关系:
“两条直角边的乘积是两个全等直角三角形的面积的和（朱实二），4个全等的直角三角形的面积的和（朱实四）加上中间小正方形的面积（黄实）等于大正方形的面积（弦实）”.若弦图中“弦实”为16，“朱实一”为,现随机向弦图内投入一粒黄豆（大小忽略不计），则其落入小正方形内的概率为（）
A.B.C.D.
【答案】D
【解析】∵弦图中“弦实”为16，“朱实一”为
∴大正方形的面积为16，一个直角三角形的面积为
设“勾”为，“股”为，则，解得或.
∵
∴，即.
∴
∴小正方形的边长为
∴随机向弦图内投入一粒黄豆（大小忽略不计），则其落入小正方形内的概率为.
故选D.
8.函数在下列某个区间上单调递增，这个区间是（）
A.B.C.D.
【答案】A
【解析】∵函数
∴
令，则.
∴当时，，即函数的一个单调增区间为.
故选A.
9.已知分别是双曲线的左、右焦点，为双曲线右支上一点，若,，则双曲线的离心率为（）
A.B.C.D.2
【答案】A
【解析】∵分别是双曲线的左、右焦点，为双曲线右支上一点
∴
∵
∴
∵
∴，则.
∴，即.
∵
∴
故选A.
点睛：
本题考查了双曲线的几何性质——离心率的求解，其中根据条件转化为圆锥曲线的离心率的方程是解答的关键．求双曲线的离心率（或离心率的取值范围），常见有两种方法：
①求出，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于的齐次式，转化为的齐次式，然后转化为关于的方程（不等式），解方程（不等式），即可得（的取值范围）．
10.下面是追踪调查200个某种电子元件寿命（单位:
）频率分布直方图，如图：
其中300-400、400-500两组数据丢失，下面四个说法中有且只有一个与原数据相符，这个说法是（）
①寿命在300-400的频数是90；
②寿命在400-500的矩形的面积是0.2；
③用频率分布直方图估计电子元件的平均寿命为：
④寿命超过的频率为0.3
A.①B.②C.③D.④
【答案】B
【解析】若①正确，则对应的频率为，则对应的频率为，则②错误；电子元件的平均寿命为，则③正确；寿命超过的频率为，则④正确，故不符合题意；
若②正确，则对应的频率为，则①错误；电子元件的平均寿命为，则③错误；寿命超过的频率为，则④错误，故符合题意.
故选B.
11.已知函数，下列关于的四个命题；
①函数在上是增函数②函数的最小值为0
③如果时，则的最小值为2
④函数有2个零点
其中真命题的个数是（）
A.1B.2C.3D.4
【答案】C
【解析】∵函数
∴
∴令，得，即函数在上为增函数；
令，得或，即函数在，上为减函数.
∵函数在上恒成立
∴当时，，且函数的零点个数只有一个.
当时，，则要使时，则的最小值为2，故正确.
综上，故①②③正确.
故选C.
12.已知函数，若方程有解，则的最小值为（）
A.1B.2C.D.
【答案】D
【解析】∵函数
∴
∵
∴当时，，则函数在上减函数；
当时，，则函数在上增函数.
∴当时，
∵方程有解
∴的最小值为
故选D.
点睛：
已知函数有零点或方程有根求参数取值范围常用的方法和思路：
（1）直接法：
直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；
（2）分离参数法：
先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；
（3）数形结合法：
先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.二项式展开式中的系数为__________（用数字作答）
【答案】60.
【解析】二项式的展开式的通项公式为.
令，则.
∴展开式中的系数为
故答案为.
14.已知，若，则__________．
【答案】2.
【解析】∵
∴
∴
故答案为.
15.已知三棱锥平面，为等边三角形，,则三棱锥外接球的体积为__________．
【答案】.
【解析】根据已知中底面是边长为3的正三角形，平面，，可得此三棱锥外接球，即为以为底面以为高的正三棱柱的外接球.
∵是边长为3的正三角形
∴外接圆的半径为，球心到的外接圆圆心的距离为.
∴球的半径为
∴三棱锥外接球的体积为
故答案为.
点睛：
解决与球有关的内切或外接的问题时，解决的关键是确定球心的位置.对于外切的问题要注意球心到各个面的距离相等且都为球的半径；对于球的内接几何体的问题，注意球心到各个顶点的距离相等，解题时要构造出由球心到截面圆的垂线段、小圆的半径和球半径组成的直角三角形，利用勾股定理求得球的半径.
16.已知点及抛物线的焦点，若抛物线上的点满足，则__________．
【答案】.
【解析】设，则，.
∵抛物线的焦点，点，且
∴，即.
∵
∴
∴
故答案为.
点睛：
抛物线的定义是解决抛物线问题的基础，它能将两种距离（抛物线上的点到焦点的距离、抛物线上的点到准线的距离）进行等量转化．如果问题中涉及抛物线的焦点和准线，又能与距离联系起来，那么用抛物线定义就能解决问题．因此，涉及抛物线的焦半径、焦点弦问题，可以优先考虑利用抛物线的定义转化为点到准线的距离，这样就可以使问题简单化．
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.已知为等差数列的前项和，且.记,其中表示不超过的最大整数，如.
（I）求
（II）求数列的前200项和.
【答案】（Ⅰ）；；.
（Ⅱ）524.
【解析】试题分析：
（Ⅰ）设等差数列的公差为，由，，可得，从而可求出数列的通项公式，再根据，其中表示不超过的最大整数，即可分别求得；（Ⅱ）分别求出当时，当时，当时，当时，数列，，，的项数，即可求得数列的前200项和.
试题解析：
（Ⅰ）设等差数列的公差为
由已知，根据等差数列性质可知：
∴.
∵，所以
∴
∴，，.
（Ⅱ）当时，，共2项；
当时，，共10项；
当时，，共50项；
当时，，共138项.
∴数列的前200项和为.
18.为了解高校学生平均每天使用手机的时间长短是否与性别有关，某调查小组随机抽取了25名男生、10名女生进行为期一周的跟踪调查，调查结果如表所示:
平均每天使用手机小时
平均每天使用手机小时
合计
男生
15
10
25
女生
3
7
10
合计
18
17
35
（I）根据列联表判断，是否有90%的把握认为学生使用手机的时间长短与性别有关;
（II）在参与调查的平均每天使用手机不超过3小时的10名男生中，有6人使用国产手机，从这10名男生中任意选取3人，求这3人中使用国产手机的人数的分布列和数学期望.
0.400
0.250
0.150
0.100
0.050
0.025
0.708
1.323
2.072
2.706
3.841
5.024
参考公式：
【答案】（Ⅰ）没有90％的把握认为学生使用手机的时间长短与性别有关.
（Ⅱ）的分布列为
0
1
2
3
.
【解析】试题分析：
（Ⅰ）根据列联表，计算出，即可作出判断；（Ⅱ）可取值0，1，2，3，分别求出，，，由此能求出随机变量的分布列和数学期望.
试题解析：
（Ⅰ）由列联表得：
；
由于，所以没有90％的把握认为学生使用手机的时间长短与性别有关.
（Ⅱ）可取值0，1，2，3
,，,
所以的分布列为
0
1
2
3
这3人中使用国产手机的人数的数学期望为.
19.如图，在矩形中，,,是的中点，将沿向上折起，使平面平面
（Ⅰ）求证：
;
（Ⅱ）求二面角的大小.
【答案】（Ⅰ）见解析；
（Ⅱ）90°.
【解析】试题分析：
（Ⅰ）根据题意可得，的值，可推出，根据平面⊥平面且是交线，即可证明⊥平面，从而证明；（Ⅱ）设中点为,中点为,连接，可推出，则⊥平面，即可以为坐标原点，分别以所在直线为轴、轴建立空间直角坐标系，分别求出平面和平面的一个法向量，利用空间向量夹角的余弦公式即可得结果.
试题解析：
（Ⅰ）证明：
由题意可知，,.
∴在中,,所以；
∵平面⊥平面且是交线，平面
∴⊥平面
∵平面
∴.
（Ⅱ）解：
设中点为,中点为,连接.
∴
∴⊥平面
∴，.
∵
∴
以为坐标原点，分别以所在直线为轴、轴建立空间直角坐标系，如图
则，从而,,.
设为平面的法向量，则，可以取.
设为平面的法向量，则可以取.
因此，，有，即平面⊥平面.
故二面角的大小为90°.
点睛：
本题主要考查线线垂直及利用空间向量求二面角，属于难题.空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：
（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；
（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角.
20.已知椭圆离心率为，四个顶点构成的四边形的面积是4.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）若直线与椭圆交于均在第一象限，与轴、轴分别交于、两点，设直线
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