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浙江高三数学总复习集合

第一节集合

备考方向明确

复习目标

学法指导

1.集合的含义与表示.

2.集合间的基本关系.

（1）子集、真子集的概念.

⑵空集的概念.

3.集合的基本运算.

（1）并集的含义.

⑵交集的含义.

（3）全集与补集.

能利用集合的关系和运算及

Venn图来求后限集令中兀素的个数.

1.能根据代表元素、元素性质识别集合.

2.求解集合关系、运算问题时，能熟练应用Venn图或数轴，利用数形结合思想解题.

3.能熟练地转化集合关系或运算符号表示的函数、方程不等式问题.

-知识鞋条完譬

网络构建

一、集合的基本概念

1.元素的特性

⑴确定性;

（2）互异性;（3）无序性.

2.集合与元素的关系

⑴a属于A,记为a_€A；

（2）a不属于A,记为a?

3.常见集合的符号

自然数集

正整数集

整数集

后理数集

实数集

N或其

4.集合的表示方法

（1）列举法;

（2）描述法;（3）Venn图法.

拓展空间

1.概念理解

（1）元素特性之确定性的含义：

元素a与集合A之间有且只有两种关

系,a6A或a?

（2）集合是由元素构成的，元素可以是数、字母、点等，明确集合中的元素是解题的关键.

（3）集合的三种表示方法之间可以相互转化.

2.与集合知识相关联的结论

集合的分类：

按集合中元素个数划分，可分为有限集、无限集、空集

按所含元素的属性分类，可分为点集、数集或其他集合.

3.与集合应用相关联的结论（知识）

（1）集合的运算求解中，对于所求字母的值一定要检验集合中元素的互异性.

（2）对于集合相等首先要分析已知元素与另一个集合中哪一个元素相

等，分几种情况列出方程组进行求解，或利用和与积相等列方程组求

解.

二、集合间的基本关系

文字语言

符号表示

集合间的基本关系

子集

集合A中任意一个兀素者B是集合B的兀

素

B或B?

真子集

集合A是集合B的子集，并且B中至少

有一个元素不属于A

AB或口

相等

集合A的每一个兀素者B是集合B的兀素，集合B的每一个元素也都是集合A的元素

B且B?

A=B

空集

空集是任何集合的子集

空集是任何非空集合的真子集

@B且B?

七拓展室同

1.概念理解

（1）子集与真子集的区别与联系：

集合A的真子集一定是其子集，而A的子集不一定是其真子集.

（2）元素与集合之间的关系是从属关系，集合与集合之间的关系是包

含关系.

2.与子集知识相关联的结论

（1）包含关系具备传递性，即A®B,B£C,则陷C.

⑵若有限集A中有n个元素，则A的子集个数为2n,非空子集个数为

2n-1,真子集个数为2n-1,非空真子集个数为2n-2.

3.与子集应用相关联的结论

（1）在解题时,若未明确说明集合非空时,要考虑到集合为空集的可能

性.例如:

AJB,则需考虑A=0和A#0两种可能的情况.

（2）判断集合关系的三种方法

①一一列举观察；

②集合元素特征法：

首先确定集合的元素是什么，弄清集合元素的特

征,再利用其特征判断集合关系；

③数形结合法：

利用数轴或Venn图.

三、集合的基本运算

并集

交集

补集

图

形

表

示

四

意

义

{x|x€A或x6

{x|x6A且x6

uA={x|x€U且x?

符号

表示

AUB

Anb

若全集为U,则集合A（A?

U）的

补集为？

拓艇空间

1.概念理解

性冲突.

2.与集合的运算相关的结论

（1）AU0=A,AUA=A,AUB=A^B=A;

（2）AA0=0,AAA=A,AAB=BkB三A;

（3）AU（CuA）=U,AA（CuA）=0CuA）=A;

（4）数形结合思想：

数轴和Venn图是进行集合运算的有力工具，解题时要先把集合中说明元素特征的各种代数式化简，使之明确，尽可能借助数轴、坐标系或Venn图等工具，将抽象的代数问题具体化、形象化、直观化，然后利用数形结合的思想方法解题.

温故知新

1.（2018•浙江卷）已知全集U={1,2,3,4,5},A={1,3},则？

uA等于

（C）（A）?

（B）{1,3}

（C）{2,4,5}（D）{1,2,3,4,5}

解析：

因为U={1,2,3,4,5},A={1,3},

所以柿={2,4,5}.故选C.

2.设全集U是实数集R,M={x|（x+2）（x-2）>0},N={x|-1

从Venn图可知阴影部分是MJN,又M={x|x<-2或x>2},所以MUN={x|x<-2或x>-1}.

阴影部分表示的集合是（

4.（2018•浙江诸暨期末）已知集合A={x||x-1|<2},B={x|0

心）加等于（C）

（A）{x|0

（C）{x|3

解析:

A={x|-2

CrA={x|x<-1或x>3};

所以（部）nB={x|3

5.定义A-B={x|x6A且x?

B},若M={1,2,3,4,5},N={2,3,6},则

M-N=.

解析：

由定义A-B={x|x€A且x^B}可得M-N为M中去掉N的元素，所以M-N={1,4,5}.

答案:

{1,4,5}

6.已知集合M={1,m},N={n,log2n},若M=N贝U（m-n）2018=.

解析：

若n=1,贝Um=log2n=log21=0,

所以（m-n）2018=1;

若log2n=1,即n=2,m=n=2,

所以（m-n）2018=0.

答案:

0或1

-高顿考点突破L利城中万更,洪।

考点一集合的基本概念

【例1】

（1）（2018•全国II卷）已知集合A={（x,y）|x2+y2w3,x6Z,y

7Z},则A中元素的个数为（）

（A）9（B）8（C）5（D）4

（2）已知aSR,若{a,a,1}={a2,a+b,0},贝Ua+b=.

解析：

（1）将满足x2+y2w3的整数x,y全部列举出来，

即

（-1,-1）,（-1,0）,（-1,1）,（0,-1）,（0,0）,（0,1）,（1,-1）,（1,0）,（1,1）,

共有9个.故选A.

（2）由集合元素的互异性知a#0且a#1,

所以由知P=0,a2=1a-

答案:

（1）A答案:

（2）-1

反思归辆

（1）考查集合元素个数的判断，研究一个集合，首先要看清集合的代表元素，然后再分析元素的限制条件，当集合用描述法表示时,注意弄清其元素表示的意义是什么.

（2）考查集合内元素的特征，互异性与无序性，对于含有字母的集合求解要分类讨论，并在求出字母的值后，注意检验集合元素是否满足互异性.

在整数集Z中，被5除所得余数为k的所有整数组成一个“类”，记作[k]={5n+k|n6Z},k=0,1,2,3,4,给出如下四个结论：

（1）20176[2];

⑵-36㈤（3）Z=[0]U[1]U[2]U[3]U[4];

（4）“整数a,b属于同一类”的充要条件是“a-b6[0]”.

其中，正确结论的个数是（C）

（A）1（B）2（C）3（D）4

解析:

2017=5X403+2，故

（1）正确;-3=-5+2,故⑵错误；因为整数集中被5除的数可以分成五类，故（3）正确；因a,b属于同一类，所以整数a,b被5除的余数相同，从而a-b被5除的余数为0,反之成立，故（4）正确.故选C.

考点二集合的基本关系

【例2】

（1）已知集合A={x||x-2|<1},集合B={x|x

B,则m的取值范围是（）

（A）{m|m>3}（B）{m|m<2}

（C）{m|m>3}（D）{m|m<2}

（2）设A={x|x2-8x+15=0},B={x|ax-1=0},若B?

A,则实数a的取值组

成的集合C=.

解析:

（1）根据题意，|x-2|<1,

等价于-1

那么根据数轴法可知，要使得集合A是集合B的子集，

则可知m>3,故选A.

⑵因为A={3,5},BJA,

所以当B二。

时，方程ax-1=0无解，

贝Ua=0,此时有B3A;

当B?

0时,则a#0,

由ax-1=0,得x=1,即」;e{3,5},

所以」=3或1=5,所以a=1或a=」，aa35

所以c={0,5,1}.

答案:

（1）A⑵{0,1,1}

反思归纳

（1）空集是任何集合的子集，在涉及集合关系时，必须优先考虑空集的情况，否则会造成漏解；

（2）已知两集合关系求参数时,关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的关系，常用数轴、Venn图来直观解决这类问题.

口迂移训练

设M为非空的数集，M?

{1,2,3},且M中至少含有一个奇数元素，则这样的集合M共有（A）

（A）6个（B）5个（C）4个（D）3个

解析：

若M中只有一个奇数元素，则M={1},{3},{1,2},{2,3};若M中

含有两个奇数元素，则M={1,3},{1,2,3},所以选A.

考点三集合的基本运算

【例3】

（1）（2018•诸暨高三5月适应性考试）已知集合

P={1,2},Q={2,3},全集U={1,2,3},则？

u（PAQ）等于（）

（A）{3}（B）{2,3}（C）{2}（D）{1,3}

⑵已知集合M,脂I,若MAN=N则（）

（A）?

IM?

iN（B）M?

（C）?

iI\?

iN（D）M?

⑶已知集合A={x|x

rB尸R,则实数a的取

值范围是（）

（A）{a|a<1}（B）{a|a<1}（C）{a|a>2}（D）{a|a>2}

解析：

（1）PAQ={2},U={1,2,3},Cu（PAQ）={1,3},故选D.

⑵根据条件作出Venn图如图所示.

由Venn图得CMCiN,故选C.

⑶CrB={x|x<1或xA2},若AU（CrB）=R,由数轴可知,aA2,选C.

0]2a*

反思归熟

（1）有关集合的运算要注意以下两点：

①要关注集合中的代表元素是什么.②要对集合的化简进行恒等变换并且特别注意是否含端点.

（2）有关集合的运算常有以下技巧：

①离散型数集或抽象集合间的运算，常借助Venn图求解；

②连续型数集的运算，常借助数轴求解；

③已知集合的运算结果求集合，借助数轴或Venn图求解；

④根据集合运算求参数，先把符号语言译成文字语言，然后适时应用数形结合求解.

、迂移训练

1.（2018•宁波镇海中学高三期中考试）若集合

M={x|y=lg=},N={x|x<1},则MJN等于（C）x

（A）（0,1）（B）（0,2）（C）（-s,2）（D）（0,+s）

解析：

集合M={x|y=lg三x}={x|0

N={x|x<1}.

MUN={x|x<2}=（-巴2）,故选C.

2.设A,B是非空集合,定义A*B={x|x6AUB,且x?

AAB},已知A={x|0

解析：

由题意,AUB=[0,+s）,AAB=[1,3],

所以A*B=[0,1）U（3,+8）.

答案:

[0,1）U（3,+8）

考点四易错辨析

【例4】设集合A={0,-4},B={x|x2+2（a+1）x+a2-1=0,x6R},若AAB=B,

则实数a的取值范围是.

解析：

因为AAB=B,所以B=A,分以下三种情况：

①当B=A时,0和-4是方程x2+2（a+1）x+a2-1=0的两个根，

G=4（a十jT（a2-1户0,

得卜（a书尸y解得a=1；

a2-1=0,

②当B?

。

且B&A时,B={0}或B={-4},

并且△=4（a+1）2-4（a2-1）=0,

解得a=-1,此时B={0}满足题意；

③当B=0时,△=4（a+1）2-4（a2-1）<0,

解得a<-1.

综上所述,a<-1或a=1.

答案:

（-巴-1]U{1}

易错分析由AnB=B,可知B三A,所以B可以为0,解题时易忽视方程无解的情况，造成漏解，此外B中只有一个元素时,即方程只有一个解时若代入求参数，忽视△=0易导致增解.

「迂移堤绻

已知M={（x,y）|==3},N={（x,y）|ax+2y+a=0},且MAN=j,贝Ua等于x-2

（A）

（A）-6或-2（B）-6

（C）2或-6（D）2

解析:

M={（x,y）|匕3=3}

x—2

={（x,y）|y=3x-3,x*2},

N={（x,y）|ax+2y+a=0}={（x,y）|y=-ax-1},由Mmn=_,所以两直线平行或ax+2y+a=0过（2,3）点，得a的值为-6或-2,故选A.

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