第10单元相似探究.docx

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第10单元相似探究

第10单元相似探究

联想融通：

提起相似，试试看自己能想起多少与之相关的知识或题型.

相似三角形有五条可直接用的性质，分别是：

对应边成比例、对应角相等、对应高的比等于相似比、周长比等于相似比、面积比等于相似比的平方。

相似三角形的三条判定分别为：

两角对应相等的相似、两边对应成比例且夹角相等相似、三边对应成比例相似。

其中两角对应相等得相似用的最多。

相似探究一般有①面积探究、②线段关系探究、③角的关系探究等。

通过相似形的对应边成比例建立方程，可求线段长、可用一个字母的代数式表示线段长或周长与面积，可求函数关系。

相似的题型很多，但不外乎需要作辅助线与不需要作辅助线两大类，下面就从这两方面展开。

解法归一：

当问题中出现：

①比或比例，②线段的积，③边或角所在三角形与已知的边或角所在三角形不全等的情况时，基本是借助相似解决问题。

这个意识太重要了！

一、已有相似图形的找相似、证相似、用相似[9]

稍微有综合性的相似题，都是先判定相似再用相似的性质。

故解题的关键是找出相似的条件。

下

面分

（1）平行相似、

（2）等角公共角相似、（3）垂直相似、（4）导边比得相似、（5）一线三角相似、（6）旋转出相似六种类型进行研究。

其中后五种都是我起的名字，不如

（1）有名，您可能看一下名字解释。

（一）“平行出相似”（即“”字型相似与“”型相似，说明略）

解法归一：

有平行时立即找相似！

例10-1-1如图10-1-1，AB∥GH∥CD，点H在BC上，AC与BD交于点G，

（1）写出图中的相似三角形；

（2）若AB=2，CD=3，求GH的长

图10-1-1

例10-1-2①，△ABC中，DE∥BC分别交AB、AC于D、E两点，过点E作EF∥AB交BC于点F，

图10-1-2①

请按图示数据填空：

四边形DBFE的面积S=，△EFC的面积S1=，△ADE的面积S2=。

探索发现：

（2）在

（1）中，若BF=a，FC=b，DE与BC间的距离为h，请证明S2=4S1S2

拓展迁移：

（3）如图10-1-2②，平行四边形DEFG的四个顶点在△ABC的三边上，若△ADG、△DBE、△GFC的面积分别为2、5、3，试利用

（2）中的结论求△ABC的面积。

图10-1-2②

交流分享：

题中有平行，立即找“A”字型相似或“8”字型相似。

“平行出相似”最好用！

体验与感悟10-1-1

1.如图10-1-3，正方形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，点E是BC上的一个动点，连接DE，交AC于点F，

（1）如图10-1-3①，当时，=；

（2）如图10-1-3②，当点E是BC的中点时，过点F作FG⊥BC于点G,求证：

CG=BG；

（3）如图10-1-3③，当DE平分∠CDB时，求证：

AF=OA.

图10-1-3①图10-1-3②图10-1-3③

2.等边△ABC的边长为3＋

（1）如图10-1-4①，正方形EFPN的顶点E、F在边AB上，点N在边AC上。

在等边△ABC及其内部，以A为位似中心，作正方形EFPN的位似正方形E′F′P′N′，且使正方形E′F′P′N′的面积最大（不要求写作法）。

（2）如图10-1-4②，在等边△ABC中放入正方形DEMN和正方形EFPH，使得DE、EF在边AB上，点P、N分别在CB、CA上，设正方形DEMN的边长为x，正方形EFPH的边长为m。

求①求m关于x的函数关系；②求这两个正方形面积和的最小值。

图10-1-4①图10-1-4②

（二）“等角公共角相似”

解法归纳一：

有一个公共角、一对等角的两个三角形相似。

例10-1-3如图10-1-5，M为等腰直角△ABC斜边AB的中点，AE与BD交于点C，∠DME=45°，且DM交AC于F,ME交BC于G,

（1）求证：

△AME∽△MFE；

（2）如果AB=4，CD=2，MD=2，求MG的长.

图10-1-5

例10-1-4如图10-1-6，已知∠MAN=∠POQ=60°，点A在∠POQ的边OQ上，OA=2，AM、AN分别交射线OP于M、N两点，将∠MAN以点A为旋转中心，AM边从与AO重合的位置开始，按逆时针方向旋转，设OM=x，ON=y（y＞x≥0），△AOM的面积为S。

（1）当∠MAN旋转30°时，点N移动的距离为；

（2）求证：

AM2=ON·MN；

（3）求y与x的函数关系式及x的取值范围；

（4）试写出S随x变化的函数关系式，并确定S的取值范围。

图10-1-6备用图

交流分享：

见两三角形有一对等角时立即看有无公共角、见两三角形有一公共角时立即看有无等角！

“等角公共角相似”这个名字起的太好了！

体验与感悟10-1-2

1.如图10-1-7在△ABC中，AB=5，AC=4，点D在边AB上，∠ACD=∠B，求AD的长。

图10-1-7

2.如图10-1-8，AD是△ABC的角平分线，以点C为圆心，CD为半径作圆交BC的延长线于点E，交AD于点F，交AE于点M，且∠B=∠CAE。

（1）求证：

ED=EA；

（2）如果BD=10，EF∶FD=4∶3，求CD的长。

图10-1-8

3.将两个全等的等腰Rt△ABC和△AFG如图10-1-9摆放，已知∠BAC=∠AGF=90°，BC=AF=2;固定△ABC，将△AFG绕点A旋转，AF、AG与边BC的交点分别为D、E（点D不与点B重合，点E不与点C重合），设BE=m，CD=n．

（1）写出图10-1-9中找出相似而不全等的三角形，并选取其中一对进行证明；

（2）求m与n函数关系式，直接写出自变量n取值范围；

（3）在旋转过程中的等量关系BD2+CE2=DE2是否始终成立？

若成立，请证明；若不成立，请说明理由．

图10-1-9备用图

（三）“垂直出相似”

解法归一：

①三角形两高相交，必有相似；②过Rt△ABC所在平面上任意一点向AB、BC、AC所在直线中任意一条作垂线，这条垂线与这个三角形三边所在直线交成的三角形都与原三角形相似；③当一个角的两边与另一个角的两边相互垂直时，常有相似。

例10-1-5如图10-1-10，在△ABC中，∠C=90°，MD⊥AB于D，交AC于F,MG⊥AC于G,交AB于点E,写出图中的四对相似三角形。

图10-1-10

交流分享：

图中的四个三角形分别满足解法归一中的②、③相似。

例10-1-6如图10-1-11，在平面直角坐标系中，已知点A（－1，0），B（0，3），点C是y=-2x+4上第一象限内的一个动点，过C作CD∥AB交x轴于点D，求当四边形ABCD是等腰梯形时C的坐标。

图10-1-11

交流分享：

由CD∥AB知，CD，AB只能是底，只要求BC=AD即可；又等腰梯形可以看作是平行底的直线截等腰三角形所得，于是问题得解。

体验与感悟10-1-3

1.如图10-1-12，已知△ABC的两条高BD、CD交于点O.

（1）写出图中的相似三角形；

（2）连接DE，写出新添加的相似三角形。

图10-1-12

4．△ABC中，AB=AC，D为BC的中点，以D为顶点作∠MDN=∠B．

（1）如图10-1-24①，当射线DN经过点A时，DM交AC边于点E，不添加辅助线，写出图中所有与△ADE相似的三角形：

___________________________；

（2）如图10-1-24②，将∠MDN绕点D沿逆时针方向旋转，DM，DN分别交线段AC，AB于E，F点（点E与点A不重合），不添加辅助线，写出图中所有的相似三角形，并证明你的结论．

（3）在图10-1-24③中，若AB=AC=10，BC=12，当△DEF的面积等于△ABC的面积的四分之一时，求线段EF的长．（提示：

同例10-1-9（3））

5．如图10-1-25，正方形ABCD的边长为4，对称中心为点P，点F为BC边上的一个动点，点E在AB边上，且满足条件∠EPF=45°，图中两块阴影部分图形关于直线AC成轴对称，设它们的面积和为S1，CF=x.

（1）写出与∠APE相等的角__________________；

（2）设四边形CMPF的面积为S2，．

①求y关于x的函数解析式和自变量x的取值范围，并求出y的最大值；

②当图中两块阴影部分图形关于点P成中心对称时，求y的值．

图10-1-25

（六）“旋转出相似”

在旋转中，所有对应点与旋转中心所成的三角形都相似.见例9-1-3，体验与感悟9-1第2、第4题，本处不再例举.

二、图中无相似造相似[9]

“求线段长，找相似；无相似，造相似！

”

相似是求线段长、求代数式、建立函数关系等非常重要的手段之一，许多题目中没有相似图形，这就要靠自己根据题目需要来造相似.

这个造相似的意识太重要了！

（一）“过中点（或等分点）作平行线”得相似

1．详见第03单元中点类五、见中点（或等分点）作行得相似；

2．详见第08单元平移探究三、平移出相似

（二）“过动点作平行或作垂直”得相似

1．详见第10单元一、已有相似图形（三）“垂直出相似”例10-1-6、体验与感悟10-1-3第2题；

2．详见第24单元简单的动点全部.

（三）其他情况的相似

例10-2-1如图10-2-1①，P为△ABC内一点，连接PA、PB、PC，在△PAB、△PBC和△PAC中，如果存在一个三角形与△ABC相似，那么就称P为△ABC的自相似点。

图10-2-2

图10-2-1③

图10-2-1②

图10-2-1①

（1）如图10-2-1②，已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC>∠A，CD是AB上的中线，过点B作BE⊥CD，垂足为E，试说明E是△ABC的自相似点.

（2）在△ABC中，∠A<∠B<∠C.

①如图10-2-1③，利用尺规作出△ABC的自相似点P（写出作法并保留作图痕迹）；

②若△ABC的内心P是该三角形的自相似点，求该三角形三个内角的度数.

交流分享：

从大角割出一个小等角造相似.

例10-2-2如图10-2-2，在直角梯形OABC中，OA=6，0C=4，CB=3，OA∥BC，OC⊥OA，点M、N分别是OA边、AB边上的动点，速度都是每秒1个单位长度，运动方向如图.两个动点分别从O、A同时出发，当其中一个点到达终点时，另一个点也随即停止，设运动时间为t（秒）.

（1）则线段AB的长为_______________________；

（2）当t为何值时MN⊥AC？

交流分享：

根据垂直找相似，作垂直造相似.

体验与感悟10-2

1．已知在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠A=30°，点P在AC上，且∠MPN=90°.当点P为线段AC的中点，点M、N分别在线段AB、BC上时（如图10-2-3①），过点P作PE⊥AB于点E，PF⊥BC于点F，可证Rt△PME∽Rt△PNF，得出PN＝PM．（不需证明）

当PC＝PA，点M、N分别在线段AB、BC或其延长线上，如图10-2-3②、如图10-2-3③这两种情况时，请写出线段PN、PM之间的数量关系，并任选取一给予证明．

图10-2-3③

图10-2-3②

图10-2-3①

2．如图10-2-4，在△ABC中，∠ABC>∠ACB

（1）若∠BAC是锐角，请探索在直线AB上有多少个点D，能保证△ACD∽△ABC（不包括全等）

（2）请对∠BAC进行恰当的分类，直接写出每一类在直线AB上能保证△ACD∽△ABC（不包括全等）的点D的个数.

图10-2-6

图10-2-5

图10-2-4

3．如图10-2-5，在△ABC和△DEF中，∠A=∠D=90°，AB=DE=3，AC=2DF=4

（1）判断这两个三角形是否相似？

说明理由；

（2）能