全国高考文科全国卷数学试题及答案.docx
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全国高考文科全国卷数学试题及答案
全国高考文科全国卷数学
试题及答案
ThedocumentwaspreparedonJanuary2,2021
年普通高等学校招生全国统一考试
文科数学卷3
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：
本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A二{1,2,3,4},B={2,4,6,8},则中元素的个数为
A.1B・2C.3
D.4
2.复平面内表示复数z=i（-2+i）的点位于
A.第一象限B.第二象限C.第三象限
D.第四象限
3.某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：
万人）的
数据，绘制了下面的折线图.
45
月接待游客fit（万人）
根据该折线图，下列结论错误的是
A.月接待游客逐月增加
B.年接待游客量逐年增加
C.各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月
D.各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更
小，变化比较平稳
2-9--B.
4-3
=
a
OSca•msi7-9知一己A.
3x+2y-6<0
5-设x,y满足约束条件《x20
，则z=x-y的取值范围是
y>0
A.[-3,0]
B.[-3,2]
C.[0,2]
D.[0,3]
6.函数/（x）='sin（x+为+cos（x-为的最大值为
536
B.1
D-I
7.函数y=W+J的部分囹像大致力】、小
JX
A.X—A►B..
/卜
_Jo^,vrv
"/V'
8.执行右面的程序框图，为使输出S的值小于91,则输入的正整数N的最小值为
A.5
B.4
C.3
D.2
9.已知圆柱的高为1,它的两个底面的圆周在直径-为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为
…B,
c-fD-7
10.在正方体A88-A4G2中，石为棱co的中点，贝!
1
.\
1-
1X
（开始）
/输入M
工，
1=!
，好WID0t.sno
|s=+a7|
；o|飞
K-f+l
A.\ELDC{
B.A1ErBD
D.A1E±AC
11.已知椭圆C：
W+E=1（心j0）的左、右顶点分别为4,4,且以线段crb一
A4为直径的圆与直线以-〃.y+2而=0相切，则C的离心率为
A.B.正C.正
333
D.-
3
12.已知函数/（幻=/_2工+4（产+6-*有唯一零点，则〃二
A.--B.-C.-
232
D.1
二、填空题：
本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知向量〃=（一2,3）力=（3,m），且〃，。
，则〃?
二.
14.双曲线1-二=1（〃>0）的一条渐近线方程为），=，，则户.
a95
15.AABC的内角A,8,C的对边分别为〃也c。
己知C=60,〃=#,c=3,则
A二o
16.设函数/W=r+1，X-0,则满足/（A-）+fU-l）>l的X的取值范围是2\x>0,2
O
三、解答题：
共70分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
第
17〜21题为必考题，每个试题考生都必须作答。
第22、23题为选考
题，考生根据要求作答。
（-）必考题：
共60分。
17.（12分）
设数列｛6｝满足.+3a2+…+（2〃-1）。
”=2n.
（1）求｛%｝的通项公式；
（2）求数歹的前〃项和.
18.（12分）
某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：
℃）有关.如果最高气温不低于25,需求量为500瓶；如果最高气温位于区间20,25）,需求量为300瓶；如果最高气温低于20,需求量为200瓶.为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：
最高气
温
[10,
15）
[15,
20）
[20,
25）
[25,
30）
[30,
35）
[35,
40）
天数
2
16
36
25
7
4
以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率。
（1）求六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率；
（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为F（单位：
元），当六月
份这种酸奶一天的进货量为450瓶时，写出V的所有可能值,
并估计y大于零的概率.
19.（12分）
如图，四面体网空中，△46。
是正三角形，AD-CD.
（1）证明：
ACLBD；
（2）已知△/⑺是直角三角形，止BD.若£为棱功上与〃不重合的点,且/_L£G求四面体板^与四面体力作的体积比.
20.（12分）
在立角坐标系xOy中，曲线y=/+〃次一2与x轴交于4方两点，点C的坐标为（0,1）.当加变化时，解答下列问题：
（1）能否出现月UL6C的情况说明理由；
（2）证明过4B,。
三点的圆在y轴上截得的弦长为定值.
21.（12分）
已知函数/（x）=Inx+av2+（2t/+l）x
（1）讨论/（x）的单调性；
3
（2）当"0时，证明/（幻4---2.
4a
（二）选考题：
共10分。
请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。
22.［选修4一4：
坐标系与参数方程］（10分）
在直角坐标系'Sv中，直线6的参数方程为（，为参数），
y=kt
%=-2+〃?
，
直线乙的参数方程为m（团为参数），设乙与的交点为P,当k1>，=7
变化时，尸的轨迹为曲线C.
（1）写出C的普通方程：
（2）以坐标原点为极点，式轴正半轴为极轴建立极坐标系，设上
p（cos^+sin^）->/2=0,/为4与。
的交点，求M的极径.
23.［选修4—5：
不等式选讲］（10分）
己知函数/（x）Tx+ll-lx-2l.
（1）求不等式/。
）之1的解集；
（2）若不等式/。
）之丁一、+〃?
的解集非空，求用的取值范围.
年普通高等学校招生全国统一考试
文科数学参考答案
一、选择题
1.B2,C3.A4.A5.B6.A
7.D8.D9.B10.C11.A12.C
二、填空题
13.214.515.75°16.（—Ly）
4
三、解答题
17.解：
（1）因为％+3/+...+（2〃-1）%=2〃，故当2时，
4+3。
，+…+（2n-3）。
1=2（/z-1）
两式相减得（2〃-1）%=2
■-?
所以a=（">2）
2〃一1
又由题设可得卬=2
从而｛〃“｝的通项公式为％=:
一
2/1-1
（2）记｛/」｝的前〃项和为5,2〃+1
由
（1）知=r=_L_
2/z+1（2/z+1）（2〃-1）2〃-12〃+1
milc1111112n
则Sn=一一一+——一+.・•+-=
“13352n-12n+12n+1
18.解:
（1）这种酸奶一天的需求量不超过300瓶，当且仅当最高气温低于25,
90
由表格数据知，最高气温低于25的频率为出"至=0.6,所以这
种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率的估计值为
（2）当这种酸奶一天的进货量为450瓶时，
若最高气温不低于25,则丫=6x450-4x450=900；
若最高气温位于区间［20,25）,则
y=6X300+2（450—300）-4x450=300；
若最高气温低于20,则丫=6乂2。
。
+2（45。
-2。
。
）一4乂45。
=一1。
0
所以，V的所有可能值为900,300,-100
丫大于零当且仅当最高气温不低于20,由表格数据知，最高气温不
低于20的频率为36士2：
了±4=08,
因此丫大于零的概率的估计值
19.解：
（1）取AC的中点O,连结
因为A£>=C£）,所以AC_LOO
又由于AABC是正三角形，
BOLAC
从而AC_L平面008,故AC_L8。
（2）连结EO
由
（1）及题设知ZAOC=90,所以。
O=AO
在R/AAO8中，BO2+AO2=AB2
又AB=BD,所以
BO2+DO2=BO2+AO2=AB2=BD2,故ZDOB=90
由题设知AAEC为直角三角形，所以石
2
又A4BC是正三角形，且=所以EO=1bD
2
故石为3。
的中点，从而E到平面ABC的距离为D到平面ABC的距
离的L,四面体A8CE的体积为四面体A8CO的体积的即四面体
22
ABCE与四面体AC0E的体积之比为1:
1
20.解:
（1）不能出现ACJ_8C的情况，理由如下：
设4（演,0）,8（孙0），则X],占满足x2+〃?
*-2=0,所以再W=-2
又。
的坐标为（0,1）,故AC的斜率与BC的斜率之积为
—•—=所以不能出现AC_L8C的情况
内々2
（2）BC的中点坐标为（土」），可得BC的中垂线方程为工）22‘2-2
由
（1）可得玉+”—〃]，所以AB的中垂线方程为户-言
mm
x=.x=.
联立又后+〃%-2=0,可得f
]花一.1
卜'-＞。
一寸户”
所以过A,B,C三点的圆的圆心坐标为3，半径，=近卫222
产-（二/=3,即过A,B,C三点的圆在
），轴上截得的弦长为定值。
21.解：
（1）f（X）的定义域为（0,+s），ff（x）=-+2ax+2a+l="上。
"XX
若a>0f则当xe（0,4-oo）时，f'（x）>0,故f（x）在（0,+«o）单调递增
若avO,则当xe（0,一--）时，f\x）>0；当xe（-」-,xo）时，2a2a
f\x）<0
故/（x）在（0「L）单调递增，在（-工,〜）单调递减。
2a2a
（2）由
（1）知，当〃<0时，/“）在x=--L取得最大值，最大值为2a
2a2a4a
所以f（x）<---2等价于ln（—<---2,即4a2a4a4a
In（——）+—+1«0
2a2a
设g（x）=lnx-x+l,则g'（x）=1-lx
当x£（0,1）时,g，（x）>0；当xe（1,口），g'（x）<0o
所以g（x）在（0,1）单调递增，在（l,*o）单调递减。
故当x=l时，g（x）取得最大值，最大值为g⑴=。
所以当x>0时，g（x）<0
113
从而当avO时，ln（--）+—+1<0,即/"）<一一一2
2a2a4a
22.解：
（1）消去参数，得L的普通方程/Q=S-2）；消去参数〃r得6的
普通方程小y=：
（x+2）K
y=k（x-2）,
设P（X，y）,由题设得｛1,。
、消去攵得/-,3=4（"0）
y=-（x+2）.
k
所以C的普通方程为/-V=4（）,工0）
（2）C的极坐标方程为p2（cos2C-sii?
6）=4（2<8<2肛6C力
夕2（cos?
^-sin2。
）=4,
联立广得cos9-sin0=2（cos0+sin0）
p（cos^+sin^）-V2=0
1Q1
故tan6=—；，cos20=—,sin20=—
AA
代入P2（cos2。
-sin*）=4得p2=5,所以交点M的极径为百23.解:
—3,x<-L
（1）fW=<
2x-l,-1WxW2,3,x>2
当xv—1时，/3）之1无解;
当时，由/（幻之1得，2X-1N1,解得l«x«2；
当x>2时，由f（x）>1解得A>2
所以f（x）之1的解集为{xbNl}
（2）由/（x）之/一x+机得〃？
Mx+11-1x-21-x?
+x,而
Ix+11-Ix—21—x~+xMxI+1+1x1—2—厂+1xI
<-
~4
35
且当x=不时，lx+ll-lx-2l-x2+x=-
故〃?
的取值范围为（-6,口
4
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