三角形证明中考题.docx
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三角形证明中考题
第一章三角形的证明测试卷（源
于中考的试题）
参考答案与试题解析
选择题（共9小题）
1.（2013?
郴州）如图，在RtAACB中，ZACB=90%ZA=25°,D是AB上•点.将RtAABC
沿CD折叠，使B点落在AC边上的B'处，则ZADBz等于（）
25°30°35°40°A・B・C・D・
解答：
解「・•在RtAACB中，ZACB=90°,ZA=25%
/.ZB=90°・25°=65°,
・・tCDE‘由厶CDB反折而成，
・・・ZCBD=ZB=65°,
TZCB'D是△AB'D的外角，
/.ZADB^ZCB^-ZA=65°-25°=40°・
故选D.
2.（2012?
潍坊）轮船从B处以每小时50海里的速度沿南偏东30°方向匀速航行，在E处观测灯塔A位于南偏东75°方向上，轮船航行半小时到达C处，在C处观测灯塔A位于北偏东60"方向上，则C处与灯塔A的距离是（）海
里.
解：
根据题意，解答:
选.
长不可能是（）
A.3.5B・4.2C・5.8D・7
解答：
解：
根据垂线段最短，可知AP的长不可小于3；
•・TABC中，ZC=90%AC=3,ZB=30\
・・AB=6,
・・・AP的长不能人于6.故选D.
4.（2012?
铜仁地区）如图，在AABC中，ZABC和ZACB的平分线交于点E,过点E作MNII
BC交AB于M,交AC于N,若BM+CN=9,则线段MN的长为（）
A・6B・7C・8D・9
考点：
等腰三角形的判定与性质：
平行线的性质.
分析：
由ZABC、ZACB的平分线相交于点E,ZMBE=ZEBC,ZECN=ZECB,利用两宜线平
行，内错角相等，利用等量代换可ZNIBE=ZMEB,ZNEC=ZECN,然后即可求得结论.
解答：
解：
•••/£（：
、ZACB的平分线相交于点E,
.-.ZMBE=ZEBC,ZECN=ZECB,
•■•MNIIBC,
.\ZEBC=ZMEB,ZNEC=ZECB,
.-.ZMBE=ZMEB.ZNEC=ZECN,
・・・BM=ME,EN=CN,
・・・MN=ME+EN,
即MN=BM十CN・
-.BNRCN=9
・・・MN=9,故选D・
5.（2011?
恩施州）如图，AD是AABC的角平分线，DF丄AB，垂足为F,DE=DG,AADG和
AAED的面积分别）的面积为（EDFA＞则39和50为
A・11B・5.5C・7D・3.5
考点：
角平分线的性质：
全等三角形的判定与性质.
专题：
计算题：
压轴题.
分析：
作DM=DE交AC于NL作DN丄AC,利用角平分线的性质得到DN=DF,将三角形EDF的而积转化为三角形DNM的面积来求.
解答：
解：
作DM=DE交AC于M,作DN丄AC,
•・DE=DG,DM二DE,
・・・DM=DG,
TAD是ZiABC的角平分线，DF丄AB,
・・・DF二DN,
在RtADEF和RtADNIN中,
:
DlkDF
〔DU二DE
・・・Rt二DEF駅2DMN（HL）,
••^ADG和Z\AED的面积分别为50和39,
・・・S=S-S=50・39=11»admaxidgaadga
1
2
■jxii
=5.5
=S=SSmdgdefaaadnm・故选B
点评：
本题考查了角平分线的性质及全等三角形的判定及性质，解题的关键是正确地作出辅助线，将所求的三角形的闻积转化为另外的三角形的而积来求.
6.（2012?
广州）在RtAABC中，ZC=90\AC=9,BC=12,则点C到AB的距离是（）
4
36
12
25
DB・C・・A
在RtAABC中，AC=9,BC=12,
^/ac2+bc2
AB=15,根据勾股定理得：
过C作CD丄AB,交AB于点D・
BC=AB?
?
CD,=ACS又abca
9%12
15
=,CD=・・=
36
5
的距离是到ABA
则点C・故选7・（2007?
芜湖〉如图，在厶小。
中AD丄BC,CE丄AB,垂足分别为D.E,
AD、CE交于点H,己知EH二EB=3,AE=4.则CH的长是（）
A.1B・2C・3D・4
AB,丄BC,CE丄解：
在解答：
AABC中，AD:
ZZAEH=ADB=90°/.ZBCH=90,°ZTZEAH+AHE=90\ZDHC+（对顶角相等）DHC,TZEHA二Z:
（等量代换〉・・・ZEAH二ZDCH左・・•在ZXECE和HAE中
rZBEC-ZHEA
ZBCE^ZHAE.
（BE=HE=3
・AAS）CEB^AEH^左（AE=CE：
・•・,,TEH二EB=3AE=4・A・・.#.CH=CE-EH=AEEH=4
-3=1故选，重合，恰好与点点CE上的点，是的中心，是矩形点泰安）20U.8（?
^PH，OABCDEAB沿折叠后，BO若BC=3的长为（则折痕CE）
2V3
D..
6B・
C
A・
Vs
解答：
解:
v^CEO是ACEB翻折而成,
・・・BC=OC,BE=OE,ZB=ZCOE=90\
・・・EO丄AC,
TO是矩形ABCD的中心，
・・・OE是AC的垂直平分线，AC=2BC=2X3=6,
・・・AE=CE,
222222AB=3<十3,即&在RtAABC中，AC=AB=AB.解得+EC
V3
・x,则厶AOE中，设OE=x,AE=3在Rt
222222=3AEx==AO-K-OE,
即（，解得3・x）
A.
9.（2012?
深圳）如图，已知:
ZMON=30°,点A、A、A…在射线ON上，点E、B、B…在射线OM上，△ABA、233112121AABA^AABA…均为等边三角形，若OA=1,则AABA的边长为
（）7633136224
A・6B・124
6・D2
3・C
解答：
ABA是等边三角形，解：
・・P211A・・・，12=607B=AB,Z3=Z4=Z1121°,/.Z2=120%TZMON=30,l=180AZ°-120°・30。
=30°°又・・N3=60,5=180°•60°•30。
=90°,/.Z,
Z1=30°・ZMON=OA・・・=1B,=AmA/.=1,B12A••乜A-AB是等边三角形,AB、432233,13=60°Z/.Zll=10=60°,Z%•.•Z4=Z12=60A/.BAIIABAB,II,BAB113213112232厶8=90°,6=/.Zl=
ZZ7=30°Z5=A.*.t=2BBABAA=2B,
小题）二填空题（共8则4・AD=AB=5中，AB二AC,ZBAC的角平分线交BC边于点D,,
BC=6,?
10・（2011怀化）如图，在AABC
考点：
勾股定理；等腰三角形的性
质.
1
2
分析：
首先根据等腰三角形的性质：
等腰三角形的三线合•，求HlDB=DC=CB,AD丄BC,再
利用勾股定理求出AD的长.
解答：
解:
-/AB=AC,AD是ZEAC的角平分线，
•'•06=00=06=3>AD丄BC,
在RtAABD中，
222ADT,二AB十BD
32
.••AD==4,
故答案为：
4.
点评：
此题主要考查了等腰三角形的性质与勾股定理的应用，做题的关键是根据等腰三角形的性质证出AADB是直角三角形.
11.（2011?
衡阳）如图所示，在AABC中，ZB=90°,AB=3,AC=5,将△£（：
折叠，使点C与
点A重合，折痕为DE,则AABE的周长为
7.
考点：
翻折变换（折叠问题h勾股定理.
专题：
压轴题：
探究型.
分析：
先根据勾股定理求出BC的长，再根据图形翻折变换的性质得岀AE=CE,进而求出AABE的周长.
解答：
解：
・・•在厶小。
中，ZB=90\AB=3,AC=5,
Vs2-32
・・・BC=4,
・・・£ADE是ACDE翻折而成,
AE=CE・・・・
.-.AE+BE=BC=4=AB+BC=3^4=7•的周长.^ABE7.故答案为：
本题考査的是图形翻折变换
的性质，即折叠是•种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小点评：
不变，位置变化，对应边和对应角相等.
边上•点，ACAD边上的中线，M是上的动点，E是.12（2010?
滨州）如图，等边AABC的边长为6,AD是BC
2街
考点：
轴对称■最短路线问题；勾股定理.
专题：
压轴题：
动点型.
分析：
要求EM+CM的最小值，需考虑通过作辅助线转化E\I,CM的值，从而找出其最小值
求解.
解答：
解：
连接EE,与AD交于点M.则BE就是EM+CM的最小值.
取CE中点F,连接DF.
•・•等边厶小。
的边长为6,AE=2,
.*.CE=AC-AE=6-2=4»
.-.CF=EF=AE=2,
又TAD是BC边上的中线，
・・・DF是ABCE的中位线，
.-.BE=2DF,BEIIDF,
又TE为AF的中点，
・・・M为AD的中点，
.".ME是Z\ADF的中位线，
・・・DF=2ME,
・・・BE=2DF=4ME,
・・・BM=BE・N1E=4ME-ME=3\IE,
4
3
BE=BM・
3/3
中，BD=BC=3,DM=AD=.在直角△BD\I
・・・・BE二EM十6仁BET
2^7
考査等边三角形的性质和轴对称及勾股定理等知识的综合应用.点评：
若的延长线于FE,AB的垂宜平分线DE交AC于，交BC?
13・（2013泰安）如图，在RtAABC
中，ZACB=90°・2F=30°,DE=1,则BE的长是Z
30含度角的直角三角形：
线段垂直平分线的性质.考点：
压轴题.专题：
度角所对的直角边是“30,则在直角ADBE中由根据同角的余角相等、等腰△ABE的性质推知ZDBE=30。
分析：
BE的长度.斜边的•半”即可求得线段AB,,FD丄解:
解答:
・・NACE=90°°,ACB=ZFDB=90/.Z°,\ZF=30（同角的余角相等）・ZF=30°/.ZA=,
AC于E又AB的垂直平分线DE交•ZA=30°/.ZEBA=・DBE中，BE=2DE=2.\直角△•故答案是：
2.EBA=30°本题考査了线段垂直平分线的性质、含30度角的直角三角形.解题的难点是推知Z点评：
14.（2013?
黔西南州）如图，已知AABC是等边三角形，点B、C、D、E在同谊线上，且CG=CD.
DF=DE,贝IJZE=15
考点：
等边三角形的性质；三角形的外角性质：
等腰三角形的性质.
专题：
压轴题.
分析：
根据等边三角形三个角相等，可知ZACB=60°,根据等腰三角形底角相等即可得1BZE的
度数.
解答：
解：
..tABC是等边三角形，
.-.ZACB=60°,ZACD=120\
•・CG二CD.
・・・ZCDG=30°,ZFDE=150\
・・DF二DE,
••・ZE=15°・
故答案为:
15.
点评：
本题考查了等边三角形的性质，互补两角和为180。
以及等腰三角形的性质，难度适中.
15.（2005?
绵阳）如图，在ZkABC中，BC=5cm,BP、CP分别是ZABC和ZACB的角平分线,
且PDIIAB,PEIIAC,・cm5的周长是PDEA则.
等腰三角形的判定与性质：
平行线的性质.考点：
压轴题.专题：
为等腰三角形，由等腰三角形的性质得AECP分别利用角平分线的性质和平行线的判定，求得AUBP和分析：
5cm.△
PDE的周长就转化为BC边的长，即为BD=PD,CE=PE,那么ACE的角平分线，ZABC和Z
解答：
解：
・.・BP、CP分别是PCE-ZACP=Z/.ZABP=ZPBD,,PEllAC/PDllAB,ZACP=
ZCPE/.ZABP=ZBPD,,ZPCE=ZCPE/.ZPBD=ZBPD,,BD=PD.CE=PE/.・PDE的周长
=PDWE+PE=BD+DE^EC=BC=5cm/.^・PDE的周长是5cm答：
△的PDE此题主要考査了平
行线的判定，角平分线的性质及等腰三角形的性质等知识点•本题的关键是将△点评：
边的长•周长就转化为BC为AB,BC.且DC=2AB,分别以DA,Z?
陕西）如图，梯形ABCD中，ABllDC,ZADC十BCD=90°
16.（2008之间的关系是S=S+S・SS,,S,则S,S,S边向梯形外作正方形，其面积分别为
311212332
考点：
勾股定理.
专题：
压轴题.
分析：
过点A作AEIIBC交CD于点E,得到平行四边形ABCE和RtAADE,根据平行四边形
的性质和勾股定理，不难证明三个正方形的边长对应等于所得直角三角形的边.
解答：
解：
过点A作AEIIBC交CD于点E,
•/ABIIDC,
四边形AECB是平行四边形，
・・TZADC十ZBCD=90°,DC=2AB>
・・・AB二DE,ZADC*ZAED=90\
222AD,那么Z/.DAE=90%=DE+AE22222S*/=AE=DE,S=BC=ABS=AD,312/.
S=S+S.
本题的关键在于通过作辅助线把梯形的问题转换为平行•四边形和直角三角形的问题，然后把三个正方形的点评：
边长整理到•个三角形中进行解
题.
Vn
2
17.（2005?
十堰）如图中的螺旋由•系列直角三角形组成，则第n个三角形的闻积为
考点：
勾股定理.
专题：
规律型.
分析：
根据勾股定理，逐•进行计算，从中寻求规律，进行解答.
解答：
解：
根据勾股定理：
2=l+bS=lXl-r第•个三角形中：
OA2:
11V1+T
22S=OAXl-r2=Xl^-2：
第二个三角形中：
OA=OA^1=1+1+1,1122
V1+1+1
22XI-=-2OA:
=OA十1=1十1十1十1,S=OAXl-r2=第三个三角形中：
2332…
2=.S=Xl-?
n第个三角形中：
Xi点评：
本题主要考查了勾股定理的应用，要注总图中三角形的面积的变化规律.
三.解答题（共5小题）
18.（2013?
温州）如图，在ZkABC中，ZC=90%AD平分ZCAB,交CB于点D,过点D作DE
丄AB于点E・
（1）求证：
AACD斗AED；
（2）若ZB=30°,CD=b求ED的
长.
考点：
全等三角形的判定与性质：
角平分线的性质；含30度角的直角三角形.分析：
（1）根据角平分线性质求出CD二DE,根据HL定理求出另三角形全等即可;
（2）求J1UDEB=9O\DE=1,根据含30度角的亡角三角形性质求出即可.
解答：
（1）证明：
TAD平分ZCAB,DE丄AB,ZC=90\
・・・CD=ED,ZDEA=ZC=90\
•・•在RtAACD和RtAAED中
[ClJ=DE
.•.Rt-ACD^Rt-AED（HL）：
（2）解：
-/DC=DE=bDE丄AB,
/.ZDEB=90°,
•・NB=30°,
.*.BD=2DE=2・
点评：
本题考査了全等三角形的判定，角平分线性质，含30度角的直角三角形性质的应用，注意：
角平分线上的点到角两边的距离和等.
19.（2013?
沈阳）如图，Z\ABC中，AB=BC,BE丄AC于点E,AD丄BC于点D,ZBAD=45°,
AD与BE交于点F,连接CF・
（1）求证：
BF=2AE：
V2
CD=,求AD）若的长.（2
考点：
全等三角形的判定与性质：
勾股定理.
专题：
证明题：
压轴题.
分析：
（1）先判定S11AABD是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得AD=BD，再根据同角的余角相等求｝1UCAD=ZCBE＞然后利用“角边角”证明厶ADC和ABOF全等，根据全等三角形对应边和等可得BF=AC,再根据等腰三角形三线合•的性质可得AC=2AF.从而得证；
（2）根据全等三角形对应边相等可得DF=CD,然后利用勾股定理列式求出CF,再根据线段垂
直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AF=CF,然后根据AD=AF+DF代入数据即可得解.
解答：
（1）证明：
TAD丄BC,ZBAD=45°,
.•上ABD是等腰色角三角形，
•'•AD=BD»
•.BE丄AC,AD丄BC,
・・・ZCAD十ZACD=90°,
ZCBE+ZACD=90。
，
・・・ZCAD二ZCBE,
NCQGE
ZADC=ZBDF=9O0
中,»ABDF在厶ADC和），斗EDF（ASA・••上ADCBF=AC,・・・，，BE丄ACTABMBC，/.AC=2AE:
.-.BF=2AE
BDF,坐）解：
V^ADC-
（
DF=CD=・・・，
d仏）J砸〕$
VDF2tCD2
=2△在RtCDF中，CF=AE=EC,,丄'/BEAC/.AF=CF=2,
・AD=AF+DF=2+.*.・
点评：
本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰去角三角形的判定与性质，等腰三角形三线合•的性质，勾股定理的应用，以及线段垂宜平分线上的点到线段两端点的距离相的性质，熟记各性质并准确识图是解题的关键.
20.（2007?
福州〉如图，宜线ACIIBD.连接AB,直线AC、BD及线段AB把平面分成①、②、
③、④四个部分，规定：
线上各点不属于任何部分.当动点P落在某个部分时，连接PA,PB.构成ZPAC,ZAPB,ZPBD三个角.（提示：
有公共端点的两条重合的射线所组成的角是0。
角）
（1）当动点P落在第①部分时，求证：
ZAPB=ZPAC-ZPBD：
（2）当动点P落在第②部分时，ZAPB=ZPAC+ZPBD是否成立？
（直接回答成立或不成立）
（3）当动点P落在第③部分时，全面探究ZPAC,ZAPB.ZPBD之间的关系，并写出动点P的
具体位置和相应的结论.选择其中•种结论加以证
明.
考平行线的性质：
角平分线的性质.
点：
专动点型：
探究型.
题：
分
（1）如图1,延长EP交直线AC于点E,由ACIIBD,可知ZPEA=ZPBD・由ZAPB=ZPAE+
ZPEA,可知ZAPB二ZPAC十ZPBD：
析：
（2〉过点P作AC的平行线，根据平行线的性质解答:
（3）根据P的不同位置，分三种情况讨论.
解解：
（1）解法■：
如图1延长BP交直线AC于点E.
•/ACIIBD,.*.ZPEA=ZPBD・答,/ZAPB=ZPAE+ZPEA,:
.-.ZAPB=ZPAC+ZPBD：
解法二：
如图2
过点P作FPIIAC,
.\ZPAC=ZAPF・
TACIIED,・・・FPIIED・
/.ZFPB=ZPBD・
.-.ZAPB=ZAPF+ZFPB
=ZPAC+ZPBD：
解法三：
如图3,
TACIIBD,
.-.ZCAB-ZABD=180\
ZPAC+ZPAB-ZPBA+ZPBD=180°.
又ZAPB+ZPBA十ZPAB二180%
・・・ZAPE=ZPAC+ZPBD・
（2）不成立.
（3）（a）
当动点P在射线BA的右侧时，结论是
ZPBD=ZPAC+ZAPB・
（b）当动点P在射线BA上，
结论是ZPBD=ZPAC+ZAPB・
或ZPAC=ZPBD+ZAPB或ZAPB=0%
ZPAC=ZPBD（任写•个即可）.
（c）当动点P在射线BA的左侧时，
论是ZPAC=ZAPB十ZPBD・
选择（a）证明：
如图4,连接PA,连接PB交AC于M.
TACIIBD,
・・・ZPMC=ZPBD・
又VZPMC=ZPANI+ZAPM（三角形的•个外角等于与它不相邻的两个内角的和），
・・・ZPBD=ZPAC+ZAPB・
选择（b）证明：
如图5
•・•点P在射线BA±,/.ZAPB=O度.
TACIIBD,・・・ZPBD二ZPAC・
・・・ZPBD二ZPAC十ZAPE
或ZPAC=ZPBD+ZAPB
或ZAPB=O°,ZPAC=ZPBD・
选择（c）证明：
如图6,连接PA,连接PB交AC于F
・PBDZPFA=Z/.,BDIIAC/・
ZAPF+ZPFA,\ZPAC=ZAPB+ZPBD.・・・ZPAC=此题考査了角平分线的性质：
是•道探索性问题，旨在考查同学们对材料的分析研究能力和对平行线及角平分点
（2）小题，可以为（3）小题提供思路.评线性质的掌握情况.认真做好（1〉:
E,连接・CDD是AB的中点,DE丄BC,垂足为点。
21.（2013?
抚顺）在RtAABC中,ZACB=90>
ZA=30°，点
Vs
2
DE=BC,DE与BC的数量关系是；
（1）如图1
（2）如图2,若P是线段CB上-动点（点P不与点B、C重合），连接DP,将线段DP绕点D逆时针旋转60’，得到线段DF,连接BF,请猜想DE、BF、BP三者之间的数量关系，并证明你的结论：
（3）若点P是线段CB延长线上•动点，按照
（2）中的作法，请在图3中补全图形，并直接写tilDE.BF、BP三者之间的数量关系.
考点：
全等三角形的判定与性质：
等边三角形的判定与性质：
含30度角的岚角三角形.
分析：
（1）由ZACB=90°,ZA=30°得到ZB=60°,根据岚角三角形斜边上中线性质得到DB=DC,则可判断ADCB
V3
2
为等边三角形，由于DEIBC,DE=BC：
（2）根据旋转的性质得到ZPDF=60\DP=DF,易得ZCDP=ZBDF，则可根据“SAS”可判断△
DCP斗DBF,
3
2
贝ijCP二BF,羽J用CP=BC-BP,DE=BC可得到BF十BP二DE：
（3）与
（2）的证明方〉去•样得到ADCP旻二DEF得至IjCP二EF,而CP=BC+BP，贝ijBF・EP=BC,所以BF
2/5
3
-BP=DE・
解答：
解：
（1〉・・NACE=90°,ZA=30°,
/.ZB=60%
•・•点D是AB的中点，
・・DB=DC»
••上DCE为等边三角形,
TDE丄BC,
V3
2
.-.DE=BC：
亞
2
BC.故答案为DE=
・理由如下：
DEBF+BP二〉2（・
•••线段DP绕点D逆时针旋转60°,得到线段DF,
.-.ZPDF=60°,DP二DF,
而ZCDB=60°,
・・・ZCDB-ZPDB=ZPDF-ZPDB,
.\ZCDP=ZBDF,
在厶DCP和厶DBF中
ZCDPMBDF
』P二DP
••上DCP斗DBF（SAS）,
・・・CP二EF,
而CP=BC-BP,
・・・BF-BP二BC,
Vs
2
DE二BCT,
2V3
DE,・•・
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