三角形证明中考题.docx

1、三角形证明中考题第一章 三角形的证明测试卷（源于中考的试题）参考答案与试题解析选择题（共9小题）1. （2013?郴州）如图，在 RtAACB 中，ZACB=90% ZA=25, D 是 AB 上点.将 RtAABC沿CD折叠，使B点落在AC边上的B处，则ZADBz等于（）25 30 35 40 A B C D解答： 解在 RtAACB 中，ZACB=90, ZA=25%/.ZB=90 25 =65 ,tCDE由厶CDB反折而成，ZCBD=ZB=65,TZCBD是AB D的外角，/.ZADBZCB - ZA=65 - 25 =40 故选D.2. （2012?潍坊）轮船从B处以每小时50海里的速

2、度沿南偏东30方向匀速航行，在E处观测 灯塔A位于南偏东75方向上，轮船航行半小时到达C处，在C处观测灯塔A位于北偏东60 方向上，则C处与灯塔A的距离是（）海里.解：根据题意，解答:选.长不可能是（）A. 3.5 B 4.2 C 5.8 D 7解答：解：根据垂线段最短，可知AP的长不可小于3；TABC 中，ZC=90% AC=3, ZB=30AB=6,AP的长不能人于6. 故选D.4.（2012?铜仁地区）如图，在AABC中，ZABC和ZACB的平分线交于点E,过点E作MNIIBC交AB于M,交AC于N,若BM+CN=9,则线段MN的长为（）A 6B7C8D9考点：等腰三角形的判定与性质：平

3、行线的性质.分析：由ZABC、ZACB的平分线相交于点E, ZMBE=ZEBC, ZECN=ZECB,利用两宜线平行，内错角相等，利用等量代换可ZNIBE=ZMEB, ZNEC=ZECN,然后即可求得结论.解答：解：/（：、ZACB的平分线相交于点E,.-.ZMBE=ZEBC, ZECN=ZECB,MNIIBC,.ZEBC=ZMEB, ZNEC=ZECB,.-.ZMBE=ZMEB. ZNEC=ZECN,BM=ME, EN=CN,MN=ME+EN,即MN=BM十CN-.BNRCN=9MN=9, 故选D5.（2011?恩施州）如图，AD是AABC的角平分线，DF丄AB，垂足为F, DE=DG, A

4、ADG和AAED的面积分别） 的面积为（EDFA则39和50为A 11 B 5.5 C 7D 3.5考点：角平分线的性质：全等三角形的判定与性质.专题：计算题：压轴题.分析：作DM=DE交AC于NL作DN丄AC,利用角平分线的性质得到DN=DF,将三角形EDF 的而积转化为三角形DNM的面积来求.解答：解：作DM=DE交AC于M,作DN丄AC,DE=DG, DM二DE,DM=DG,TAD是ZiABC的角平分线，DF丄AB,DF二DN,在 RtADEF 和 RtADNIN 中,:DlkDFDU二DERt二DEF駅2DMN (HL),ADG和ZAED的面积分别为50和39,S=S - S=50 3

5、9=11 admaxidgaadga12jxii=5.5=S=SSmdgdefaaadnm 故选 B点评：本题考查了角平分线的性质及全等三角形的判定及性质，解题的关键是正确地作出辅助 线，将所求的三角形的闻积转化为另外的三角形的而积来求.6.（2012?广州）在 RtAABC 中，ZC=90 AC=9, BC=12,则点 C 到 AB 的距离是（）4361225D BC A在 RtAABC 中，AC=9, BC=12,/ac2+bc2AB=15,根据勾股定理得：过C作CD丄AB,交AB于点DBC=AB?CD, =ACS 又 abca9%1215=,CD=365的距离是到ABA则点C 故选7（2

6、007?芜湖如图，在厶小。中AD丄BC, CE丄AB,垂足分别为D. E,AD、CE交于点H,己知EH二EB=3, AE=4.则CH的长是（）A. 1B2C3D4AB,丄 BC, CE 丄解：在解答： A ABC 中，AD : ZZAEH=ADB=90/. ZBCH=90, ZTZ EAH+AHE=90 ZDHC + （对顶角相等）DHC, TZEHA二Z :（等量代换ZEAH二ZDCH 左 在ZXECE和HAE中rZBEC-ZHEAZBCEZHAE.（BE=HE=3,AAS）CEBAEH左（AE=CE：,TEH二EB=3AE=4 A.#.CH=CE - EH=AEEH=4-3=1故选，重合，

7、恰好与点点CE上的点，是的中心，是矩形点泰安）20U.8（?PH，OABCDEAB 沿折叠后，BO若BC=3的长为（则折痕CE）2V3D.6 BCAVs解答：解:vCEO是ACEB翻折而成,BC=OC, BE=OE, ZB=ZCOE=90EO丄AC,TO是矩形ABCD的中心，OE是AC的垂直平分线，AC=2BC=2X3=6,AE=CE,222222AB=3 AD丄 BC,在 RtAABD 中，222ADT,二AB十BD32.AD=4,故答案为：4.点评：此题主要考查了等腰三角形的性质与勾股定理的应用，做题的关键是根据等腰三角形的 性质证出AADB是直角三角形.11. （2011?衡阳）如图所示

8、，在AABC中，ZB=90, AB=3, AC=5,将（：折叠，使点C与点A重合，折痕为DE,则AABE的周长为7 .考点：翻折变换（折叠问题h勾股定理.专题：压轴题：探究型.分析：先根据勾股定理求出BC的长，再根据图形翻折变换的性质得岀AE=CE,进而求出AABE 的周长.解答：解：在厶小。中，ZB=90 AB=3, AC=5,Vs2 - 32BC=4,ADE是ACDE翻折而成,AE=CE,.-.AE+BE=BC=4 =AB+BC=34=7的周长.ABE7.故答案为：本题考査的是图形翻折变换的性质，即折叠是种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小点评：不变，位置变化，对应边和对应角

9、相等.边上点，ACAD边上的中线，M是上的动点，E是.12 （2010?滨州）如图，等边AABC的边 长为6, AD是BC2街考点：轴对称最短路线问题；勾股定理.专题：压轴题：动点型.分析：要求EM+CM的最小值，需考虑通过作辅助线转化EI, CM的值，从而找出其最小值求解.解答：解：连接EE,与AD交于点M.则BE就是EM+CM的最小值.取CE中点F,连接DF.等边厶小。的边长为6, AE=2,.*.CE=AC - AE=6 - 2=4.-.CF=EF=AE=2,又TAD是BC边上的中线，DF是ABCE的中位线，.-.BE=2DF, BEIIDF,又TE为AF的中点，M为AD的中点，.ME是

10、ZADF的中位线，DF=2ME,BE=2DF=4ME,BM=BE N1E=4ME - ME=3IE,43BE=BM 3/3中，BD=BC=3, DM=AD=. 在直角BDI BE二EM十6仁BE T27考査等边三角形的性质和轴对称及勾股定理等知识的综合应用.点评：,若的延长线于FE, AB的垂宜平分线DE交AC于，交BC?13 （2013泰安）如图，在RtAABC中，ZACB=90 2F=30 , DE=1,则 BE 的长是 Z30含度角的直角三角形：线段垂直平分线的性质.考点：压轴题.专题：度角所对的直角边是“30,则在直角ADBE中由根据同角的余角相等、等腰 ABE的性质推知ZDBE=30

11、。分析：BE的长度.斜边的半”即可求得线段AB, FD丄解:解答:NACE=90 , ACB=ZFDB=90/.Z , ZF=30 （同角的余角相等） ZF=30/.ZA=,AC于E又AB的垂直平分线DE交 ZA=30/.ZEBA=DBE中，BE=2DE=2.直角 故答 案是：2 . EBA=30本题考査了线段垂直平分线的性质、含30度角的直角三角形.解题的难 点是推知Z点评：14.（2013?黔西南州）如图，已知AABC是等边三角形，点B、C、D、E在同谊线上，且CG=CD.DF=DE,贝IJZE= 15考点：等边三角形的性质；三角形的外角性质：等腰三角形的性质.专题：压轴题.分析：根据等边

12、三角形三个角相等，可知ZACB=60,根据等腰三角形底角相等即可得1BZE的度数.解答：解：.tABC是等边三角形，.-.ZACB=60, ZACD=120CG二CD.ZCDG=30, ZFDE=150DF二DE,ZE=15故答案为:15.点评：本题考查了等边三角形的性质，互补两角和为180。以及等腰三角形的性质，难度适中.15.（2005?绵阳）如图，在ZkABC中，BC=5cm, BP、CP分别是ZABC和ZACB的角平分线,且 PDIIAB, PEIIAC, cm 5 的周长是 PDEA 则.等腰三角形的判定与性质：平行线的性质.考点： 压轴题.专题：为等腰三角形，由等腰三 角形的性质得

13、AECP分别利用角平分线的性质和平行线的判定，求得AUBP和分析：5cm. PDE的周长就转化为BC边的长，即为BD=PD, CE=PE,那么ACE的角平分线，ZABC和Z解答： 解：.BP、CP 分别是 PCE- ZACP=Z/.ZABP=ZPBD , PEll AC/PDll AB , ZACP=ZCPE/.ZABP=ZBPD, , ZPCE=ZCPE/.ZPBD=ZBPD, , BD=PD. CE=PE/. PDE 的周长=PDWE+PE=BD+DEEC=BC=5cm/.PDE的周长是5cm答：的PDE此题主要考査了平行线的判定，角平分线的性质及等腰三角形的性质等知识点本题的关键是将点评

14、：边的长周 长就转化为BC 为 AB, BC.且 DC=2AB,分别以 DA, Z?陕西）如图，梯形 ABCD 中，ABllDC, ZADC十BCD=9016.(2008之间的关系是S=S+SSS, S,则S, S, S边向梯形外作正方形，其面积分别为311212332考点：勾股定理.专题：压轴题.分析：过点A作AEIIBC交CD于点E,得到平行四边形ABCE和RtAADE,根据平行四边形的性质和勾股定理，不难证明三个正方形的边长对应等于所得直角三角形的边.解答：解：过点A作AEIIBC交CD于点E,/ABIIDC,四边形AECB是平行四边形， AB二DE, ZADC*ZAED=90222AD

15、,那么Z/.DAE=90% =DE +AE22222S*/ =AE=DE, S=BC=ABS=AD, 312/.S=S+S .本题的关键在于通过作辅助线把梯形的问题转换为平行四边形和直角三角形的问题，然后把三 个正方形的点评：边长整理到个三角形中进行解题.Vn217.（2005?十堰）如图中的螺旋由系列直角三角形组成，则第n个三角形的闻积为考点：勾股定理.专题：规律型.分析：根据勾股定理，逐进行计算，从中寻求规律，进行解答.解答：解：根据勾股定理：2=l+b S=lXl-r 第个三角形中：OA2: 11 V1+T22S=OAXl-r2=Xl-2：第二个三角形中：OA=OA1=1+1+1, 11

16、22V1+1+122XI-=-2OA: =OA十1 = 1十1十1十1, S=OAXl-r2=第三个三角形中：23322=. S=Xl-?n第个三角形中：Xi点评：本题主要考查了勾股定理的应用，要注总图中三角形 的面积的变化规律.三.解答题（共5小题）18.（2013?温州）如图，在ZkABC中，ZC=90% AD平分ZCAB,交CB于点D,过点D作DE丄AB于点E(1)求证：AACD斗AED；(2)若ZB=30, CD=b 求 ED 的长.考点：全等三角形的判定与性质：角平分线的性质；含30度角的直角三角形. 分析：（1）根据角平分线性质求出CD二DE,根据HL定理求出另三角形全等即可;（2

17、）求J1UDEB=9O DE=1,根据含30度角的亡角三角形性质求出即可.解答：(1)证明：TAD 平分ZCAB, DE丄AB, ZC=90CD=ED, ZDEA=ZC=90在 RtAACD 和 RtAAED 中ClJ=DE.Rt-ACDRt-AED (HL)：(2)解：-/DC=DE=b DE丄AB,/.ZDEB=90,NB=30,.*.BD=2DE=2 点评：本题考査了全等三角形的判定，角平分线性质，含30度角的直角三角形性质的应用，注 意：角平分线上的点到角两边的距离和等.19.(2013?沈阳)如图，ZABC 中，AB=BC, BE丄AC 于点 E, AD丄BC 于点 D, ZBAD=

18、45,AD与BE交于点F,连接CF(1)求证：BF=2AE：V2CD=,求AD)若的长.(2考点：全等三角形的判定与性质：勾股定理.专题：证明题：压轴题.分析：(1)先判定S11AABD是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得AD=BD，再 根据同角的余角相等求1UCAD=ZCBE然后利用“角边角”证明厶ADC和ABOF全等，根据 全等三角形对应边和等可得BF=AC,再根据等腰三角形三线合的性质可得AC=2AF.从而得 证；（2）根据全等三角形对应边相等可得DF=CD,然后利用勾股定理列式求出CF,再根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AF=CF,然后根据AD=AF+DF代

19、入数据即可得解.解答：（1）证明：TAD丄BC, ZBAD=45,.上ABD是等腰色角三角形，AD=BD.BE丄AC, AD丄BC,ZCAD 十 ZACD=90,ZCBE+ZACD=90。，ZCAD二ZCBE,NCQGEZA=30，点Vs2DE=BC, DE与BC的数量关系是；（1）如图1 （2）如图2,若P是线段CB上-动点（点 P不与点B、C重合），连接DP,将线段DP绕点D逆时针旋转60，得到线段DF,连接BF, 请猜想DE、BF、BP三者之间的数量关系，并证明你的结论：（3）若点P是线段CB延长线上动点，按照（2）中的作法，请在图3中补全图形，并直接写 til DE. BF、BP三者之

20、间的数量关 系.考点：全等三角形的判定与性质：等边三角形的判定与性质：含30度角的岚角三角形.分析：（1）由ZACB=90, ZA=30得到ZB=60,根据岚角三角形斜边上中线性质得到DB=DC, 则可判断ADCBV32为等边三角形，由于DEIBC, DE=BC：（2） 根据旋转的性质得到ZPDF=60 DP=DF,易得ZCDP=ZBDF，则可根据“SAS”可判断DCP 斗 DBF,32贝ij CP二BF,羽J用 CP=BC - BP, DE=BC 可得到 BF十BP二DE：（3） 与（2）的证明方去样得到ADCP旻二DEF得至Ij CP二EF,而CP=BC+BP，贝ijBFEP=BC, 所以BF2/53-BP=DE 解答：解：（1NACE=90, ZA=30,/.ZB=60%点D是AB的中点，DB=DC上DCE为等边三角形,TDE 丄 BC,V32.-.DE=BC：亞2BC.故答案为DE=理由如下：DEBF+BP二2 (线段DP绕点D逆时针旋转60 ,得到线段DF,.-.ZPDF=60, DP二DF,而 ZCDB=60,ZCDB - ZPDB=ZPDF - ZPDB,.ZCDP=ZBDF,在厶DCP和厶DBF中ZCDPMBDFP 二DP上DCP斗DBF (SAS),CP二EF,而 CP=BC - BP,BF-BP二BC,Vs2DE二BCT,2V3DE,