人教版八年级下册平行四边形专题知识点常考典型题型重难点题型含详细答案.docx
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人教版八年级下册平行四边形专题知识点常考典型题型重难点题型含详细答案
平行四边形专题知识点+常考题型+重难点题型
（含详细答案）
一、目录
一、目录1
二、基础知识点2
1.平行四边形的定义2
2.平行四边形的性质3
3.平行四边形的判定定理
4.三角形中位线定理10
三、重难点题型14
1.平行四边形的共性14
2.平行四边形间距离的应用16
3.与平行四边形有关的计算17
4.与平行四边形有关的证明19
二、基础知识点
1•平行四边形的定义
平行四边形：
两组对边分别平行的四边形。
平行四边形ABCD记作
“□ABCD”
注：
只要满足对边平行的四边形都是平行四边形。
矩形、菱形、正方
形都是特殊的平行四边形
例1.如图，□ABCD中，DE±AB,BF丄CD,垂足分别为E,F.求证:
BE二DF・
答案：
Y四边形ABCD为平行四边形
・・・AD〃CB,AD=CB
TDE丄AB,BF±CD
AZDEA=ZCFB
Λ∆ADE^∆CFB
AAE=CF
•.・DC=AB
ABE=DF
例2•在平面直角坐标系中，有A（0,1）,B（-1,0）,C（IZO）三点，若
点D与A,B,C构成平行四边形，求D的坐标。
（3解）
答案：
如下图，有三种情况，坐标分别为:
（0,一2）；（乙1）；（-2,1）
2•平行四边形的性质
性质1（边）：
平行四边形的对边相等（AB二CD,AC=BD）
Λ∆ACD^∆DBA（ASA）
ΛAB=CDAC=BD
性质2（角）：
平行四边形对角相等，邻角互补
（ZA二ZD,ZC二ZB；ZA+ZC=ZB+ZD=180α）证明：
V∆ACD^∆DBA（ASA）
又∙.∙ZCAB=ZCAD+ZDABZCDB=ZCDA+ZADB
・\Zcab=Zcdb
TAB〃CD
ΛZB+ZBDC=180o
性质3（对角线）：
平行四边形对角线互相平分（AO二OC；BO=OD）
证明：
VAD=BCZOAD=ZOCBZODA=ZOBCΛ∆AOD^∆COB（ASA）
・∙.A0二OCOB=OD
注平行四边形对角线互相平分，但两对角线不一定相等解析：
假设平行四边形对角线相等
・•・ZOAD=ZADO=ZOBC=ZOCB
ZOAB=ZOBA=ZOCD=ZCDO
又VZDAB+ZCBA=180o
・IZDAB二ZABC二ZBCD二ZCDA二90°
・•・仅在平行四边形的四个角为直角时（即矩形），对角线相等注2：
对角线不一定平分角
解析：
假设平行四边形对角线平分角，则ZADB=ZBDCZACD=ZACB
VZDCB=ZBAD
・\Zacd=Zcad
又VOD=OD
Λ∆AOD^∆COD（AAS）
AAD=DC=BC=AB
・・・仅当平行四边形四条边相等时（即菱形），对角线平分角
性质4：
平行四边形是中心对称图形，对称中心为对角线交点。
中心对称图形：
一个图形绕中心点旋转280。
后与原图形重合。
平行四边形的高：
1两条平行线之间的距离：
一条直线上任一点到另一直线的距离
2平行四边形对边平行。
一条边上任取一点作另一边的垂线，该垂
线的长度称作平行四边形在该边上的高。
例1.如图，在□ABCD中，连接BD,在BD的延长线上取一点E,在
DB的延长线上取一点F,使BF二DE,连接AF,CE,求证：
AF=CEo
（平行四边形对角相等的性质）
答案：
J四边形ABCD是平行四边形
・*.AB=DCZABD=ZBDC
・•・ZABF=ZCDE
又VBF=DE
Λ∆FBA^∆EDC
AAF=CE
例2・如图，在□ABCD中，点E为边CD上的一点，将国ADE沿AE折
叠至［≡AGE处，AG与CE交于点F。
若0B=52o,ZDAE=20°,求Z
FEG的大小。
（平行四边形对角线互相平分的性质）
答案：
VZD=ZB=52°ZDAE=20o
ΛZAED=I08o=ZAEG
设ZCEG=XO,则ZAEF=I08o-X
贝∣J:
108+108~x=180
解得：
X二36
例3.如图，□ABCD的对角线AC,BD交于点O,且AC+BD=16,CD=6,求Aabo的周长。
答案：
・・・四边形ABCD是平行四边形
・∙.AO=-ACBO=-FZ）
22
VAC+BD=16
.∙.AO+OB二8
VCD=6
「•AB二CD二6
Λ∆ABO的周长为8+6=14
3•平行四边形的判定定理
判定定理1：
两组对边分别相等的四边形是平行四边形。
证明：
VAD=BCAB=CDAC二AC
Λ∆ABC^∆CDA（SSS）
・∖Zdac=Zacb
・・・AD〃BC
同理AB〃DC
・•・四边形ABCD是平行四边形
判定定理2：
两组对角分别相等的四边形是平行四边形。
证明：
VZA=ZCZB=ZD
又Y四边形内角和为360。
・,.ZA+ZD=180o
・,.AB∕∕BC
同理AD//BC
・・・四边形ABCD是平行四边形
判定定理3：
对角线互相平分的四边形是平行四边形
证明：
TAO二OCBO二ODZAOB=ZDOC
Λ∆ABC^∆COD（SAS）
AAB=CD
同理AD二BC
根据判定定理1四边形ABCD为平行四边形
判定定理4：
一组对边平行且相等的四边形为平行四边形
证明：
VADzy=BC
/.ZDAC=ZACBAC=ACBC=AD
Λ∆ACD^∆CAB（SAS）
ΛAB=CDAD=BC
・•・四边形ABCD是平行四边形
平行四边形判定方法总结：
1定义：
两组对边分别平行的四边形BP：
AB〃CD,AD〃BC
2判定2：
对边相等即：
AD=BC,AB=CD
3判定2：
对角相等即：
ZBAD=ZDCB,ZABC=ZCDA
4判定3：
对角线相互平分即：
Ao二OD,BO=OD
5判定4：
一组对边平行且相等
例1.下列命题中，真命题有：
A.对角线互相平分的四边形是平行四边形
B.两组对角分别相等的四边形是平行四边形
C.一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
答案:
AB
C不能判断。
同一组对边平行且相等，才能判断为平行四边形
例2.如图，在□ABCD中，BD是它的一条对角线，过A,C两点作
AE0BD,CFEBD,垂足分别为点E,F,延长AE、CF分别交CD,AB
于点M,NU
（1）求证：
四边形CMAN是平行四边形
CN±BD
（2）己知DE二4,FN=3,求BN的长。
答案：
（1）VAM丄BD,
ΛAM/7CN
•・・四边形ABCD为平行四边形
ΛMC/7AN
・•・四边形ANCM为平行四边形
（2）VMC=AN
・β.DM=NB
VDC/7AB
・•・ZMDB=ZABD
•・•四边形AMNC为平行四边形
AZNFB=ZMED
Λ∆DEM^∆BFN
AFB=4
ABN=S
4•三角形中位线定理
两三角形的中位线：
连接三角形两边中点的线段（三条）
三角形中位线定理：
中位线平行于第三边，且等于第三边的一半。
证明：
作CF〃AB交DE延长线于点F
VZADF=ZCFDZFEC=ZAEDAE=AE
Λ∆ADF^∆CFE（AAS）.".DE=EF
・IAD=CF=BD・・・DB〃=CF
・•・四边形DBCF为平行四边形
ADF=BC
TE//=严
例L如图，在Aabc中，bc>ac,点D在BC上，且De二ac,ZACB
的角平分线CF交AD于点F,点E是AB的中点，连接EF。
求证:
EF∕/BCo
答案：
TAC二DC,CF为ZABC的角平分线
ACF在等腰三角形ACD中为“三线合一”
λcf为Aadc以AD为底的中线
.∙.ef为Aabd的中位线
・・・EF〃BC
例2.如图，己知AO是AABC的ZBAC的角平分线，DB丄AO交Ao的延长线于点D,点E是BC的中点。
求证：
DE=I（AB-AC）O
答案：
延长AC、BD交于点F
A
TAO是ZBAC角平分线
・•・ZBAD=ZDAF
VDB±AO
・•・ZADB=ZADF=90°
XVAD=AD
Λ∆ADB^∆ADF
ΛAB=AF,BD二DF
TE是BC中点
ADE是Abfc中位线
・・・DE〃=ZCF
2
•'•DE二（AB-AC）
2
例3.如图，在Aabc中，Ao平分Zbac,BD丄Ao交Ao的延长线于点D。
若AO=AC,求证：
AD弓（AB+AC）。
答案：
延长AD至点E,使DE二AD,连接BE,如下图
TBD为AE中线
AAB=BE
/.Ze=ZBAD=ZCAD
IZAOD=ZACO=ZAOC
.,.ZE0B=ZEB0
.,.EB=OE
ΛAD=i（AB+AC）
2
三、重难点题型
1•平行四边形的共性
方法：
平行四边形+—个条件，推导菱形和矩形；平行四边形+两个条件，推导正方形；菱形（矩形）+—个条件，推导正方形。
例1・平行四边形的共性:
两组对边分别平行且相等，对角相等，对角线互相平分.
思考：
添加什么条件，可以把平行四边形“变成”菱形呢？
添加什么条件，可以把平行四边形“变成”矩形呢？
答案：
菱形可增加的条件为：
（DAC±BD；②AD=DC;③ZADB=ZBDC
矩形可增加的条件为：
①AC二BD；②ZADC=90°
例2・如图，在菱形ABCD中，AB=2,ZDAB=60°,点E是AD边的中点，点M是AB边上的一个动点（不与点A重合），延长ME交CD的延长线于点N,连接MD,AN.
（1）求证：
四边形AMDN是平行四边形•
（2）①当AM的值为何值时，四边形AMDN是矩形；
②当AM的值为何值时，四边形AMDN是菱形.
答案：
（2）VZNED=ZAEMAE=DEZDNE=ZEMA
Λ∆DNE^∆AME
ΛND=AM
VND∕/AM
・•・四边形AMDN为平行四边形
（2）①・・・四边形MADE为矩形
・•・ZAMD二90°
VAD=2,ZDAB=60°
AAM=I
（2）②Y四边形AMDN为菱形
・・・MN丄AD
VAE=1,ZEAM=60°
AAM=2
例3・如图，将平行四边形ABCD的边DC延长到E,使CE=CD,连接AE交BC于F,ZAFC=IMD,当n为何值时，四边形ABEe是矩形。
E
答案：
•・•四边形ABEC为矩形
ΛAC±DE
TEC=CD
・・・AC为等腰三角形AED的“三线合一”线段
VABEC为矩形
AEF=FC
ΛZAEC=ZFCE
ΛZAFC=ZAEC+ZFCE
2•平行四边形间距离的应用
方法：
同底等高的平行四边形（三角形）面积相等。
同时注意，三角形而积是其同底等高平行四边形的一半。
例1•如图，点E是□ABCD的一边AD上任意一点，若IEEBC的面积为
SI,□ABCD的面积为S2,求两者的数量关系。
答案：
过E作BC的垂线EF,交BC于点F
t:
SI=-BCXEF
又∙.∙S2二BCXEF
ΛS2=2S1
例2.平行四边形两邻边分别为20和26,若两较长边之间的距离为8,
例1・如图，在□ABCD中，AB=4cm,AD=7cm,ZABC的平分线交AD
于点E,交CD的延长线于点F,求DF的长。
答案：
•・・四边形ABCD为平行四边形
Λ2AO=2CO=AC,OB=OD
VBD±AB
又VRt∆ABO中，AB=12cm,A0=13cm
.β∙B0=5cm
ABD=IOcm
∙.∙在Rt∆ABD中，AB=12cm,BD=IOCm
ΛAD=2√6lcm
AAB=CD=I2cm,AD=BC=2√61cm
例2•己知平行四边形ABCD的周长为52,自顶点D作DE丄AB,DF±
BC,E、F为垂足，若DE二5,DF=8,求BE+BF的长。
答案：
两种情况，如下图2和图2所示：
VDE±AB,DF±BC
・,.AB×DE=BCXDF
VAB：
BC=8:
5
又T2（AB+BC）=52
.∙.AB=16,BC=IO
AAE=5√3,CF=8√3
情况一：
如图1,若ZA为锐角
V8√3>10,F点在CB的延长线上
ABF=8√3-10
ΛBE+BF=（16-5√3）+（8√3-10）=6+3√3
情况二：
如图2,若ZDAB为钝角
则BE+BF=（16+5√3）+（8√3+10）=26+13√3
4•与平行四边形有关的证明
方法：
探索性问题，可以先凭借特殊情况猜出答案，然后在通过严格的论证求解出来。
例1•在四边形ABCD中，AB二DC,AD二BC,点E在边BC上，点F在边
AD±,AF二CE,EF与对角线BD相较于点0。
求证：
点O是BD的中点。
答案：
如下图，连接FB、DE
TAB二DC,AD二BC
・•・四边形ABCD是平行四边形
・・・FD〃BE
VAD=BC,AF=CE
AFD=BE
・・・四边形FBED是平行四边形
ΛOB=OD,即点0是BD的中点
例2∙如图，在Rt∆ABC中，ZBAC=90°,AD±BC于D,BG平分Z
ABC交AD于E,EF∕/BC且交AC于F,求证：
AE=CFO
答案：
如下图，作GH丄BC交BC于点H,连接EH
VBG是ZABH的平分线
•'•AG和ED互相平分,GA=GH
Λ∆ABG^∆HBG
ΛAB=HB
在Z∖ABR和AHBE中，ZABE=ZCBE,BE=BE,AB=HB
Λ∆ABE^∆HBE
ΛAE=EH,ZBEA=ZBEH
VAD/7GH
・•・ZAEG=ZBGH
XVZAEG=ZGEH,ZAGB=ZBGH
・•・ZAGB=ZGEH
・・・EH〃AC
VEFZ/HC
・•・四边形EHCF是平行四边形
・・・FC=EH=AC
例3•有一块形状为平行四边形的铁片ABCD,其中AB二2AD。
现在想用这块铁片截一个直角三角形并且希望以AB为斜边，直角顶点在CD上，问此想法是否可行？
如果可行的话，请说明应该怎么截。
答案：
如下图，可以截出符合要求的三角形。
取CD的中点M,连接AM、BM,则厶AMB满足要求。
・・・四边形ABCD为平行四边形
ΛAB=CD,AD二BC
VAB=2AD,DM=CM=-CD
2
・β.AD=DM,BC=CM
・β.ZDAM=ZDMA,ZBMC=ZMBC
ΛZAMD+ZBMC=180°~ZD+18°°^zc=180o-i（ND+NC）
222
VZD+ZC=180o
ΛZAMD+ZBMC=90°
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