版 第3章 第4节 力的合成与分解.docx

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版第3章第4节力的合成与分解

第四节　力的合成与分解

学习目标

知识脉络

1.了解平行四边形定则，知道分力与合力间的大小关系.

2.会用作图法、计算法求合力，知道力的分解是力的合成的逆运算．（重点）

3.会用作图法和计算法解决力的分解问题，理解力分解的不唯一性．（重点）

4.会运用力的正交分解法求解问题．（难点）

合力的计算

1．平行四边形定则

如果用表示两个共点力的线段为邻边作一个平行四边形，则这两个邻边之间的对角线就表示合力的大小和方向，如图341所示．

图341

2．合力的计算

根据平行四边形定则求两个已知力的合力．可根据作图法求合力，也可将物理问题与数学方法相结合，根据三角形的几何关系求合力．

1．两个分力F1、F2大小一定，当夹角变小时合力变大．（√）

2．合力可能比任何一个分力都小．（√）

3．合力的方向不可能与分力方向相同．（×）

　合力是否一定大于其中的一个分力？

【提示】　合力既可能大于、也可能等于或小于任意一个分力．

探讨1：

作图法求合力时，标度有什么要求？

【提示】　同一个图中，矢量的标度要相同．

探讨2：

当两个分力互相垂直时怎样用计算法求合力？

【提示】　用解直角三角形的方法求力的大小．用量角器量夹角的方向．

1．合力与分力的关系

（1）力的合成遵循平行四边形定则

力的合成遵守平行四边形定则，如图342，F即表示F1与F2的合力．

图342

（2）合力和分力的大小关系

两分力与他们的合力，构成三角形三边的关系．

①两分力大小不变时，合力F随θ的增大而减小，随θ的减小而增大．

②当θ＝0时，F有最大值，Fmax＝F1＋F2；

当θ＝180°时，F有最小值，Fmin＝|F1－F2|；

合力大小的范围为|F1－F2|≤F≤F1＋F2.

③合力F既可能大于、也可能等于或小于任意一个分力．

2．合力的计算方法

（1）作图法

作图法就是用作图工具根据平行四边形定则作出平行四边形，然后用测量工具测量出合力的大小、方向，具体操作流程如下：

注意：

在同一个图上的各个力，必须采用同一标度，并且所选力的标度的大小要适当．

（2）计算法

可以根据平行四边形定则作出力的示意图，然后由几何关系求解对角线，其长度即为合力大小．

图343

①相互垂直的两个力的合成（即α＝90°）；F合＝，F合与F1的夹角的正切值tanβ＝，如图343所示．

②两个等大的力的合成：

平行四边形为菱形，利用其对角线互相垂直平分的特点可解得F合＝2Fcos，如图344甲所示．

图344

若α＝120°，则合力大小等于分力大小（如图乙所示）．

1．两个力F1和F2间的夹角为θ，两个力的合力为F，以下说法正确的是（　　）

A．若F1和F2大小不变，θ角越小，合力F就越小

B．合力F可能比任何一个分力都小

C．合力F总比任何一个分力都大

D．如果夹角θ不变，F1大小不变，只要F2增大，合力F就必然增大．

【解析】　若F1和F2大小不变，θ角越小，合力F越大，故A错误；由力的合成方法可知，两力合力的范围|F1－F2|≤F合≤F1＋F2，所以合力有可能大于任一分力，也可能小于任一分力，还可能与两个分力都相等，故B正确，C错误；如果夹角θ不变，F1大小不变，F2增大，合力可能增大，也可能减小，如图所示；故D错误．

【答案】　B

2.如图345所示为一座大型斜拉桥，假设桥中某对钢索与竖直方向的夹角都是60°，每根钢索中的拉力都是3×104N，那么它们对塔柱形成的合力是多少？

方向怎样？

图345

【解析】　法一：

作图法．自O点引两条有向线段OA和OB，它们跟竖直方向间的夹角都为60°.取单位长度为1×104N，则OA和OB的长度都是3个单位长度．

量得对角线OC长为3个单位长度（如图甲所示），所以合力的大小为F＝3×1×104N＝3×104N

方向沿两钢索拉力夹角的角平分线，如图所示．

法二：

计算法．根据这个平行四边形是一个菱形的特点（如图乙所示），连接AB，交OC于D，

则AB与OC相互垂直平分，

即AB⊥OC，且AD＝DB，OD＝DC.

甲　　　　　　　　　乙

考虑直角三角形AOD，其中∠AOD＝60°，而OD＝OC，所以合力的大小为F＝2F1cos60°＝2×3×104×N＝3×104N

方向沿两钢索拉力夹角的平分线．

【答案】　大小为3×104N　方向沿两钢索拉力夹角的平分线

作图法与计算法

1．作图法直观，但不精确，作图时各力必须选定统一标度，作图要规范．

2．计算法比较准确，是数学知识在物理上的综合应用，应用时，要设法构成直角三角形，然后再利用三角函数或勾股定理等列式求解．

分力的计算

1．分力的计算是合力运算的逆运算，也遵守平行四边形定则．

2．如果没有限制，同一个力可分解为无数对大小和方向都不同的分力．在进行力的分解时，一般先根据力的作用效果来确定分力的方向，再根据平行四边形定则计算分力的大小．

1．一个力分解时若不加限制条件可以分解为无数对分力．（√）

2．在进行力的分解时必须按照力的实际效果来分解．（×）

3．有些矢量的合成与分解遵守平行四边形定则，有些则不遵守．（×）

　将一个已知力进行分解，得到的两个分力一定比该已知力小吗？

【提示】　由平行四边形定则可知，合力也可能小于分力．

探讨1：

将一个力按实际效果进行分解时，是先确定两个分力的方向还是先确定两个分力的大小？

【提示】　先确定两个分力的方向，才能得出唯一的解．

探讨2：

在受力分析中应注意分力与合力是什么样的关系？

【提示】　在力的分解中，合力是实际存在的，两个分力是虚拟的，并不存在，我们在受力分析时，只分析实际受到的力．

1．力的分解的运算法则：

平行四边形定则．

2．如果没有限制，一个力可分解为无数对大小、方向不同的分力．

（1）已知合力和两个分力的方向时（如图346甲），两分力有唯一解（如图乙所示）．

甲　　　　　　乙

图346

（2）已知合力和一个分力的大小和方向时（如图347甲，若已知F和F1），另一分力有唯一解（如图乙）．

甲　　　　　乙

图347

3．力的效果分解法

（1）根据力的实际作用效果确定两个分力的方向．

（2）根据两个分力的方向作出力的平行四边形或三角形．

（3）利用数学知识解三角形，分析、计算分力的大小．

4．两种典型情况的力的分解

（1）拉力F可分解为：

水平向前的力F1和竖直向上的力F2，如图348甲．F1＝Fcosα，F2＝Fsinα.

（2）重力产生两个效果：

一是使物体具有沿斜面下滑趋势的分力F1，二是使物体压紧斜面的分力F2，如图乙．F1＝mgsinα，F2＝mgcosα.

甲　　　　　　　　乙

图348

3．如图349所示，圆弧形货架摆着四个完全相同的光滑小球，O为圆心．则对圆弧面的压力最小的是（　　）

图349

A．a球　　　B．b球　　　C．c球　　　D．d球

【解析】　小球对圆弧面的压力大小等于球的重力沿斜面的分力mgsinθ，显然a球对圆弧面的压力最小．A正确．

【答案】　A

4.压榨机的结构原理图如图3410所示，B为固定铰链，A为活动铰链．在A处作用一水平力F，物块C就以比水平力F大得多的力压物块D.已知L＝0.5m，h＝0.1m，F＝200N，物块C的质量不计，且与左壁接触面光滑，求物块D受到的压力．

图3410

【解析】　根据水平力F产生的效果，它可分解为沿杆的两个分力F1、F2，如图甲所示，则F1＝F2＝.而沿AC杆的分力F1又产生了两个效果：

使物块C压紧左壁的水平力F3和使物块C压紧物块D的竖直力F4，如图乙所示，则F4＝F1sinα＝.

由tanα＝得F4＝×N＝500N.

【答案】　500N

力的效果分解法的“四步走”解题思路：

力的正交分解法

探讨：

当物体受到多个力的作用时，用平行四边形定则求其合力很不方便，甚至困难时，怎样求其合力？

【提示】　先将各力正交分解，然后再合成，“分”是为了更方便的进行“合”．

　正交分解法求合力的步骤

（1）建立坐标系：

以共点力的作用点为坐标原点，直角坐标系x轴和y轴的选择应使尽量多的力在坐标轴上．

（2）正交分解各力：

将每一个不在坐标轴上的力分解到x轴和y轴上，并求出各分力的大小，如图3411所示．

图3411

（3）分别求出x轴、y轴上各分力的矢量和，即：

Fx＝F1x＋F2x＋…

Fy＝F1y＋F2y＋…

（4）求共点力的合力：

合力大小F＝，合力的方向与x轴的夹角为α，则tanα＝.

5．（多选）如图3412所示，重20N的物体放在粗糙水平面上，用F＝8N的力斜向下推物体．F与水平面成30°角，物体与平面间的动摩擦因数μ＝0.5，则物体（　　）

图3412

A．对地面的压力为28N

B．所受的摩擦力为4N

C．所受的合力为5N

D．所受的合力为0

【解析】　将力F分解如图，对地的压力为FN＝F2＋G＝Fsin30°＋G＝24N，又因F1＝Fcos30°<μFN，故受到的静摩擦力为f＝Fcos30°＝4N，故物体合力为零，所以B、D项正确．

【答案】　BD

6．（多选）如图3413所示，重物的质量为m，轻细绳AO与BO的A端、B端是固定的，平衡时AO是水平的，BO与水平面的夹角为θ，AO的拉力F1和BO的拉力F2的大小是（　　）

图3413

A．F1＝mgcosθ　　　　　B．F1＝mgcotθ

C．F2＝mgsinθD．F2＝

【解析】　对结点O受力分析并建坐标系如图所示，

将F2分解到x、y轴上．因O点静止，

故：

x方向：

F1＝F2cosθ，

y方向：

F2sinθ＝F3，F3＝mg

解得：

F1＝mgcotθ，F2＝，B、D正确．

【答案】　BD

坐标轴方向的选取技巧

应用正交分解法时，常按以下方法建立坐标轴：

1．研究水平面上的物体时，通常沿水平方向和竖直方向建立坐标轴．

2．研究斜面上的物体时，通常沿斜面方向和垂直斜面方向建立坐标轴．

3．研究物体在杆或绳的作用下转动时，通常沿杆（或绳）方向和垂直杆（或绳）的方向建立坐标轴．