第四讲一元二次方程与二次函数含答案.docx

第四讲一元二次方程与二次函数含答案.docx

《第四讲一元二次方程与二次函数含答案.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《第四讲一元二次方程与二次函数含答案.docx（16页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

第四讲一元二次方程与二次函数含答案

中考数学重难点专题讲座

第四讲一元二次方程与二次函数

【前言】前三讲，笔者主要是和大家探讨中考中的几何综合问题，在这一类问题当中，尤以第三讲涉及的动态几何问题最为艰难。

几何问题的难点在于想象，构造，往往有时候一条辅助线没有想到，整个一道题就卡壳了。

相比几何综合题来说，代数综合题倒不需要太多巧妙的方法，但是对考生的计算能力以及代数功底有了比较高的要求。

中考数学当中，代数问题往往

是以一元二次方程与二次函数为主体，多种其他知识点辅助的形式出现的。

所以在接下来的专题当中，我们将对代数综合问题进行仔细的探讨和分析。

一元二次方程与二次函数问题当中，纯粹的一元二次方程解法通常会以简单解答题的方式考察。

但是在后面的中难档大题当中，通常会和根的判别式，整数根和抛物线等知识点结合，所以我们继续通过真题来看看此类问题的一般解法。

第一部分真题精讲

【例1】2010，西城，一模

Q

已知：

关于x的方程mx23（m1）x2m30．

⑴求证：

m取任何实数时，方程总有实数根；

⑵若二次函数y1mx23（m1）x2m1的图象关于y轴对称．

①求二次函数y1的解析式；

②已知一次函数y22x2，证明：

在实数范围内，对于x的同一个值，这两个函数所

对应的函数值％>y2均成立；

⑶在⑵条件下，若二次函数y3ax2bxc的图象经过点（5,0），且在实数范围内，

对于x的同一个值，这三个函数所对应的函数值yi>ys>y2，均成立，求二次函数

2

y3ax2bxc的解析式．

【思路分析】本题是一道典型的从方程转函数的问题，这是比较常见的关于一元二次方程与二次函数的考查方式。

由于并未说明该方程是否是一元二次方程，所以需要讨论M=0和M工0两种情况，然后利用根的判别式去判断。

第二问的第一小问考关于Y轴对称的二

次函数的性质，即一次项系数为0，然后求得解析式。

第二问加入了一个一次函数，证明因

变量的大小关系，直接相减即可。

事实上这个一次函数y2恰好是抛物线y的一条切线，只

有一个公共点（1，0）。

根据这个信息，第三问的函数如果要取不等式等号，也必须过该点。

于是通过代点，将y3用只含a的表达式表示出来，再利用yi>y3>y2,构建两个不等式，最终分析出a为何值时不等式取等号，于是可以得出结果•

【解析】

解：

（1）分两种情况：

当m0时，原方程化为3x30，解得x1，（不要遗漏）

•••当m0,原方程有实数根•

当m0时，原方程为关于x的一元二次方程，

222

t△[3m1]4m2m3m26m9m3>0.

•原方程有两个实数根.（如果上面的方程不是完全平方式该怎样办？

再来一次根的判

定，让判别式小于0就可以了，不过中考如果不是压轴题基本判别式都会是完全平方式，大

家注意就是了）

综上所述，m取任何实数时，方程总有实数根.

（2）①•••关于x的二次函数y1mx23（m1）x2m3的图象关于y轴对称，

•3（m1）0.（关于Y轴对称的二次函数一次项系数一定为0）

•m1.

抛物线的解析式为

2y1x

1.

②ty-iy2x21

2x2

2

x1>0,（判断大小直接做差）

-y1>y2（当且仅当

x1时，

等号成立）.

（3）由②知，当x

1时，y1

y20.

-yi、y的图象都经过1,0

（很重要，要对那个等号有敏锐的感觉）

t对于x的同一个值，yi>y3>y2,

二*ax2bxc的图象必经过1,0.

又ty3ax2bxc经过5,0,

2

•••y3ax1x5ax4ax5a.（巧妙的将表达式化成两点式，避免繁琐计算）设yyyax24ax5a（2x2）ax2（4a2）x（25a）.

t对于x的同一个值，这三个函数所对应的函数值yi>y3>y2均成立，

…y3y2》0,

・2…yax（4a2）x（25a）>0.

又根据yi、y2的图象可得a0,

2

...丫最小4a（25a）（4a2）》0.（a>0时，顶点纵坐标就是函数的最小值）

4a

•（4a2）24a（25a）<0.

•（3a1）2w0.

而（3a1）2>0.

1

只有3a10,解得a-.

3

1o45

••抛物线的解析式为y3丄x2兰x.

333

【例2】2010,门头沟，一模

关于x的一元二次方程（m1）x22（m2）x10.

（1）当m为何值时，方程有两个不相等的实数根；

（2）点A，1是抛物线y（m21）x22（m2）x1上的点，求抛物线的解析式；

（3）在

（2）的条件下，若点B与点A关于抛物线的对称轴对称，是否存在与抛物线只交于点B的直线，若存在，请求出直线的解析式；若不存在，请说明理由

【思路分析】第一问判别式依然要注意二次项系数不为零这一条件。

第二问给点求解析

式，比较简单。

值得关注的是第三问，要注意如果有一次函数和二次函数只有一个交点，贝U需要设直线y=kx+b以后联立，新得到的一元二次方程的根的判别式是否为零，但是这样还不够，因为y=kx+b的形式并未包括斜率不存在即垂直于x轴的直线，恰恰这种直线也是和抛

物线仅有一个交点，所以需要分情况讨论，不要遗漏任何一种可能•

（1）由题意得

22

2（m2）4（m21）0

【解析】：

解得m

解得m1

t5

当m且m1时，方程有两个不相等的实数根

4

（2）由题意得m12（m2）11

解得m3,m1（舍）（始终牢记二次项系数不为0）

2

y8x10x1

（3）抛物线的对称轴是

5x

8

1

由题意得B-，

4

1（关于对称轴对称的点的性质要掌握）

kx1k1

4

y8x10x1

ykx!

k1

4

整理得8x2（10k）x

1

-k20

4

有且只有一个交点，

（10k）2

1

48（-k2）0

4

解得k6

1

y6x-

2

综上，与抛物线有且只有

个交点

11

B的直线的解析式有x-,y6x-

4，2

【例3】

已知P（3,m）和Q（1,m）是抛物线y2x2bx1上的两点.

（1）求b的值；

（2）判断关于x的一元二次方程2x2bx1=0是否有实数根，若有，求出它的实数

根；若没有，请说明理由；

（3）将抛物线y2x2bx1的图象向上平移k（k是正整数）个单位，使平移后的图象与x轴无交点，求k的最小值.

【思路分析】拿到题目，很多同学不假思索就直接开始代点，然后建立二元方程组，

十分麻烦，计算量大，浪费时间并且可能出错。

但是仔细看题，发现P,Q纵坐标是一样

的，说明他们关于抛物线的对称轴对称。

而抛物线只有一个未知系数，所以轻松写出对称轴

求出bo第二问依然是判别式问题，比较简单。

第三问考平移，也是这类问题的一个热点，在其他区县的模拟题中也有类似的考察。

考生一定要把握平移后解析式发生的变化，即左加

右减（单独的x）,上加下减（表达式整体）然后求出结果。

【解析】

（1）因为点P、Q在抛物线上且纵坐标相同，所以P、Q关于抛物线对称轴对称并且到对称轴距离相等.

所以,

抛物线对称轴x

b

4

31

3'，所以，

2

b4.

（2）

由

（1）可知，关于

x的

兀二次方程为

2

2x4x1=0

因为,

b24ac=16-

8=8

0.

所以，方程有两个不同的实数根，分别是

XI」1玄,X2上1辽.

2a22a2

（3）由

（1）可知，抛物线y2x24x1的图象向上平移k（k是正整数）个单位

2

后的解析式为y2x24x1k.

若使抛物线y2x24x1k的图象与x轴无交点，只需2x24x1k0无实数解即可.

由§b24ac=168（1k）=88k<0，得k1

又k是正整数，所以k得最小值为2.

【例4】2010,昌平，一模

已知抛物线yax24ax4a2，其中a是常数.

（1）求抛物线的顶点坐标；

2

（2）若a-,且抛物线与x轴交于整数点（坐标为整数的点），求此抛物线的解析式.

5

【思路分析】本题第一问较为简单，用直接求顶点的公式也可以算，但是如果巧妙的将

a提出来,里面就是一个关于X的完全平方式，从而得到抛物线的顶点式，节省了时间•第二问则需要把握抛物线与X轴交于整数点的判别式性质•这和一元二次方程有整数根是一样的•尤其

2

注意利用题中所给a-,合理变换以后代入判别式，求得整点的可能取值•

5

（1）依题意，得a0,

2

/•yax4ax4a2

ax24x42

2

ax22.

•••抛物线的顶点坐标为（2,2）

（2）T抛物线与X轴交于整数点,

二ax24ax4a20的根是整数.

4a16a4a（4a2）

…x

是整数.

a

2a

2

•-5.（很多考生想不到这种变化而导致后面无从下手）

a

2

•——取1，4，

a

221

当1时，a2；当4时，a—.

aa2

1

•a的值为2或—.

2

【例5】2010,平谷，一模

（1）若方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围;

（2）

m2x1总过x

在

（1）的条件下，求证：

无论m取何值，抛物线ym1x2

轴上的一个固定点;

m2x10有两个不相等的

-

（3）若m是整数，且关于x的一元二次方程m1x

整数根，把抛物线ym1x2m2x1向右平移3个单位长度，求平移后的解析式.

【思路分析】本题第一问比较简单，直接判别式》0就可以了，依然不能遗漏的是m—

1工0。

第二问则是比较常见的题型•一般来说求固定点既是求一个和未知系数无关的X,Y的

取值•对于本题来说，直接将抛物线中的m提出，对其进行因式分解得到y=（mx—x—1）（x+1）就可以看出当x=—1时,Y=0,而这一点恰是抛物线横过的X轴上固定点•如果想不到因式分解，由于本题固定点的特殊性（在X轴上），也可以直接用求根公式求出两个根，标准答案既是如此，但是有些麻烦，不如直接因式分解来得快•至于第三问，又是整数根问题+平移问题，因为第二问中已求出另一根，所以直接令其为整数即可，比较简单•

解：

（1）m224m1m2

•••方程有两个不相等的实数根，

/•m0

Tm10，

二m的取值范围是m0且m1.

（2）证明：

令y0得m1x2m2x10.

m2.m2m2m

…x.

2m12m1

m2m*m2m1„

•-x12m〔1x22m〔mi（这样做是因为已经知道判别式是m2,计

算量比较小，如果根号内不是完全平方就需要注意了）

一1

•••抛物线与x轴的交点坐标为1,0,,0，

m1

•无论m取何值，抛物线ym1x2m2x1总过定点1,0

1

（3）•/x1是整数•只需是整数.

m1

•/m是整数，且m0,m1，

•m2

当m2时，抛物线为yx21.

把它的图象向右平移3个单位长度，得到的抛物线解析式为

22

yx31x6x8

【总结】中考中一元二次方程与二次函数几乎也是必考内容，但是考点无非也就是因

式分解，判别式，对称轴，两根范围，平移以及直线与抛物线的交点问题。

总体来说这类题

目不难，但是需要计算认真，尤其是求根公式的应用一定要注意计算的准确性。

这种题目大

多包涵多个小问。

第一问往往是考验判别式大于0,不要忘记二次项系数为0或者不为0的情况。

第2,3问基于函数或者方程对其他知识点进行考察，考生需要熟记对称轴，顶点坐标等多个公式的直接应用。

至于根与系数的关系（韦达定理）近年来中考已经尽量避免提及，虽不提倡但是应用了也不会扣分，考生还是尽量掌握为好，在实际应用中能节省大量的时间。

第二部分发散思考

【思考1].2010，北京中考

已知关于x的一元二次方程2x24xk10有实数根，k为正整数•

（1）求k的值；

（2）当此方程有两个非零的整数根时，将关于x的二次函数y2x24xk1的图象向下平移8个单位，求平移后的图象的解析式；

（3）在

（2）的条件下，将平移后的二次函数的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折，图

象的其余部分保持不变，得到一个新的图象•请你结合这个新的图象回答：

当直线

1

yxbbk与此图象有两个公共点时，b的取值范围•

2

【思路分析]去年中考原题，相信有些同学已经做过了•第一问自不必说，判别式大于0

加上k为正整数的条件求k很简单•第二问要分情况讨论当k取何值时方程有整数根，一个个代进去看就是了，平移倒是不难，向下平移就是整个表达式减去8•但是注意第三问，函数关于

对称轴的翻折，旋转问题也是比较容易在中考中出现的问题，一定要熟练掌握关于对称轴翻折

之后函数哪些地方发生了变化，哪些地方没有变•然后利用画图解决问题•

【思考2]2009，东城，一模

已知：

关于x的一元二次方程x22（2m3）x4m214m80

（1）若m0,求证：

方程有两个不相等的实数根；

（2）若12vmv40的整数，且方程有两个整数根，求m的值.

【思路分析]本题也是整根问题，但是不像上题，就三个值一个个试就可以试出来结果。

本题给定一个比较大的区间，所以就需要直接用求根公式来计算•利用已知区间去求根的判别

式的区间，也对解不等式做出了考察

【思考3】2009,海淀，一模

已知：

关于x的一元一次方程kx=x+2①的根为正实数，二次函数y=ax2—bx+kc

（cm0）的图象与x轴一个交点的横坐标为1.

（1）若方程①的根为正整数，求整数k的值；

（2）求代数式凹b?

ab的值；

akc

（3）求证:

关于x的一元二次方程ax2—bx+c=0②必有两个不相等的实数根•

【思路分析】本题有一定难度，属于拉分题目。

第一问还好，分类讨论K的取值即可。

第二问则需要将k用a,b表示出来，然后代入代数式进行转化•第三问则比较繁琐，需要利用题中一次方程的根为正实数这一条件所带来的不等式，去证明二次方程根的判别式大于0•但是

实际的考试过程中，考生在化简判别式的过程中想不到利用已知条件去套未知条件，从而无从

下手导致失分•

【思考4】2009，顺义，一模

.已知：

关于x的一元二次方程x2（2m1）xm2m20.

（1）求证：

不论m取何值，方程总有两个不相等的实数根；

（2）若方程的两个实数根x1,x2满足x1x21m一2，求m的值.

m1

【思路分析】这一题第二问有些同学想到直接平方来去绝对值，然后用韦达定理进行求

解，但是这样的话计算量就会非常大，所以此题绕过韦达定理，直接用根的判别式写出为，X2,

发现X1,X2都是关于m的一次表达式，做差之后会得到一个定值•于是问题轻松求解

第三部分思考题解析

解：

（

1）由题意得，

16

8（k

1）>0•

•k<3•

•••k为正整数，

•k

12,3•

（2）

当k1时，方程

2x2

4x

k10有一个根为零；

当k

2时，方程2x2

4x

k1

0无整数根；

当k

3时，方程2x2

4x

k1

0有两个非零的整数根.

综上所述，k1和k

2不合题意，舍去；k3符合题意.

当k

3时，二次函数为

y

2x2

4x2,把它的图象向下平移

【思考1解析】

8个单位得到的图象的

y+

7

8

解析式为y2x24x6•

（3）设二次函数y2x24x6的图象与X轴交于

AB两点，则A（3,0），B（1,0）•

依题意翻折后的图象如图所示.

13

当直线yxb经过A点时，可得b-；

22

11

当直线yxb经过B点时，可得b

22

13由图象可知，符合题意的b（b3）的取值范围为丄b-•

22

【思考2解析】

证明：

卜2（2m3）2-4（4m214m8）=8m4

11}m0,8m40.

•••方程有两个不相等的实数根。

2（2m3）8m4

（2）x==（2m3）2m1

2

•••方程有两个整数根，必须使、、2m^%整数且m为整数.

又•/12

252m181.

5<、2m1<9.

令、2m1

令、2m1

令.2m_1

m=24

6,

35

m

T

7,

m

24.

8,

63

m

2

【思考

3解析】

解：

由

kx=x+2,

得（k-1）x=2.

依题意

k—1工0.

•/方程的根为正整数，k为整数,•••k—1=1或k—仁2.

.k1=2,k2=3.

（2）解：

依题意，二次函数y=ax2—bx+kc的图象经过点（1,0）,

•0=a—b+kc,kc=b—a.

222

b2ababab

aba2

2222

.（kc）bab（ba）babakca（ba）

$1.

（3）证明：

方程②的判别式为△=（—b）2—4ac=b2—4ac.

由az0,cm0,得acM0.

若ac<0,则—4ac>0.故厶=b2—4ac>0.此时方程②有两个不相等的实数

（ii）

证法一：

若ac>0,由⑵知a—b+kc=0,故b=a+kc.

△=b2—4ac=（a+kc）2—4ac=a2+2kac+（kc）2—4ac=a2—2kac+（kc）2+4kac—4ac

=（a—kc）2+4ac（k—1）.

•••方程kx=x+2的根为正实数,

•••方程（k—1）x=2的根为正实数•

由x>0,2>0,得k—1>0.

•.4ac（k—1）>0.

•/（a—kc）20,

•△=（a—kc）2+4ac（k—1）>0.此时方程②有两个不相等的实数根

证法二：

若ac>0,

T抛物线y=ax2—bx+kc与x轴有交点，

•△1=（—b）2—4akc=b2—4akc0.

（b2—4ac）—（b2—4akc）=4ac（k—1）.

由证法一知k—1>0,

•.b2—4ac>b2—4akc0.

•••△=b2—4ac>0.此时方程②有两个不相等的实数根•

综上，方程②有两个不相等的实数根•

【思考4解析】

22

（1）（2m1）4（m2m2）

22

4m4m14m4m8

90

不论m取何值，方程总有两个不相等实数根

（2）由原方程可得

（2m1）.9

2

（2m1）3

2

x|m2,x2m1

m

2

X1

X2

1

m

1

3

1

m

2

m

1

又•••

经检验：

m4符合题意．

•••m的值为4.