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数论

数论问题

目录

第一讲数的整除

第二讲质数与合数（分解质因数）

第三讲约数与倍数（最大公约数、最小公倍数）

第四讲余数定理（同于定理，余数的性质，中国剩余定理）

第五讲数的奇偶性，完全平方数、立方数

第六讲进位制问题

第一讲数的整除

教学目的：

1、了解数的整除特征

2、掌握整除的三个性质

3、会运用数的整除解决简单行程问题

基本知识点

1.整除

　　例如：

15÷3=5，63÷7=9

　　一般地，如a、b、c为整数，b≠0，且a÷b=c，即整数a除以整除b（b不等于0），除得的商c正好是整数而没有余数（或者说余数是0），我们就说，a能被b整除（或者说b能整除a）。

记作b｜a.否则，称为a不能被b整除，（或b不能整除a），记作ba。

　　如果整数a能被整数b整除，a就叫做b的倍数，b就叫做a的约数。

　　例如：

在上面算式中，15是3的倍数，3是15的约数；63是7的倍数，7是63的约数。

　　2.数的整除性质

　　性质1：

如果a、b都能被c整除，那么它们的和与差也能被c整除。

　　即：

如果c｜a，c｜b，那么c｜（a±b）。

　　例如：

如果2｜10，2｜6，那么2｜（10＋6），

　　并且2｜（10—6）。

　　性质2：

如果b与c的积能整除a，那么b与c都能整除a.即：

如果bc｜a，那么b｜a，c｜a。

　　性质3：

如果b、c都能整除a，且b和c互质，那么b与c的积能整除a。

　　即：

如果b｜a，c｜a，且（b，c）=1，那么bc｜a。

　　例如：

如果2｜28，7｜28，且（2，7）=1,

　　那么（2×7）｜28。

　　性质4：

如果c能整除b，b能整除a，那么c能整除a。

　　即：

如果c｜b，b｜a，那么c｜a。

　　例如：

如果3｜9，9｜27，那么3｜27。

　　3.数的整除特征

　　①能被2整除的数的特征：

个位数字是0、2、4、6、8的整数.“特征”包含两方面的意义：

一方面，个位数字是偶数（包括0）的整数，必能被2整除；另一方面，能被2整除的数，其个位数字只能是偶数（包括0）.下面“特征”含义相似。

　　②能被5整除的数的特征：

个位是0或5。

　　③能被3（或9）整除的数的特征：

各个数位数字之和能被3（或9）整除。

　　④能被4（或25）整除的数的特征：

末两位数能被4（或25）整除。

　　例如：

1864=1800＋64，因为100是4与25的倍数，所以1800是4与25的倍数.又因为4｜64，所以1864能被4整除.但因为2564，所以1864不能被25整除.

　　⑤能被8（或125）整除的数的特征：

末三位数能被8（或125）整除。

　　例如：

29375＝29000＋375，因为1000是8与125的倍数，所以29000是8与125的倍数.又因为125｜375，所以29375能被125整除.但因为8375，所以829375。

　　⑥能被11整除的数的特征：

这个整数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差（大减小）是11的倍数。

　　例如：

判断123456789这九位数能否被11整除？

　　解：

这个数奇数位上的数字之和是9＋7＋5＋3＋1=25，偶数位上的数字之和是8＋6＋4＋2＝20.因为25—20＝5，又因为115，所以11123456789。

　　再例如：

判断13574是否是11的倍数？

　　解：

这个数的奇数位上数字之和与偶数位上数字和的差是：

（4＋5＋1）-（7＋3）＝0.因为0是任何整数的倍数，所以11｜0.因此13574是11的倍数。

　　⑦能被7（11或13）整除的数的特征：

一个整数的末三位数与末三位以前的数字所组成的数之差（以大减小）能被7（11或13）整除。

　　例如：

判断1059282是否是7的倍数？

　　解：

把1059282分为1059和282两个数.因为1059-282＝777，又7｜777，所以7｜1059282.因此1059282是7的倍数。

　　再例如：

判断3546725能否被13整除？

　　解：

把3546725分为3546和725两个数.因为3546-725=2821.再把2821分为2和821两个数，因为821—2＝819，又13｜819，所以13｜2821，进而13｜3546725.

经典例题：

1.九位数8765□4321能被21整除，求中间□中的数。

　　2.在下列各数中，哪些能被27整除？

哪些能被37整除？

　　1861026，1884924，2175683，2560437，

　　11159126，131313555，266117778。

　　3.在下列各数中，哪些能被19整除？

哪些能被79整除？

　　55119，55537，62899，71258，

　　186637，872231，5381717。

第二讲质数与合数（分解质因数）

教学目的：

1、了解什么是质数与合数

2、100以内的质数表

3、会对一个合数经行分解质因数

基本知识点

1.质数与合数

　　一个数除了1和它本身，不再有别的约数，这个数叫做质数（也叫做素数）。

　　一个数除了1和它本身，还有别的约数，这个数叫做合数。

要特别记住：

1不是质数，也不是合数。

100以内的质数有：

有2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，31，37，41，43，47，53，59，61，67，71，73，79，83，89，97一共25个。

质数的特征：

①除了2以外，其他的质数都为奇数。

②质数的个位分别为：

1、3、7、9。

质素的判定

特征

　2.质因数与分解质因数

　　如果一个质数是某个数的约数，那么就说这个质数是这个数的质因数。

把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。

具体方法：

把一个合数分解质因数，先用一个能整除这个合数的质数（通常从最小开始）去除，出得商如果是质数，就把除数和商写成相乘的形式；得出的商是合数，按照上面的方法继续除下去，直到得出的商是质数为止．然后把各个除数和最后的商写成连乘的形式．

　　例：

把30分解质因数。

　　解：

30＝2×3×5。

　　其中2、3、5叫做30的质因数。

又如12＝2×2×3＝22×3，2、3都叫做12的质因数。

典型例题

10以内的质数组成三位数,使它同时是3和5的倍数,这个数最小是多少?

最大多少？

　　解：

10以内的质数分别为2,3,5.7

　　组合的最大的数为753,正好是3的倍数，但是却不是5的倍数，所以说这个数不符合，其次组合大的数是735，这个数正好同时是3和5的倍数，多以说这个数最大是735

　　组合的最小的数是235。

235正好同时是3和5的倍数，所以说这个数最小是235。

约数与倍数（最大公约数、最小公倍数）

教学目的：

1、约数与倍数的定义

2、学会求约数个数的方法，与约数综合的方法

3、最大公约数与最小公倍数

基本知识点

1、约数与倍数

当数a能被b整除时，a就叫做b的倍数；b就叫做a的约数。

2、最大公约数、最小公倍数

①最大公约数：

几个数公有的约数叫做这几个数的公约数，其中最大的一个叫做这几个数的最大公约数。

例如：

12的约数有：

1，2，3，4，6，12；

　　18的约数有：

1，2，3，6，9，18。

　　12和18的公约数有：

1，2，3，6.其中6是12和18的最大公约数，记作（12，18）=6。

②最小公倍数：

几个数公有的倍数叫做这几个数的公倍数，其中最小的一个叫做这几个数的最小公倍数。

　例如：

12的倍数有：

12，24，36，48，60，72，84，…

　　18的倍数有：

18，36，54，72，90，…

　　12和18的公倍数有：

36，72，….其中36是12和18的最小公倍数，记作[12，18]=36。

③互质数

　　如果两个数的最大公约数是1，那么这两个数叫做互质数。

④最大公约数与最小公倍数的求法：

【1】分解质因数法

【2】短除法

【3】辗转相除法

3、约数个数和约数总和的求法

【1】约数的个数求法：

N=

a1

×a2

×a3

×……×an

（标准型）

（a1、a2、a3、……an表示为质因数）

（p1、p2、p3、……pn表示对应质因数的个数）

求一个数的约数的个数=（P1+1）（P2+1）……（Pn+1）

例题解析

第四讲余数定理（同于定理，余数的性质，中国剩余定理）

教学目的：

1、余数的性质

2、同余定理的应用

3、中国剩余定理

基本知识点

1、带余除法性质：

一般地，如果a是整数，b是整数（b≠0）,那么一定有另外两个整数q和r，0≤r＜b,使得a=b×q+r

当r=0时，我们称a能被b整除。

当r≠0时，我们称a不能被b整除，r为a除以b的余数，q为a除以b的不完全商（亦简称为商）。

用带余数除式又可以表示为a÷b=q……r,0≤r＜b

2、余数定理：

a：

两数的和除以m的余数等于这两个数分别除以m的余数和。

b:

两数的差除以m的余数等于这两个数分别除以m的余数差。

c:

两数的积除以m的余数等于这两个数分别除以m的余数积。

3、同余定义：

若两个整数a，b被自然数m除有相同的余数，那么称a，b的差一定能被c整除。

这条性质非常有用，考试经常出的，一定要熟练掌握。

4、中国剩余定理：

一个数除以多个数，得不同余数

一般解题步骤:

①凑“多”相同，即把余数处理成相同条件：

余数与除数的和相同

②凑“缺”相同，即把余数处理成缺的数字相同条件：

除数与余数的差相同

③先考虑上面两种，如果都不行，则用“中国剩余定理”。

今有物不知其数，三三数之余二，五五数之余三，七七数之余二，问物几何？

解法中的三个关键数70，21，15，有何妙用，有何性质呢?

首先70是3除余1而5与7都除得尽的数，所以70a是3除余a,而5与7都除得尽的数，21是5除余1，而3与7都除得尽的数，所以21b是5除余b，而3与7除得尽的数。

同理，15c是7除余c，3与5除得尽的数，总加起来70a+21b+15c是3除余a，5除余b，7除余c的数，也就是可能答案之一，但可能不是最小的，这数加减105（105=3*5*7）仍有这样性质，可以多次减去105而得到最小的正数解。

例题解析

第五讲数的奇偶性，完全平方数、立方数

1、数的奇偶性

1.奇数和偶数

　　整数可以分成奇数和偶数两大类.能被2整除的数叫做偶数，不能被2整除的数叫做奇数。

　　偶数通常可以用2k（k为整数）表示，奇数则可以用2k+1（k为整数）表示。

　　特别注意，因为0能被2整除，所以0是偶数。

　　2.奇数与偶数的运算性质

　　性质1：

偶数±偶数=偶数，

　　奇数±奇数=偶数。

　　性质2：

偶数±奇数=奇数。

　　性质3：

偶数个奇数相加得偶数。

　　性质4：

奇数个奇数相加得奇数。

　　性质5：

偶数×奇数=偶数，

　　奇数×奇数=奇数。

2、完全平方数、立方数

一个数如果是另一个整数的完全平方，那麼我们就称这个数为完全平方数，也叫做平方数。

表示为：

N=a×a=a2

完全平方数特征

①末位数字只能是：

0、1、4、5、6、9；反之不成立。

②除以3余0或余1；反之不成立。

③除以4余0或余1；反之不成立。

④约数个数为奇数；反之成立。

⑤奇数的平方的十位数字为偶数；反之不成立。

⑥奇数平方个位数字是奇数；偶数平方个位数字是偶数。

⑦两个相临整数的平方之间不可能再有平方数。

⑧平方数的质因数中，每一类质因数的个数都为偶数个。

3、立方数

N=a×a×a=a3

第六讲进位制问题

1、进制的定义：

进制也就是进位制，是人们规定的一种进位方法。

对于任何一种进制---X进制，就表示某一位置上的数运算时是逢X进一位。

十进制是逢十进一，十六进制是逢十六进一，二进制就是逢二进一。

2、进制间的相互转换

【1】整数转换.一个十进制整数转换为二进制整数通常采用除二取余法,即用2连续除十进制数,直到商为0,逆序排列余数即可得到――简称除二取余法．　　例：

将25转换为二进制数　　解:

25÷2=12余数1　　12÷2=6余数0　　6÷2=3余数0　　3÷2=1余数1　　1÷2=0余数1　　所以25=（11001）2　　同理,把十进制数转换为十六进制数时,将基数2转换成16就可以了.　　

例:

将25转换为十六进制数　　

解:

25÷16=1余数9　　1÷16=0余数1　　所以25=（19）16

【2】二进制数、十六进制数转换为十进制数（按权求和）　　二进制数、十六进制数转换为十进制数的规律是相同的。

把二进制数（或十六进制数）按位权形式展开多项式和的形式，求其最后的和，就是其对应的十进制数——简称“按权求和”.　　

例如:

把（1001.01）2转换为十进制数。

解：

（1001.01）2　　=8*1+4*0+2*0+1*1+0*（1/2）+1*（1/4）=8+0+0+1+0+0.25=9.25

把（38A.11）16转换为十进制数　　解:

（38A.11）16　　=3×16的2次方+8×16的1次方+10×16的0次方+1×16的-1次方+1×16的-2次方　　=768+128+10+0.0625+0.0039　　=906.0664　　2.十进制数转换为二进制数,十六进制数（除2/16取余法）。