统计与概率的题型特点与命题规律.docx

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统计与概率的题型特点与命题规律

统计与概率的题型特点与命题规律

统计与概率是高考必考重点内容之一，理科高考考查的主要内容有：

抽样方法、统计图表，统计数据的数字特征，变量间的相关关系、随机事件的概率（古典概型、几何概型），离散型随机变量及其分布列，回归分析及独立性检验。

一．考点及要求

考试内容]

要求层次网]

A

B

C

统计

随机抽样

简单随机抽样

√

分层抽样和系统抽样

√

用样本估计总体

频率分布表、直方图、折线图、茎叶图

√

样本数据的基本数字特征（如平均数、标准差）

√

用样本的频率分布表估计总体分步，用样本的基

本数字特征估计总体的基本数字特征

√

变量的相关性

线性回归方程

√

统计案例

独立性检验

独立性检验（只要求2×2列联表）的基本思想、方法及其简单应用。

√

回归分析

回归分析的基本思想、方法及其简单应用。

√

概率

事件与概率

随机事件的概率

√

随机事件的运算

√

两个互斥事件的概率加法公式

√

古典概型

古典概型

√

几何概型

几何概型

√

概率

取有限值的离散型随机变量及其分布列

√

超几何分布

√

条件概率

√

事件的独立性

√

n次独立重复试验与二项分布

√

取有限值的离散型随机变量的均值、方差

√

正态分

布

√

说明:

A.了解B.理解C.掌握

高频考点展示：

1.统计图表及样本数字特征

2.随机事件的概率

3.相关关系与线性回归方程

4.离散型随机变量的分布列与期望和方差

5.函数与概率问题

6.统计图表与随机变量的分布列

二、常考题型分析

纵观2012到2016年全国高考试卷，不难发现新课标对统计与概率模块的考查强调知识的应用性，考题为“一小一大”，即一道小题，一道大题，占17分，小题通常考查统计图的读取或概率计算，大题在解答题对统计和概率综合考查，难度不大。

试题背景与日常生活贴近，联

系也最为紧密，体现统计思想与概率思想，考查学生处理数据的能力，对概率事件的识别及概率的计算能力，以及考查学生的阅读与理解能力、分析问题与解决问题的能力．试题朝着“重基础、重能力、重应用”的方向发展．

热点一　常见概率模型的概率

几何概型、古典概型、相互独立事件与互斥事件的概率、条件概率是高考的热点，几何概型主要以客观题考查，求解的关键在于找准测度（面积，体积或长度）；相互独立事件，互斥事件常作为解答题的一问考查，也是进一步求分布列，期望与方差的基础，求解该类问题要正确理解题意，准确判定概率模型，恰当选择概率公式.

【例1】现有4个人去参加某娱乐活动，该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择.为增加趣味性，约定：

每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏，掷出点数为1或2的人去参加甲游戏，掷出点数大于2的人去参加乙游戏.

（1）求这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率；

（2）求这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率；

（3）用X，Y分别表示这4个人中去参加甲、乙游戏的人数，记ξ＝|X－Y|，求随机变量ξ的分布列.

解　依题意，这4个人中，每个人去参加甲游戏的概率为

，去参加乙游戏的概率为

.

设“这4个人中恰有i人去参加甲游戏”为事件Ai（i＝0，1，2，3，4）.

则

.

（1）这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率

（2）设“这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数”为事件B，则B＝A3＋A4，且A3与A4互斥，

∴P（B）＝P（A3＋A4）＝P（A3）＋P（A4）＝

.

（3）依题设，ξ的所有可能取值为0，2，4.

且A1与A3互斥，A0与A4互斥.

则P（ξ＝0）＝P（A2）＝

，

P（ξ＝2）＝P（A1＋A3）＝P（A1）＋P（A3）＝

，

P（ξ＝4）＝P（A0＋A4）＝P（A0）＋P（A4）＝

.

所以ξ的分布列是

ξ

0

2

4

P

探究提高　

（1）本题4个人中参加甲游戏的人数服从二项分布，由独立重复试验，4人中恰有i人参加甲游戏的概率

，这是本题求解的关键.

（2）解题中常见的错误是不能分清事件间的关系，选错概率模型，特别是在第（3）问中，不能把ξ＝0，2，4的事件转化为相应的互斥事件Ai的概率和.

热点二　离散型随机变量的分布列、均值与方差（规范解答）

离散型随机变量及其分布列、均值与方差及应用是数学高考的一大热点，每年均有解答题的考查，属于中档题.复习中应强化应用题目的理解与掌握，弄清随机变量的所有取值是正确列随机变量分布列和求均值与方差的关键，对概率模型的确定与转化是解题的基础，准确计算是解题的核心，在备考中强化解答题的规范性训练.

【例2】（满分12分）甲乙两人进行围棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛，若赛完5局仍未出现连胜，则判定获胜局数多者赢得比赛.假设每局甲获胜的概率为

，乙获胜的概率为

，各局比赛结果相互独立.

（1）求甲在4局以内（含4局）赢得比赛的概率；

（2）记X为比赛决出胜负时的总局数，求X的分布列和均值（数学期望）.

满分解答　解　用A表示“甲在4局以内（含4局）赢得比赛”，Ak表示“第k局甲获胜”，Bk表示“第k局乙获胜”，则P（Ak）＝

，P（Bk）＝

，k＝1，2，3，4，5............................2分

（1）P（A）＝P（A1A2）＋P（B1A2A3）＋P（A1B2A3A4）

＝P（A1）P（A2）＋P（B1）P（A2）P（A3）＋P（A1）P（B2）·P（A3）P（A4）

............................5分

（2）X的可能取值为2，3，4，5...........................6分

P（X＝2）＝P（A1A2）＋P（B1B2）＝P（A1）P（A2）＋P（B1）·P（B2）＝

，..7分

P（X＝3）＝P（B1A2A3）＋P（A1B2B3）

＝P（B1）P（A2）P（A3）＋P（A1）P（B2）P（B3）＝

，..................8分

P（X＝4）＝P（A1B2A3A4）＋P（B1A2B3B4）

＝P（A1）P（B2）P（A3）P（A4）＋P（B1）P（A2）P（B3）P（B4）＝

，........9分

P（X＝5）＝1－P（X＝2）－P（X＝3）－P（X＝4）＝

............10分

故X的分布列为

X

2

3

4

5

P

.....................................................11分

E（X）＝2×

＋3×

＋4×

＋5×

＝

..................12分

❶得步骤分：

这是得分点的步骤，有则给分，无则没分，步步为“赢”，求得满分.

如第

（1）问，引进字母表示事件，用文字叙述正确，得2分；把事件拆分成A＝A1A2＋B1A2A3＋A1B2A3A4，就得2分，计算概率值正确，得1分.第

（2）问求出X的四个值的概率，每对一个得1分；列出随机变量X的分布列得1分.

❷得关键分：

解题过程的关键点，有则给分，无则没分.

如第

（1）问，写出事件“甲在4局以内（含4局）赢得比赛”分解为“甲在第1，2局连胜”“甲在第1局输，第2，3局连胜”“甲在第1局胜，第2局输，第3，4局连胜”，正确得2分.第

（2）问，求四个概率时，结果错误，即使计算过程有步骤也不得分.

❸得计算分：

解题过程中计算准确，是得满分的根本保证.

如第

（1）问、第

（2）问中概率值的计算要正确，否则不得分，分布列中计算四个概率的和是否为1，若和不为1，就有概率值出现错误了，不得分.

　求离散型随机变量的均值和方差问题的一般步骤

第一步：

确定随机变量的所有可能值；

第二步：

求每一个可能值所对应的概率；

第三步：

列出离散型随机变量的分布列；

第四步：

求均值和方差；

第五步：

反思回顾.查看关键点、易错点和答题规范.

热点三　概率与统计的综合应用

概率与统计作为考查考生应用意识的重要载体，已成为近几年高考的一大亮点和热点.主要依托点是统计图表，正确认识和使用这些图表是解决问题的关键.复习时要在这些图表上下工夫，把这些统计图表的含义弄清楚，在此基础上掌握好样本特征数的计数方法、各类概率的计算方法及数学均值与方差的运算.

【例3】（2017·济南模拟）2018年6月14日至7月15日，第21届世界杯足球赛将于俄罗斯举行，某大学为世界杯组委会招收志愿者，被招收的志愿者需参加笔试和面试，把参加笔试的40名大学生的成绩分组：

第1组[75，80），第2组[80，85），第3组[85，90），第4组[90，95），第5组[95，100]，得到的频率分布直方图如图所示：

（1）分别求出成绩在第3，4，5组的人数；

（2）现决定在笔试成绩较高的第3，4，5组中用分层抽样抽取6人进行面试.

①已知甲和乙的成绩均在第3组，求甲或乙进入面试的概率；

②若从这6名学生中随机抽取2名学生接受考官D的面试，设第4组中有X名学生被考官D面试，求X的分布列和数学期望.

（解答略）

探究提高　本题将传统的频率分布直方图与分布列、数学期望相结合，立意新颖、构思巧妙.求解离散型随机变量的期望与频率分布直方图交汇题的“两步曲”：

一是看图说话，即看懂频率分布直方图中每一个小矩形面积表示这一组的频率；二是活用公式，本题中X服从超几何分布.

热点四　统计与统计案例

能根据给出的线性回归方程系数公式求线性回归方程，了解独立性检验的基本思想、方法，在选择或填空题中常涉及频率分布直方图、茎叶图及样本的数字特征（如平均数、方差）的考查，解答题中也有所考查.

【例4】从某居民区随机抽取10个家庭，获得第i个家庭的月收入xi（单位：

千元）与月储蓄yi（单位：

千元）的数据资料，算得

（1）求家庭的月储蓄y对月收入x的线性回归方程

＝

x＋

；

（2）判断变量x与y之间是正相关还是负相关；

（3）若该居民区某家庭月收入为7千元，预测该家庭的月储蓄.

附：

线性回归方程

＝

x＋

中，

＝

，

＝y－

，其中

，

为样本平均值.

解　

（1）由题意知n＝10，

又lxx＝

x

－n

2＝720－10×82＝80，

lxy＝

xiyi－n

＝184－10×8×2＝24，

由此得

＝

＝

＝0.3，

＝y－

＝2－0.3×8＝－0.4，

故所求线性回归方程为

＝0.3x－0.4.

（2）由于变量y的值随x值的增加而增加（

＝0.3>0），故x与y之间是正相关.

（3）将x＝7代入回归方程可以预测该家庭的月储蓄为

＝0.3×7－0.4＝1.7（千元）.

探究提高　

（1）分析两个变量的线性相关性，可通过计算相关系数r来确定，r的绝对值越接近于1，表明两个变量的线性相关性越强，r的绝对值越接近于0，表明两变量线性相关性越弱.

（2）求线性回归方程的关键是正确运用

，

的公式进行准确的计算.

概率与统计的解答题难度比较稳定，通常为由日常生活情景中给出问题，然后通过读取统计图表的信息、求样本的数字特征，概率及分布列和期望等.预计2017年的全国高考命题中，解答题形式不变，但会继续朝着“重基础、重能力、重应用”的方向发展．