四川省遂宁市高中级遂宁三诊考试文科数学试题及参考答案.docx
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四川省遂宁市高中级遂宁三诊考试文科数学试题及参考答案
遂宁市高中2021届三诊考试
数学（文科）试题
本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分。
总分150分。
考试时间120分钟。
第Ⅰ卷（选择题，满分60分）
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、班级、考号用0.5毫米的黑色墨水签字笔填写在答题卡上。
并检查条形码粘贴是否正确。
2．选择题使用2B铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上，非选择题用0.5毫米黑色墨水签字笔书写在答题卡对应框内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
3．考试结束后，将答题卡收回。
一、选择题：
本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每个小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。
1．设命题：
，，则为
A.，
B.，
C.，
D.，
2．已知，则
A．B．C．D．
3.已知等差数列满足，，则它的前项的
和
A.B.C.D.
4．为了普及新冠肺炎知识，增强疫情防控意识，某学校从高一和高二两
个年级各抽取5位同学参加新冠肺炎知识测试，得分（十分制）情况如
下表所示，则下列描述正确的是
A．高一年级组数据的平均数为6分，高二年级组数据的平均数为5分
B．两组数据的中位数都是6分
C．高一年级组数据的极差小于高二年级组数据的极差
D．高一年级组成绩的方差小于高二年级组成绩的方差
高一年级组
高二年级组
得分
4
5
6
7
8
得分
5
6
9
频数
1
1
1
1
1
频数
3
1
1
5．已知圆的圆心为直线与的交点，半径为
，且圆截直线所得弦的长度为，则实数
A．B．C．D．
6.在递增的数列中，，若，
，且前项和.则
A．B．C．D．
7.将直角三角形、矩形、直角梯形如图一放置，它们围绕固定直线L旋
转一周形成几何体，其三视图如图二，则这个几何体的体积是
附：
柱体的体积公式（为底面面积，为柱体的高）
锥体的体积公式（为底面面积，为锥体的高）
台体的体积公式（，为台体的上、下底面面积，为台体的高）
A.B.C.D.
8．设，为双曲线C:
的左、右焦点,过坐
标原点的直线依次与双曲线C的左、右支交于，两点，若
，则该双曲线的离心率为
A.B.C.D.
9.已知函数，若，，
，则
A.B．C.D.
10．已知在中，角所对的边分别为，且，
．又点都在球的球面上，且点到平面的距离
为，则球的体积为
A．B．C.D．
11.已知是边长为2的等边三角形，其中为边的中点，的平分线交线段于点，交于点，且（其中，），则的最小值为
A.B.C.D.
12.已知函数，其中，当时，
；又函数在上单调
递增，则实数的最大值是
A．B． C．D．
第Ⅱ卷（非选择题，满分90分）
注意事项：
1．请用蓝黑钢笔或圆珠笔在第Ⅱ卷答题卡上作答，不能答在此试卷上。
2．试卷中横线及框内注有“▲”的地方，是需要你在第Ⅱ卷答题卡上作答。
本卷包括必考题和选考题两部分。
第13题至第21题为必考题，每个试题考生都作答；第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
二、填空题：
本大题共4个小题，每小题5分，共20分。
13．复数（其中为虚数单位），则▲
14．已知向量，，且与垂直，则
▲
15．若，则的最小值是▲
16．已知抛物线的焦点为，过点且斜率为的直线交抛物线于，两点，以线段为直径的圆交轴于，两点，设线段的中点为，则的值为▲
三、解答题：
本大题共70分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（本小题满分12分）
已知数列中，，
（1）求数列的通项公式；
（2）令的前项和为，求证：
▲
18.（本小题满分12分）
我国的高等教育中对于硕士研究生的培养，按照培养方向分类，可分为普通硕士和专业硕士两类；一类是普通硕士，根据我国的有关规定，普通硕士教育以培养教学和科研人才为主，授予学位的类型主要是学术型学位。
另一类是专业硕士，根据国务院学位委员会的定位，专业型学位为具有职业背景的学位，培养特定职业高层次专门人才。
专业硕士教育的学习方式比较灵活，大致可分为在职攻读和全日制学习两类。
某大学团委为了解该校大学一年级的学生对未来的考硕士研究生的规划，从中随机抽取容量为的样本，其中有考硕士研究生规划的有人（其中有考普通硕士规划的人中，名是男生，名是女生）.
（1）若从样本中选一位学生，那么该同学是有考普通硕士规划的概率有多大？
（2）从这名有考普通硕士规划的学生中，选出个人，求其中男生至少一人的概率.
▲
19.（本小题满分12分）
如图，在直四棱柱中，底面四边形为梯形，
点为上一点，且，
∥，
（1）求证：
∥平面；
（2）求点到平面的距离.
▲
20.（本小题满分12分）
已知椭圆：
的左、右焦点分别为，，过的直线与椭圆交于两点，点为椭圆的下顶点，，当轴时，的面积为
（1）求椭圆的标准方程；
（2）当直线不过坐标原点时，求的取值范围。
▲
21.（本小题满分12分）
已知函数，
（1）设曲线在点处的切线斜率为，曲线在点处的切线斜率为，求的值；
（2）若，设曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为，求的最小值.
▲
请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.
22．（本小题满分10分）选修4—4：
坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）；以原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．直线的极坐标方程为．
（1）求曲线的极坐标方程和直线的直角坐标方程；
（2）若，求以曲线与轴的交点为圆心，且这个交点到直线的距离为半径的圆的方程。
▲
23．（本小题满分10分）选修4—5：
不等式选讲
已知函数
（1）求不等式的解集；
（2）当取最小值时，求使得成立的正实数的取值范围．
▲
遂宁市高中2021届三诊考试
数学（文科）试题参考答案及评分意见
一、选择题（12×5=60分）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
A
C
C
D
B
B
C
B
D
C
A
D
二、填空题：
本大题共4个小题，每小题5分，共20分。
13.14．15．16．
三、解答题：
本大题共70分。
17．（本小题满分12分）
【解析】
（1）因为，令，则，又，
所以，……………………2分
对两边同时除以，得，………………3分
又因为，所以是首项为，公差为的等差数列，……………………4分
所以，故；……………………6分
（2）由
（1）得：
……………………8分
所以…10分
因为，所以，故，即…………12分
18.（本小题满分12分）
【解析】
（1）样本容量为，其中有考普通硕士规划的有人，……………………2分
故该同学是有考普通硕士规划的概率……………………4分
（2）设男生为，女生，从人中选取人的所以情况有：
，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共种情况，……………………9分
至少有一个男生的有种情况，……………………10分
故其中男生至少一人的概率……………………12分
19.（本小题满分12分）
【解析】因为四棱柱为直四棱柱，所以∥，……………1分
又已知，所以点为的中点，……………………2分
又，且∥，所以且∥，所以四边形为平行四边形，所以∥，……………………3分
又在平面中，，在平面中，，由面面平行的判定定理的推论知平面∥平面，又平面，所以∥平面……………………5分
（2）由
（1）知点为的中点，
又在梯形中，，
所以为等边三角形，所以，……………………6分
又∥，所以，
所以的面积，
则，……………………8分
又在中，，
又在，由余弦定理得，
所以的面积为
，……………………10分
设点到平面的距离为，由等体积法有，
则，即，解得，
故所求点到平面的距离为。
……………………12分
20.（本小题满分12分）
【解析】
（1）因为为直角三角形，所以，则，………2分
又，所以，
又，所以，则，…………………4分
，故椭圆的标准方程为…………………6分
（2）由
（1）知，设，，
则，，
又直线不过坐标原点，所以设直线的方程为，则，
消去得，
所以，，……………………8分
则
，……………………10分
因为，所以，所以，
所以，即的取值范围是…………………12分
21.（本小题满分12分）
【解析】
（1）因为，所以，故；………2分
又因为，所以，故，…………4分
所以…………………5分
（2）（），，又点为，
所以在点处的切线方程为，
故当时，；当时，，
所以，（）…………………7分
则，
又
，…………………10分
由得，由得，所以在上单调递减，在上单调递增，所以当时，取得极小值，也是最小值。
故所求最小值为…………………12分
22．（本小题满分10分）
【解析】
（1）由，得，
因为，
所以，即，又，
所以，
即曲线的极坐标方程为；…………………3分
因为直线的极坐标方程为，即，
又，所以直线的直角坐标方程为。
…………………5分
（2）因为，由
（1）知曲线的普通方程为（）；它与轴的交点为，…………………7分
又直线的直角坐标方程为，故由点到直线的距离公式有：
曲线与轴的交点到直线的距离。
…………………9分
故所求的圆的方程为…………………10分
23．（本小题满分10分）
【解析】
（1）由不等式可得，
可化为或或
解得或或，综上不等式的解集为……5分
（2）因为，
当且仅当，即时，等号成立．
故当时，，…………………7分
法一：
又当取最小值时，，即，
所以，即，…………………9分
解得，故所求m的取值范围…………………10分
法二：
又
，故所求m的取值范围……………10分
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