数学单元综合测试三.docx
《数学单元综合测试三.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《数学单元综合测试三.docx（16页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
数学单元综合测试三
单元综合测试三
时间：
120分钟 分值：
150分
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
一、选择题（每小题5分，共60分）
1．直三棱柱ABC－A1B1C1，若＝a，＝b，＝c，则＝（ ）
A．a＋b－cB．a－b＋c
C．－a＋b＋cD．－a＋b－c
解析：
结合图形，得＝＋＋＝－c－a＋b＝－a＋b－c，故选D.
答案：
D
2．已知a＝（－5,6,1），b＝（6,5,0），则a与b（ ）
A．垂直B．不垂直也不平行
C．平行且同向D．平行且反向
答案：
A
3．已知a＝（2，－1,3），b＝（－4,2，x），c＝（1，－x,2），若（a＋b）⊥c，则x等于（ ）
A．4B．－4
C.D．－6
解析：
a＋b＝（－2,1,3＋x），由（a＋b）⊥c，
∴（a＋b）·c＝0.∴－2－x＋2（3＋x）＝0，得x＝－4.
答案：
B
4．若a＝（1，λ，2），b＝（2，－1,2），且a，b的夹角的余弦值为，则λ等于（ ）
A．2B．－2
C．－2或D．2或－
解析：
a·b＝2－λ＋4＝6－λ＝×3×.解得λ＝－2或.
答案：
C
5．已知空间四边形ABCD每条边和对角线长都等于a，点E、F、G分别是AB、AD、DC的中点，则a2是下列哪个选项的计算结果（ ）
A．2·B．2·
C．2·D．2·
解析：
2·＝－a2，A错；2·＝－a2，B错；2·＝－a2，D错；只有C对．
答案：
C
6．若A（x,5－x,2x－1），B（1，x＋2,2－x），当||取最小值时，x的值等于（ ）
A．19B．－
C.D.
解析：
＝（1－x,2x－3，－3x＋3），则||＝＝＝，故当x＝时，||取最小值，故选C.
答案：
C
7．已知ABCD，ABEF是边长为1的正方形，FA⊥平面ABCD，则异面直线AC与EF所成的角为（ ）
A．30°B．45°
C．60°D．90°
解析：
如图1，由于EF∥AB且∠BAC＝45°，所以异面直线AC与EF所成的角为45°，故选B.
答案：
B
图1
图2
8．如图2所示，正方体ABCD－A′B′C′D′中，M是AB的中点，则sin〈，〉的值为（ ）
A.B.
C.D.
解析：
以DA，DC，DD′所在的直线分别为x，y，z轴建立直角坐标系O－xyz，设正方体棱长为1，则D（0,0,0），B′（1,1,1），C（0,1,0），M，则＝（1,1,1），＝，cos〈，〉＝，则sin〈，〉＝.
答案：
B
图3
9．如图3，AB＝AC＝BD＝1，AB⊂面M，AC⊥面M，BD⊥AB，BD与面M成30°角，则C、D间的距离为（ ）
A．1B．2
C.D.
解析：
||2＝|＋＋|2＝||2＋||2＋||2＋2·＋2·＋2·＝1＋1＋1＋0＋0＋2×1×1×cos120°＝2.∴||＝.
答案：
C
10．在以下命题中，不正确的个数为（ ）
①|a|－|b|＝|a＋b|是a、b共线的充要条件；
②若a∥b，则存在唯一的实数λ，使a＝λb；
③对空间任意一点O和不共线的三点A、B、C，若＝2－2－，则P、A、B、C四点共面；
④若{a，b，c}为空间的一个基底，则{a＋b，b＋c，c＋a}构成空间的另一个基底；
⑤|（a·b）·c|＝|a|·|b|·|c|.
A．2B．3
C．4D．5
解析：
①错，应为充分不必要条件．②错，应强调b≠0.③错，∵2－2－1≠1.⑤错，由数量积的运算性质判别．
答案：
C
11．在三棱锥P－ABC中，△ABC为等边三角形，PA⊥平面ABC，且PA＝AB，则二面角A－PB－C的平面角的正切值为（ ）
A.B.
C.D.
解析：
设PA＝AB＝2，建立空间直角坐标系，平面PAB的一个法向量是m＝（1,0,0），平面PBC的一个法向量是n＝（，1,1）．
则cos〈m，n〉＝＝＝＝.∴正切值tan〈m，n〉＝.
答案：
A
图4
12．（2011·辽宁高考）如图4，四棱锥S－ABCD的底面为正方形，SD⊥底面ABCD，则下列结论中不正确的是（ ）
A．AC⊥SB
B．AB∥平面SCD
C．SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角
D．AB与SC所成的角等于DC与SA所成的角
解析：
∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD.又∵SD⊥底面ABCD，∴SD⊥AC.
其中SD∩BD＝D，∴AC⊥面SDB，从而AC⊥SB.故A正确；易知B正确；设AC与DB交于O点，连结SO.则SA与平面SBD所成的角为∠ASO，SC与平面SBD所成的角为∠CSO，又OA＝OC，SA＝SC，∴∠ASO＝∠CSO.故C正确；由排除法可知选D.
答案：
D
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二、填空题（每小题5分，共20分）
13．已知直线l的方向向量为v＝（1，－1，－2），平面α的法向量u＝（－2，－1,1），则l与α的夹角为________．
解析：
∵cos〈v，u〉＝＝，
∴〈v，u〉＝60°.∴l与α的夹角为30°.
答案：
30°
14．如图5所示，在空间四边形ABCD中，AC和BD为对角线，G为△ABC的重心，E是BD上一点，BE＝3ED，以{，，}为基底，则＝________.
解析：
＝＋＋＝－＋＋
＝－×（＋）＋＋（－）＝－－＋，
故＝－－＋.
答案：
－－＋
15．如图6所示，在三棱锥P－ABC中，PA＝PB＝PC＝BC，且∠BAC＝90°，则PA与底面ABC所成的角为________．
解析：
由于PA＝PB＝PC，故P在底面ABC上的射影为△ABC外心，由于△ABC为直角三角形，不妨设OB＝OC，所以OP⊥面ABC，∠PAO为所求角，不妨设BC＝1，则OA＝，cos∠PAO＝，所以∠PAO＝60°.
答案：
60°
16．（2011·全国高考）已知点E、F分别在正方体ABCD－A1B1C1D1的棱BB1、CC1上，且B1E＝2EB，CF＝2FC1，则面AEF与面ABC所成的二面角的正切值等于________．
图7
解析：
延长FE、CB相交于点G，连结AG，设正方体的棱长为3，则GB＝BC＝3，作BH⊥AG于H，连结EH，则∠EHB为所求二面角的平面角．∵BH＝，EB＝1，∴tan∠EHB＝＝.
答案：
三、解答题（写出必要的计算步骤，只写最后结果不得分，共70分）
17．（10分）已知向量a＝（1，－3,2），b＝（－2,1,1），点A（－3，－1,4），B（－2，－2,2）．
（1）求|2a＋b|；
（2）在直线AB上，是否存在一点E，使得⊥b？
（O为原点）
解：
（1）2a＋b＝（2，－6,4）＋（－2,1,1）＝（0，－5,5），故|2a＋b|＝＝5.
（2）＝＋＝＋t＝（－3，－1,4）＋t（1，－1，－2）＝（－3＋t，－1－t,4－2t），若⊥b，则·b＝0，所以－2（－3＋t）＋（－1－t）＋（4－2t）＝0，解得t＝，因此存在点E，使得⊥b，此时E点坐标为E（－，－，）．
图8
18．（12分）如图8，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，AA1＝4，点D是AB的中点．
求证：
（1）AC⊥BC1；
（2）AC1∥平面CDB1.
图9
证明：
∵直三棱柱ABC－A1B1C1底面三边长AC＝3，BC＝4，AB＝5，且C1C垂直底面．
∴AC、BC、C1C两两垂直．
如图9，以C为坐标原点，直线CA，CB，CC1分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系．
则C（0,0,0），A（3,0,0），C1（0,0,4），B（0,4,0），B1（0,4,4），D（，2,0）．
（1）＝（－3,0,0），＝（0，－4,4），
∴·＝0，∴AC⊥BC1.
（2）设CB1与C1B的交点为E，连接DE，则E（0,2,2），
∵＝（－，0,2），＝（－3,0,4），
∴＝.∴DE∥AC1.
∵DE⊂平面CDB1，AC1⊄平面CDB1，
∴AC1∥平面CDB1.
19．（12分）已知M为长方体AC1的棱BC的中点，点P在长方体AC1的面CC1D1D内，且PM∥BB1D1D，试探讨点P的确切位置．
图10
解：
以DA、DC、DD1为x、y、z轴，如图10建立空间直角坐标系，设DA＝a，DC＝b，DD1＝c.根据题意可设A（a,0,0），B（a，b,0），D1（0,0，c），P（0，y，z），则M（a，b,0）．又PM∥BB1D1D，根据空间向量基本定理，必存在实数对（m，n），使得＝m＋n，即（a，b－y，－z）＝（ma，mb，nc），等价于
⇔
则点P（0，，－nc）．
∴点P在面DCC1D1的DC的中垂线EF上．
20．（12分）在正棱锥P－ABC中，三条侧棱两两互相垂直，G是△PAB的重心，E，F分别是BC，PB上的点，且BE∶EC＝PF∶FB＝1∶2.求证：
（1）平面GEF⊥平面PBC；
（2）EG⊥PG，EG⊥BC.
图11
证明：
（1）以三棱锥的顶点P为原点，以PA、PB、PC所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系．
令PA＝PB＝PC＝3，则
A（3,0,0），
B（0,3,0），
C（0,0,3），
E（0,2,1），
F（0,1,0），
G（1,1,0），P（0,0,0）．
于是＝（3,0,0），＝（1,0,0）．
故＝3.
∴PA∥FG.
又PA⊥平面PBC，∴FG⊥平面PBC.
又FG⊂平面EFG，∴平面EFG⊥平面PBC.
（2）∵＝（1，－1，－1），＝（1,1,0），＝（0，－3,3）．∴·＝1－1＝0，·＝3－3＝0.
∴EG⊥PG，EG⊥BC.
图12
21．（12分）（2011·天津高考）如图12，在三棱柱ABC－A1B1C1中，H是正方形AA1BB1的中心，AA1＝2，C1H⊥平面AA1B1B，且C1H＝.
（1）求异面直线AC与A1B1所成角的余弦值；
（2）求二面角A－A1C1－B1的正弦值；
（3）设N为棱B1C1的中点，点M在平面AA1B1B内，且MN⊥平面A1B1C1，求线段BM的长．
图13
解：
如图13所示，建立空间直角坐标系，点B为坐标原点．依题意得A（2，0,0），B（0,0,0），C（，－2，），A1（2，2，0），B1（0,2，0），C1（，，）．
（1）易得＝（－，－，），＝（－2，0,0），于是cos〈，〉＝＝＝.
所以异面直线AC与A1B1所成角的余弦值为.
（2）易知＝（0,2，0），＝（－，－，）．
设平面AA1C1的法向量m＝（x，y，z），则
即不妨令x＝，可得m＝（，0，），
同样地，设平面A1B1C1的法向量n＝（x，y，z），则
即不妨令y＝，可得n＝（0，，），
于是cos〈m，n〉＝＝＝，从而sin〈m，n〉＝.
所以二面角A－A1C1－B1的正弦值为.
（3）由N为棱B1C1的中点，得N（，，）．设M（a，b,0），则＝（－a，－b，）．
由MN⊥平面A1B1C1，得即
解得故M（，，0）．
因此＝（，，0），所以线段BM的长||＝.
图14
22．（12分）如图14，在矩形ABCD中，点E，F分别在线段AB，AD上，AE＝EB＝AF＝FD＝4.沿直线EF将△AEF翻折成△A′EF，使平面A′EF⊥平面BEF.
（1）求二面角A′－FD－C的余弦值；
（2）点M，N分别在线段FD，BC上，若沿直线MN将四边形MNCD向上翻折，使C与A′重合，求线段F
升级会员 