九年级数学上第一章特殊平行四边形综合提升卷含答案.docx
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九年级数学上第一章特殊平行四边形综合提升卷含答案
第一章特殊平行四边形综合提升卷
第Ⅰ卷 （选择题 共30分）
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．下列说法中错误的是（ ）
A．平行四边形的对角线互相平分
B．两组对边分别相等的四边形是平行四边形
C．矩形的对角线相等
D．有一组邻边相等且有一个角是直角的四边形是正方形
2．已知△ABC，AB＝AC，将△ABC沿边BC翻折，得到的△DBC与原△ABC拼成四边形ABDC，则能直接判定四边形ABDC是菱形的依据是（ ）
A．一组邻边相等的平行四边形是菱形
B．四条边相等的四边形是菱形
C．对角线互相垂直的平行四边形是菱形
D．对角线互相垂直平分的四边形是菱形
3．如图1，在矩形ABCD中（AD＞AB），E是BC上一点，且DE＝DA，AF⊥DE，垂足为F.在下列结论中，不一定正确的是（ ）
图1
A．△AFD≌△DCE B．AF＝
AD
C．AB＝AF D．BE＝AD－DF
4．平面直角坐标系中，四边形ABCD的顶点坐标分别是A（－3，0），B（0，2），C（3，0），D（0，－2），则四边形ABCD是（ ）
A．矩形B．菱形C．正方形D．平行四边形
5．如图2，在矩形ABCD中，E，F，G，H分别为边AB，DA，CD，BC的中点．若AB＝2，AD＝4，则图中阴影部分的面积为（ ）
图2
A．3B．4C．6D．8
6．如图3，在△ABC中，D是BC上一点，AB＝AD，E，F分别是AC，BD的中点，EF＝2，则AC的长是（ ）
图3
A．3B．4C．5D．6
7．如图4，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，CE∥BD，DE∥AC，AD＝2
，DE＝2，则四边形OCED的面积为（ ）
图4
A．2
B．4C．4
D．8
8．如图5，正方形ABCD的边长为9，将正方形折叠，使顶点D落在BC边上的点E处，折痕为GH，若BE∶EC＝2∶1，则线段CH的长是（ ）
图5
A．3B．4C．5D．6
9．如图6，矩形纸片ABCD中，AB＝4，BC＝6.将该矩形纸片剪去3个等腰直角三角形，所有剪法中剩余部分面积的最小值是（ ）
图6
A．6B．3C．2.5D．2
10．如图7，P是矩形ABCD的边AD上的一动点，矩形的两条边AB，BC的长分别是6和8，则点P到矩形的两条对角线AC和BD的距离之和是（ ）
图7
A．4.8B．5C．6D．7.2
请将选择题答案填入下表：
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
总分
答案
第Ⅱ卷 （非选择题 共90分）
二、填空题（每小题3分，共18分）
11．如图8，在菱形ABCD中，AB＝4，线段AD的垂直平分线交AC于点N，△CND的周长是10，则AC的长为________．
图8
12.如图9，四边形ABCD是正方形，延长AB到点E，使AE＝AC，则∠BCE的度数是________．
图9
13．已知在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝90°，若添加一个条件即可判定该四边形是正方形，则这个条件可以是________．
14．如图10，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，动点E以每秒1个单位长度的速度从点A出发沿AC方向运动，点F同时以每秒1个单位长度的速度从点C出发沿CA方向运动，若AC＝12，BD＝8，则经过________秒后，四边形BEDF是矩形．
图10
15．如图11，在正方形ABCD内作∠EAF＝45°，AE交BC于点E，AF交CD于点F，连接EF，过点A作AH⊥EF，垂足为H，将△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABG，若BE＝2，DF＝3，则AH的长为________．
图11
16.如图12，已知菱形OABC的边OA在x轴上，点B的坐标为（8，4），P是对角线OB上的一个动点，点D（0，1）在y轴上，当PC＋PD最短时，点P的坐标为________．
图12
三、解答题（共72分）
17．（6分）如图13，在▱ABCD中，以点A为圆心，AB的长为半径画弧交AD于点F，再分别以点B，F为圆心，大于
BF的长为半径画弧，两弧交于一点P，连接AP并延长交BC于点E，连接EF.
（1）四边形ABEF是什么四边形？
并说明理由；
（2）AE，BF相交于点O，若四边形ABEF的周长为40，BF＝10，求AE的长和∠ABC的度数．
图13
18．（6分）如图14，E是正方形ABCD外一点，F是线段AE上一点，△EBF是等腰直角三角形，其中∠EBF＝90°，连接CE，CF.
（1）求证：
△ABF≌△CBE；
（2）判断△CEF的形状，并说明理由．
图14
19．（8分）如图15，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是斜边上的中线，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F，连接CF.
（1）求证：
BD＝AF；
（2）判断四边形ADCF的形状，并证明你的结论．
图15
20．（8分）如图16，将矩形ABCD沿对角线AC翻折，点B落在点F处，FC交AD于点E.
（1）求证：
△AFE≌△CDE；
（2）若AB＝4，BC＝8，求图中阴影部分的面积．
图16
21．（10分）如图17所示，在矩形ABCD中，E，F分别是边AB，CD上的点，AE＝CF，连接EF，BF，EF与对角线AC相交于点O，且BE＝BF，∠BEF＝2∠BAC.
（1）求证：
OE＝OF；
（2）若BC＝2
，求AB的长．
图17
22．（10分）如图18，在△ABC和△BCD中，∠BAC＝∠BCD＝90°，AB＝AC，BC＝CD，延长CA至点E，使AE＝AC，延长CB至点F，使BF＝BC，连接AD，AF，DF，EF，延长DB交EF于点N.
（1）求证：
AD＝AF；
（2）试判断四边形ABNE的形状，并说明理由．
图18
23．（12分）阅读下面材料：
在数学课上，老师请同学们思考如下问题：
如图19，我们把一个四边形ABCD的四边中点E，F，G，H依次连接起来得到的四边形EFGH是平行四边形吗？
小敏在思考问题时，有如下思路：
连接AC.
结合小敏的思路作答：
（1）若只改变图（a）中四边形ABCD的形状（如图（b）），则四边形EFGH还是平行四边形吗？
并说明理由．
参考小敏思考问题的方法，解决以下问题：
（2）如图（b），在
（1）的条件下，若连接AC，BD.
①当AC与BD满足什么条件时，四边形EFGH是菱形？
写出结论并证明；
②当AC与BD满足什么条件时，四边形EFGH是矩形？
直接写出结论．
图19
24．（12分）背景阅读 早在三千多年前，我国周朝数学家商高就提出：
将一根直尺折成一个直角，如果勾等于三，股等于四，那么弦就等于五．它被记载于我国古代著名数学著作《周髀算经》中，在本题中，我们把三边的比为3∶4∶5的三角形称为（3，4，5）型三角形，例如：
三边长分别为9，12，15的三角形就是（3，4，5）型三角形，用矩形纸片按下面的操作方法可以折出这种类型的三角形．
实践操作 如图20①，在矩形纸片ABCD中，AD＝8cm，AB＝12cm.
第一步：
如图②，将图①中的矩形纸片ABCD沿过点A的直线折叠，使点D落在AB上的点E处，折痕为AF，再沿EF折叠，然后把纸片展平．
第二步：
如图③，将图②中的矩形纸片再次折叠，使点D与点F重合，折痕为GH，然后展平，隐去AF.
第三步：
如图④，将图③中的矩形纸片沿AH折叠，得到△AD′H，再沿AD′折叠，折痕为AM，AM与折痕EF交于点N，然后展平．
问题解决
（1）请在图②中证明四边形AEFD是正方形；
（2）请在图④中判断NF与ND′的数量关系，并加以证明；
（3）请在图④中证明△AEN是（3，4，5）型三角形．
图20
详解详析
1．D
2．B
3．B .
4．B
5．B
6．B
7．A
8．B ．
9．C
10．A
11．6 12．22.5°13．AB＝BC或AC⊥BD等（答案不唯一）
14．2或10
15．6
16．（
，
）
17．解：
（1）四边形ABEF是菱形．
理由：
从尺规作图中得出AB＝AF，∠BAE＝∠FAE.∵AF∥BC，∴∠FAE＝∠BEA（两直线平行，内错角相等），∴∠BAE＝∠BEA（等量代换），∴AB＝BE（等角对等边），∴BE＝AF.又∵BE∥AF，∴四边形ABEF是平行四边形，即四边形ABEF是菱形．
（2）从作图中得出AE为∠BAF的平分线，而四边形ABEF的周长为40，
∴边长AF＝AB＝10.
又∵BF＝10，
∴△ABF是等边三角形，
∴∠BAF＝60°.
∵四边形ABEF是菱形，
∴AE⊥BF，OF＝
BF＝5，
∴AO＝
＝5
，
∴AE＝2AO＝10
.
∵AF∥BC，
∴∠ABC＝180°－∠BAF＝120°.
18．解：
（1）证明：
∵四边形ABCD是正方形，
∴BA＝BC，∠ABC＝90°.
∵△EBF是等腰直角三角形，∠EBF＝90°，
∴BF＝BE，∠ABC＝∠EBF，
∴∠ABC－∠FBC＝∠EBF－∠FBC，
即∠ABF＝∠CBE，
∴△ABF≌△CBE（SAS）．
（2）△CEF是直角三角形．
理由：
∵△BEF为等腰直角三角形，
∴∠EFB＝∠FEB＝45°，∴∠AFB＝135°.
又∵△ABF≌△CBE，
∴∠CEB＝∠AFB＝135°，
∴∠FEC＝∠CEB－∠FEB＝90°，
即△CEF是直角三角形．
19．解：
（1）证明：
∵AF∥BC，∴∠AFE＝∠DBE.
∵E是AD的中点，AD是BC边上的中线，
∴AE＝DE，BD＝CD.
在△AFE和△DBE中，
∠AFE＝∠DBE，∠FEA＝∠BED，AE＝DE，∴△AFE≌△DBE，∴BD＝AF.
（2）四边形ADCF是菱形．
证明：
由
（1）知，AF＝BD.
∵BD＝CD，∴AF＝CD.
又∵AF∥BC，∴四边形ADCF是平行四边形．
∵∠BAC＝90°，D是BC的中点，∴AD＝CD＝
BC，∴四边形ADCF是菱形．
20．解：
（1）证明：
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD，∠B＝∠D＝90°.
∵将矩形ABCD沿对角线AC翻折，点B落在点F处，∴∠F＝∠B，AB＝AF，
∴AF＝CD，∠F＝∠D.
在△AFE和△CDE中，
∵∠F＝∠D，∠AEF＝∠CED，AF＝CD，
∴△AFE≌△CDE.
（2）∵AB＝4，BC＝8，
∴CF＝AD＝8，AF＝CD＝AB＝4.
∵△AFE≌△CDE，∴AE＝CE，EF＝DE，
在Rt△CDE中，DE2＋CD2＝CE2，
即DE2＋42＝（8－DE）2，
∴DE＝3，∴EF＝3，∴图中阴影部分的面积＝S△ACF－S△AEF＝
×4×8－
×4×3＝10.
21．解：
（1）证明：
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，
∴∠OAE＝∠OCF.
又∵AE＝CF，∠AOE＝∠COF，
∴△AEO≌△CFO，∴OE＝OF.
（2）如图，连接BO.
∵BE＝BF，
∴△BEF是等腰三角形．
又∵OE＝OF，∴BO⊥EF，且∠EBO＝∠FBO，∴∠BOF＝90°.
∵四边形ABCD是矩形，∴∠BCF＝90°.
又∵∠BEF＝2∠BAC，∠BEF＝∠BAC＋∠AOE，
∴∠BAC＝∠AOE，∴AE＝OE.
∵AE＝CF，OE＝OF，∴OF＝CF.
又∵BF＝BF，∴Rt△BOF≌Rt△BCF（HL），
∴∠FBO＝∠CBF，
∴∠CBF＝∠FBO＝∠EBO.
∵∠ABC＝90°，∴∠OBE＝30°，
∴∠BEO＝60°，∴∠BAC＝30°.
在Rt△BAC中，∵BC＝2
，
∴AC＝2BC＝4
，AB＝
＝
＝6.
22．解：
（1）证明：
∵AB＝AC，∠BAC＝90°，
∴∠ABC＝∠ACB＝45°，∴∠ABF＝135°.
又∵∠BCD＝90°，∴∠ABF＝∠ACD＝135°.
∵BC＝CD，BC＝BF，∴BF＝CD.
在△ABF和△ACD中，
∵AB＝AC，∠ABF＝∠ACD，BF＝CD，
∴△ABF≌△ACD，∴AD＝AF.
（2）四边形ABNE是正方形．理由如下：
由已知可得AB是△CEF的中位线，
∴AB∥EF，∴∠AEF＝∠BAC＝90°.
由
（1）知，AF＝AD，△ABF≌△ACD，
∴∠FAB＝∠DAC.
∵∠BAC＝90°，∴∠EAB＝∠BAC＝90°，
∴∠EAF＝∠BAD.
∵AB＝AC，AE＝AC，
∴AE＝AB.
在△AEF和△ABD中，
∵AE＝AB，∠EAF＝∠BAD，AF＝AD，
∴△AEF≌△ABD，
∴∠AEF＝∠ABD＝90°.
又∵∠EAB＝90°，
∴四边形ABNE是矩形．
又∵AE＝AB，
∴四边形ABNE是正方形．
23．解：
（1）四边形EFGH还是平行四边形．
理由如下：
连接AC.
∵E，F分别是AB，BC的中点，
∴EF∥AC，EF＝
AC.
∵G，H分别是CD，AD的中点，
∴GH∥AC，GH＝
AC，
∴EF∥GH，EF＝GH，
∴四边形EFGH是平行四边形．
（2）①当AC＝BD时，四边形EFGH是菱形．
证明如下：
由
（1）可知四边形EFGH是平行四边形，
当AC＝BD时，FG＝
BD，EF＝
AC，
∴FG＝EF，∴平行四边形EFGH是菱形．
②当AC⊥BD时，四边形EFGH是矩形．
24．解：
（1）证明：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D＝∠DAE＝90°.
由折叠的性质得AE＝AD，∠AEF＝∠D＝90°，∴∠D＝∠DAE＝∠AEF＝90°，
∴四边形AEFD是矩形．
又∵AE＝AD，∴矩形AEFD是正方形．
（2）NF＝ND′.
证明：
连接HN，由折叠的性质得∠AD′H＝∠D＝90°，HF＝HD＝HD′.
由
（1）知四边形AEFD是正方形，∴∠EFD＝90°.
∵∠AD′H＝90°，∴∠HD′N＝90°.
在Rt△HNF和Rt△HND′中，
∵HN＝HN，HF＝HD′，
∴Rt△HNF≌Rt△HND′，
∴NF＝ND′.
（3）证明：
由
（1）知四边形AEFD是正方形，
∴AE＝EF＝AD＝8cm，
由折叠的性质得AD′＝AD＝8cm.
设NF＝xcm，则ND′＝xcm.
在Rt△AEN中，∵AN2＝AE2＋EN2，∴（8＋x）2＝82＋（8－x）2，解得x＝2，∴AN＝8＋x＝10cm，EN＝6cm，∴EN∶AE∶AN＝3∶4∶5，∴△AEN是（3，4，5）型三角形．
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