常微分方程试题及答案.docx
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常微分方程试题及答案
第十二章常微分方程
（A）
、是非题
1•任意微分方程都有通解。
（X）
2•微分方程的通解中包含了它所有的解。
（X）
3.函数y3sinx4cosx是微分方程yy0的解。
（O）
4•函数yxex是微分方程y2yy0的解。
（X）
12
5.微分方程xyInx0的通解是y-InxC（C为任意常数）。
（O）
2
6.y
siny是一阶线性微分方程。
（X）
7.y
xyxy不是一阶线性微分方程。
（O）
8.y
2y5y0的特征方程为r22r50。
（O）
9.矽
1xy2xy2是可分离变量的微分方程。
（O）
dx
、填空题
A.3B
A.3B
acosx
11.在下列函数中，能够是微分方程yy0的解的函数是（C）
A.y1B.yxC.ysinxD.yex
A.
y
2xB.y
2xC
.y
2x
y
13D
.y2x,y
13.
下列彳
微分方程中，
可分离变量的是
（
B
）0
A.
dy
ye
B.
dy
kx
a
by（k,
a,b是常数）
dx
x
dx
C.
dy
sinyx
D.
y
xy
2
y
xe
dx
14.
方程
y2y0白
勺通解是（
C）
。
A.
y
sinxB.
y4e2x
C.
y
C
2x
eD.
x
ye
1
dx
15.微分方程坐
y
dy
x
0满足y|x3
4的特解是（A）o
A.x2y2
25
B
•
3x4yC
C.x2y2
CD.x2y27
16.微分方程
dy
1
y
0的通解是
y（b）o
dx
x
A.CB
.Cx
C
.-C
D.xC
x
x
17.微分方程
y
y
0的解为（B
）0
A.exB
.e
x
C
xx
.ee
D.ex
18.下列函数中，为微分方程xdx
ydy0的通解是（B）
O
Cx2y0
A.xyCB.x2y2CC.Cxy0D
19.微分方程2ydydx0的通解为（A）
A.yxCB.yxCC.yxCD
A.
sinx
cosyC
B
.cosy
sinx
C
C.
cosx
sinyC
D
cosx
siny
C
21.
ye
x的通解为y
（C）
o
A.
x
e
B.ex
C.ex
C1xC2
D
.exC1xC
22.
按照微分方程通解定义，y
sinx的通解是（
A）o
A.
sinxC1xC2
B
sinx
C1
C2
C.
sinx
C1xC2
D
sinx
C1C2
20.微分方程cosydy
sinxdx的通解是（D）
o
四、解答题
1.验证函数yCe3xe2x（C为任意常数）是方程巴e2x3y的通解,
dx
并求出满足初始条件ylx。
0的特解。
22
2.求微分方程
xy1dxy1xdy0的通解和特解。
yIxo1
解：
C,2x2y21
1x
3.求微分方程鱼—tan'的通解
dxxx
解：
sin丫Cxo
x
y△y
4.求微分方程yyx的特解。
y|x12
解：
y22x2lnx2
解：
yesinxxC
6.求微分方程翌—sinx的通解。
dxx
1
解：
ysinxxcosxC
x
7
7.求微分方程x1y2yx1至0的特解。
yIxo1
231八
解：
yx12x1
33
&求微分方程y孕冬满足初始条件x0,y1,y3的特解。
x1
解：
yx33x1
9.求微分方程y2yy满足初始条件x0,y1,y2的特解。
x2yy2xy的解。
11.求微分方程exyexdxexyeydy0的通解。
解：
ex1ey1C
12.求dyytanxsecx,y|x00的特解。
dx
解：
y—
cosx
13.验证y1cosx,y2sinx都是y2y0的解，并写出该方程的通
解。
解：
yCx2x21nx
15.求微分方程y
x
1
-y
x
xe
0满足初始条件y1
0的特解。
解：
y—ex
x
16.求微分方程dy
2
y
x13的通解。
dx
x
1
解:
yx12x
2
1
C
2
17.求微分方程x
—dx
y
-dy0满足条件y0
1的特解。
1
y
1x
解：
2y3x33y
22
x
!
5
18.求微分方程y
y
2y
0的通解。
解：
yC1exC2e
2x
19.求微分方程y
2y
5y
0的通解。
解：
yexC1cos2xC
2sin2x
20.求微分方程y
4y
4y
0的通解。
解：
yC1C2xe2x
21.试求yx的经过点M0,1且在此点与直线y-1相切的积分曲线。
2
解：
y^x3—x1
62
（B）
—、是非题
1.可分离变量微分方程不都是全微分方程。
（X）
2•若y1x,y2x都是yPxyQx的特解，且y1x与y?
x线性无关,
则通解可表为yxy1xCy1xy2x。
（O）
3.函数ye1xe2x是微分方程y12y12y0的解。
（O）
4.曲线在点x,y处的切线斜率等于该点横坐标的平方，则曲线所满足的微分方程是yx2C（C是任意常数）。
（X）
5.微分方程ye2xy
满足初始条件
1
y|x00的特解为*尹1。
（X）
二、填空题
1.y1cosx与y2
sinx是方程yy
0的两个解，则该方程的通解为
yGcosxC2sinx
2.
微分方程
2y
3y0的通解为y
C1exC2e3xo
3.
微分方程
2y
y0的通解为y
CiC?
xeo
4.
微分方程
e2x的通解是y8e
2x
2
xC?
xC3o
5.
微分方程
y'的通解是yC1ex
C2o
6.
微分方程
dy
dx
2xy的通解是yC
x2
eo
、选择题
1.微分方程
4y4y0的两个线性无关解是（C）
A.e2x与2e2xB.e2x与xe2xC.e2x与xe
2xD.e2x与4
e2x
2.下列方程中，不是全微分方程的为（C）
A.3x26xy2dx6x2y4y2dy
B.eydx
xey
2ydy
C.yx2ydxx2dy0
ydx
xdy
3.下列函数中，哪个函数是微分方程
tg的解（C
2
A.sgtB.sgtC.s
1
2gt
4.下列函数中，是微分方程y7y
12y0的解（C）
A.yx3B.y
x2C.ye
3xD.
2x
ye
5.方程1x2yxy
0的通解是（D）
」x3Cx
2
12
x
Cxe2
6.微分方程yInxdxxInydy满足y|x11的特解是（A）
A.In2xin2y
B.
ln2
xln2y1
C.In2xIn2
;y0
D.
ln
2xln2y1
7.微分方程1
x2dy
1y
2dx
0的通解是（
A）。
A.arctanx
arctany
C
B.
tanxtany
C
C.lnxlny
C
D
•
cotxcoty
C
8.微分方程y
sin
x的通解是（C）。
A.ysin
x
B
.ysin
x
C.ysin
xC1
|XC2
D
ysin
xC1xC2
9.方程xyy
3的通解是（
A）
。
“CC
3
cC
cC
A.y3
B.
y-
C
—.y一
3D.y3
x
x
x
x
四、解答题
1.求微分方程
y9y
24x
6cos3x2sin3x
的通解。
解：
y0x
cos3x
C2
2x2
xsinx3x
2.求微分方程
y7y
6y
sinx
的通解。
解：
yC1e6x
C2ex
1
7cosx
5sinx
74
3.求微分方程
3x22xyy2
dx
x22xydy
0的通解。
C
解：
y2xyx2—
x
（—）
—、是非题
1•只要给出n阶线性微分方程的n个特解，就能写出其通解。
X
2.已知二阶线性齐次方程yPxyQxy0的一个非零解y，即可求出它的通解。
（0）
二、填空题
1.微分方程y4y5y0的通解是ye2xCicosx—2sinx。
2.已知y1,yx,
yx2某二阶非齐次线性微分方程的三个解，则该方
程的通解为ye2xC1cosx
C2sinx。
3.微分方程
2y
2yex的通解为y
x
eC1cosxC2sinx1。
三、选择题
1.微分方程
1
牙的通解为（
xx1
A.arctanx
1arctanx
x
1
C.—arctanxCDx
.arctanx
2.
微分方程
1的通解是（
3.
4.
5.
A.yCexB.yC
3的解是（）
y—0
A.y311B.y
x
ex1D.
31
微分方程光xtanx的通解为（）
A.sin—Cx
x
B.sin'
x
CxC.
.x
sin
y
Cx
.x
sin
y
1
Cx
已知微分方程
5
1的一个特解为
7
2，则此微分
方程的通解是（）
2
11
C.Cx1
2
x
11
6.微分方程y
1的一个特解应具有形式
（式中a,b为常数）（）
A.aexb
B.axexbC.aexbxD.axexbx
四、解答题
1.设yex是微分方程xypxyx的一个解，求此微分方程满足条件
y|xln20的特解。
解：
代入y
ex到方程xy
Pxy
x中,
得px
x
xex
原方程为xy
xexxy
x
y
xex
e1Ce
，y
x
e1
y1
■/xIn2，
y0二C
1
e2。
e
yex1e
x1
2
。
2.已知y1xex
2x
e，y2xe
xx
e，
y3
x2x
xee
ex是某二阶线性非齐次
微分方程的三个解，求此微分方程。
解：
yy3ex,y3y2e2x2ex均是齐次方程的解且线性无关。
GexC2e2x2ex是齐次方程的通解。
当Ci2，C21时，齐次方程的
特解为e2x
ex、e2x都是齐次方程的解且线性无关。
•••CiexC2e2x是齐次方程的通解。
由此特征方程之根为-1,2,故特征方程r2r20。
相应的齐次方程为yy2y0
故所求的二阶非齐方程为
yy2yfx
yi是非齐次方程的特解代入上式得
x
fx12xe
所以yy2y12xex为所求的微分方程。
3.已知f01,试确定fx，使exfxydxfxdy0为全微分方程，并2
求此全微分方程的通解。
解：
Pexfxy，Qfx，由-Q—得
xy
fxexfx，即fxfxex
dx
dx
得全微分方程:
ydx
dy0
解得ux,y
x
0dx
0
ex
-dy
2
ex
故此全微分方程的通解为e
3.ye2x的通解是-e2xC1xC2。
4
1
4.ysin2xcosx的通解是sin2xcosxC1xC2。
4
5.xy2x2y2x3yx451是3阶微分方程。
6.微分方程yyy60是」阶微分方程。
2
4.微分方程y3y3的一个特解是（
33
A.yx1B.yx2C.y
5.函数ycosx是下列哪个微分方程的解（
A.yy0B.y2y0C.yn
6.yGexC2ex是方程yy0的（A），其中&,C?
为任意常数
A.通解B.特解C.是方程所有的解D.上述都不对
7.yy满足yL02的特解是（B）o
x
A.yex1B.y2exC.y2e2D.y3ex
8.微分方程yysinx的一个特解具有形式（C）。
A.yasinx
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