第十八章 勾股定理.docx

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第十八章勾股定理

第十八章勾股定理

18.1勾股定理

第一课时勾股定理

（一）

一、回眸历史，感悟辉煌

【显示投影片1】

内容1：

公元前572～前492年，古希腊著名的哲学家、数学家、天文学家毕达哥拉斯，他在一次朋友家做客时，发现朋友家用砖铺成的地面中用了直角三角形三边的某种数量关系，请同学们一起来观察图中的地面（显示投影图片a），你能发现什么呢？

（图片见课本图P72）．

【活动方略】

教师活动：

操作投影仪，讲述毕达哥拉斯的故事（上网收集），引导学生观察该图片，发现问题．

学生活动：

观察、听取老师的讲述，从中发现图片a中含有许多大大小小的等腰直角三角形．

内容2：

用图片置示学生的发现，引导学生继续发现．

教师活动：

教师提问：

同学们，你能发现课本图18．1-1中的等腰直角三角形有什么性质吗？

学生活动：

与同伴合作探讨，从网格图中不难发现下面的现象：

图18．1-1右边的三个正方形SⅠ=SⅡ，SⅢ=SⅠ+SⅡ，即以等腰直角三角形两直角边为边长的小正方形的面积的和，等于以斜边为边长的正方形的面积．

教师小结：

从图18-1-1，我们发现，等腰直角三角形的三边之间具有一种特殊的关系：

斜边的平方等于两直角边的平方和．

教师提问：

上面我们研究了等腰直角三角形三边的性质，但是等腰直角三角形是一种特殊的直角三角形，对于一般的直角三角形是否也有这样的性质呢？

请同学们观察图18．1-2，设定每个小方格的面积均为1，

（1）分别计算图中正方形A、B、C、A′、B′、C′的面积；

（2）观察其中的规律，你能得出什么结论？

与同伴交流．

学生活动：

分四人小组，讨论，并踊跃发表自己的看法．

思路点拨：

实际上，以斜边为边长的正方形的面积，等于某个正方形的面积减去4个直角三角形的面积．

【设计意图】通过历史情境引入，使学生感受到古代文明的成就．在大自然中，看似平淡无奇的现象有时却隐藏着深刻的哲理，激发学生的求知欲．

二、合作探究，体验发现

【问题牵引】

猜想：

如果直角三角形的两直角边长分别为a、b，斜边长为c，那么a2+b2=c2．（命题1）

教师活动：

介绍我国的赵爽证法，充分应用拼图（课本P74图18．1-3），解释“命题1”的，让学生领悟勾股定理的推理；为了加深学生对勾股定理的理解，设计下面的“阅读理解”．

阅读与填空：

（显示投影片3）

全世界许多国家的数学家以及数学爱好者都曾为勾股定理的证明付出过努力，作出过贡献，这使得这一定理至今已有几百种不同的证法．

下面介绍的是古希腊数学家欧几里得（公元前330～前275年）给出的证明．为了使读者更好地理解这个证明，并且从中获得提高几何证题能力与思维能力的收获，对证明过程做了一些推想，请读者边阅读，边思考，并完成填空．

为了使阅读能够顺利进行，首先来做一项准备工作，即对图的局部做如下分析：

图中的四边形BHJC是正方形，作HM⊥AB，交AB的延长线于M，在△CBK与△BHM中，∵BC=BH，∠CBK=∠_____（填∠BHN），∠CKB=∠BMH，∴△CBK≌△BHM（）（填AAS）．

∴BK=HM．

现在来看欧几里得是怎样证明勾股定理的．

这位几何大师的出发点，与课本中用拼图方法给出的证明的出发点是相同的：

都是把一条线段的平方看作是以这条线段为边的________（填：

正方形的面积）．

从这样的想法出发，欧几里得是为了证明“a2+b2=c2”，分别以Rt△ABC的三边为边向三角形外作正方形（如图）．

欧几里得可能是想到当一条直线从AE所在直线的位置开始，在保持与AE平行的前提下逐步向BD移动时，一定有一个时刻，把正方形ABDE分成的两部分的面积恰好分别等于a和b．

上述特殊的位置究竟在何处呢？

欧几里得大概是注意到了图形中一个极为特殊的点──点C，决定仔细考虑过点C并且与ED垂直的直线．

于是，欧几里得首先引出这样辅助线：

过点C作CL⊥ED，交AB于K，交ED于L．

下面是这位杰出的数学家在引出上述辅助线后继续进行探索的结晶．

连结CH、AH、KD，则由∠ACB=90°及四边形CBHJ知AC∥BH，点A与点C到直线BH的距离_______（填：

相等），又因为△ABH与△CBH有公共边________（填BH），所以S△ABH=S△CBH（）（填：

等底等高面积相等）；再把△ABH看作是以AB为底的三角形，则其高为_______（填HM），由于AB=_______（填BD），HM=_______（填：

BK），所以，S△ABH=S△BDK（）（等底等高面积相等），∴S△BDK=S△CBH（）（填：

等量代换）．而S△CBH=

a2，S△BDK=

S矩形DBKL，∴a2=S矩形DBKL①同理可证，b2=S矩形AELK②．

把①②相加，就得到a2+b2=S长方形DBKL+S长方形AELK，即a2+b2=c2．

学生活动：

阅读填空，从中吸引勾股定理的证明方法，加深对勾股定理的领悟．

【设计意图】“赵爽证法”以教师讲解为主，学生参与分析为辅，让学生形成拼图意识，感受我国科学家的伟大发明，再通过设计“阅读与填空”，拓展学生的知识面，达到加深理解勾股定理的目的．

三、联系实际，应用所学

【显示投影片4】

问题探究1：

一个门框的尺寸如课本图形18．1-4所示，一块长3m，宽2.2m的薄木板能否从门框内通过？

为什么？

思路点拨：

从观察实验可知，木板横着进，竖着进，都无法从门框内通过，因此，尝试斜着通过，而对角线AC或BD是斜着能通过的最大长度．只要测出AC或BD，与木板的宽比较，就能知道木板是否能通过．

【活动方略】

教师活动：

拿出教具：

如图18．1-4的木框，几块木板，演示引导学生思考．

学生活动：

观察、讨论，得到必须应用勾股定理求出木框的斜边AC2=AB2+BC2=12+22=5，AC=

≈2.236，然后以此为尺寸，来判断薄木板能否通过木框，结论是可以！

问题探究2：

如图18．1-5，一个3cm长的梯子，AB，斜靠在一竖直的墙AO上，这时AO的距离为2.5m，如果梯子的顶端A沿墙下滑0.5m，那么梯子底端B也外移0.5m吗？

思路点拨：

从BD=OD-OB可以看出，必需先求OB，OD，因此，可以通过勾股定理在Rt△AOB，Rt△COD中求出OB和OD，最后将BD求出．

【活动方略】

教师活动：

制作投影仪，提出问题，引导学生观察、应用勾股定理，提问个别学生．

学生活动：

观察、交流，从中寻找出Rt△AOB，Rt△COD，以此为基础应用勾股定理求得OB和OD．

【课堂演练】

演练题：

在Rt△ABC中，已知两直角边a与b的和为pcm，斜边长为qcm，求这个三角形的面积．

思路点拨：

因为Rt△的面积等于

ab，所以只要求出ab即可，由条件知a+b=p，c=q，联想勾股定理a2+b2=c2，将几何问题转化为代数问题．由a+b=p，a2+b2=q2求出ab．

教师活动：

操作投影仪，组织学生演练，以练促思；引导学生进行等式变形．

学生活动：

先独立思考，完成演练题1，再争取上台演示．

解：

∵a+b=p，c=q，

∴a2+2ab+b2=（a+b）2=p2，a2+b2=q2（勾股定理）

∴2ab=p2-q2

∴SRt△ABC=

ab=

（p2-q2）cm2

【设计意图】以两个探究为素材，帮助学生应用勾股定理，再通过设置的演练题来灵活学生的思维．

四、随堂练习，巩固深化

1．课本P76“练习”1，2．

2．【探研时空】

（1）若已知△ABC的两边分别为3和4，你能求出第三边吗？

为什么？

（2）如图，已知：

在△ABC，∠A=90°，D、E分别在AB、AC上，你能探究出CD2+BE2=BC2+DE2吗？

（提示：

BE2+CD2=AD2+AC2+AB2+AE2=（AD2+AE2）+（AC2+AB2）=（DE2+BC2）

五、课堂总结，发展潜能

1．勾股定理：

Rt△ABC中，∠C=90°，a2+b2=c2．

2．勾股定理适用于任何形状的直角三角形，在直角三角形中，已知任意两边的长都可以求出第三边的长．

六、布置作业，专题突破

1．课本P77习题18．11，2，3，4，5．

2．选用课时作业优化设计

七、课后反思

第一课时作业优化设计

【驻足“双基”】

1．在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=12cm，S△ABC=30cm2，则AB=________．

2．等腰△ABC的腰长AB=10cm，底BC为16cm，则底边上的高为______，面积为_____．

3．一个直角三角形三条边为三个连续偶数，则它的三边长分别为_______．

4．△ABC中，∠ACB=90°，AC=12，BC=5，M，N在AB上，且AM=AC，BN=BC，则MN的长为（）．

A．2B．26C．3D．4

5．等腰三角形腰长32cm，顶角的大小的一个底角的4倍，求这个三角形的面积_____．

【提升“学力”】

6．某车间的人字形屋架为等腰三角形ABC，跨度AB=24m，上弦AC=13m，求中柱CD．（D为底AB的中点）

7．如图，折叠长方形的一边AD，点D落在BC上的点F处，已知AB=8cm，BC=10cm，求EC的长．

【聚焦“中考”】

8．（1994年天津市中考题）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，D是BC边上一点，且BD=AD=10，∠ADC=60°，求△ABC面积．

第一课时作业优化设计（答案）

1．13cm2．6cm；48cm23．6、8、104．D5．256

6．5cm7．3；8．

第二课时勾股定理

（二）

一、回顾交流，小测评估

【课堂小测题】（投影显示）

1．填空题

（1）等腰三角形中，一边长为4，另一边长为9，则这个三角形的面积是_______．

（填：

2

）

（2）在Rt△ABC中，∠C=90°，若a=b=2cmm，S△ABC=______（填：

2cm）

2．选择题

（1）在△ABC中，∠C=90°，∠A=∠B，则BC：

AC：

AB=（A）．

A．1：

1：

B．1：

1：

2C．1：

1：

1D．以上结论都不对

（2）等边三角形面积为8cm，它的边长（D）．

A．2

cmB．4

cmC．8

cmD．以上结论都不对

【活动方略】

教师活动：

操作投影仪，组织学生测试，而后讲评，通过讲评，理解勾股定理的应用．

学生活动：

独立小测，通过小测加深对勾股定理应用的理解．

【设计意图】采用“测中反思”的方法，促进学生对知识的理解，发现问题，以利于本节课解决．

二、数形结合，应用所学

【显示投影片2】

问题探究3：

大家知道，数轴上的点有些是表示有理数，有些表示无理数，请你在数轴上画出表示

的点．

思路点拨：

可以利用勾股定理在数轴上作出

的线段，做法如下：

（1）在数轴上找到一点A，使OA=5，

（2）过A作AT垂直于数轴，垂足为A，在AT上截取AB=12，（3）连结OB，（4）以O为圆心，OB为半径作弧，弧与数轴的交点C即为

的点．

【活动方略】

教师活动：

操作投影仪，在黑板上演示

的作法．

学生活动：

在练习本上画图，做出在数轴上表示

的点．

教师活动：

提出问题．

1．请同学们归纳出如何在数轴上画出表示

的点的方法？

2．你能在数轴上作出表示

的点吗？

试一试！

学生活动：

借助课本图18．1-7的数字，在数轴上画出

的点M．

【设计意图】拓展勾股定理的应用知识，学会在数轴上作无理数的点．

问题探究4：

如图，△ABC中，∠B=90°，AC=12cm，BC=4cm，D在AC上，且AD=8cm，E在AB上，且△AED的面积是△ABC面积的

，求AE和DE的长．

思路点拨：

求AE的长时，可过D作DE⊥AB于F，可求出DF=

BC=

，

这样先把AF求出AF=

AB=

．

再由面积公式S△AED=

AE·DF先求出DF=

AE，

由S△ADE=

S△ABC=4

，求出AE=3

，

因而EF=

，应用勾股定理求DE=3

．

教师活动：

操作投影仪，组织学生探究，巡视、引导、启发学生进行思考，然后请两位学生上台演示，纠正．

学生活动：

小组合作交流（4人），将所学习的面积、勾股定理应用于该题，踊跃上台发言，“板演”．

三、随堂练习，巩固深化

1．课本P77“练习”1，2．

2．【探研时空】

（1）已知，如图：

在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D点，

求证：

AB2=AD2+2CD2+BD2．

（提示：

AB2=AC2+BC2=AD2+CD2+CD2+BD2=AD2+2CD2+BD2）

（2）有一正方形ABCD池塘，边长为一丈（3丈=10米），有棵芦苇生在它的中央，高出水面部分有1尺（3尺=1米）长，把芦苇拉向岸边，恰好碰到岸沿，向水深和芦苇长各是多少？

（提示：

设水深EF=x尺，芦苇EG=（x+1）尺，则EC=（x+1）尺，CF=5尺，通过构建△EFG，再应用勾股定理得（x+1）2=x2+52，求解出x=12尺，这样得到水深12尺，芦苇长为13尺）．

四、课堂总结，发展潜能

本节课主要学习的内容是：

（1）勾股定理的应用，通过两个“探究”领会勾股定理的应用思想，如可以用来在数轴上描无理数点，可以解决实际情境中的问题等．

（2）感受勾股定理的历史．

五、布置作业，专题突破

1．课本P78习题18．17，8，9，11，12，13．

2．选用课时作业优化设计

六、课后反思

第二课时作业优化设计

【驻足“双基”】

1．请写出满足勾股定理a2+b2=c2的三组数值______________．

2．要登上12m高的建筑物，为完全起见，需要使梯子的底端离建筑物5m，至少需要_______m长的梯子．

3．一艘轮船以16海里/时的速度离开A港向东南方向航行，另一艘轮船同时以12海里/时的速度离开A港向西南方向航行，经过1.5小时后它们相距_____海里．

4．如图，长方形ABCD中，AB=3，BC=4，若将该矩形折叠，使点C与点A重合，则折痕EF的长为（）．

A．3.74B．3.75C．3.76D．3.77

5．一个长方形的长是宽的2倍，其对角线的长是5cm，则长方形的长是（）．

A．2.5cmB．

cmC．2

cmD．

cm

6．如图，在四边形ABCD中，∠BAD=90°，AD=4，AB=3，BC=12，求正方形DCEF的面积．

【提升“学力”】

7．已知，如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，D是BC上任意一点，

求证：

BD2+CD2=2AD2．

【聚焦“中考”】

8．（2003年贵州省贵阳市中考题）如图，某货船以20海里/时的速度将一批重要物资由A处运往正西方向的B处，经16小时的航行到达，到达后必须立即卸货，此时，接到气象部门通知，一台风中心正以40海里/时的速度由A向北偏西60°方向移动，距台风中心200海里的圆形区域（包括边界）均会受到影响．

（1）问：

B处是否会受到台风的影响？

请说明理由．

（2）为避免受到台风的影响，该船应在多少小时内卸完货物？

（供选用数据：



≈1.4，

≈1.7）

第二课时作业优化设计（答案）

1．3、4、5，5、12、13，8、15、172．133．304．B5．C6．1697．提示：

过A作AE⊥BC于E8．

（1）B处会影响，

（2）3.8小时

18.2勾股定理的逆定理

勾股定理的逆定理

（一）

一、创设问属情境，引入新课

活动1

（1）总结直角三角形有哪些性质．

（2）一个三角形，满足什么条件是直角三角形?

设计意图：

通过对前面所学知识的归纳总结，联想到用三边的关系是否可以判断一个三角形为直角三角形，提高学生发现反思问题的能力．

师生行为学生分组讨论，交流总结；教师引导学生回忆．

本活动，教师应重点关注学生：

①能否积极主动地回忆，总结前面学过的旧知识；②能否“温故知新”．

生：

直角三角形有如下性质：

（1）有一个角是直角；

（2）两个锐角互余，（3）两直角边的平方和等于斜边的平方：

（4）在含30°角的直角三角形中，30°的角所对的直角边是斜边的一半．

师：

那么，一个三角形满足什么条件，才能是直角三角形呢?

生：

有一个内角是90°，那么这个三角形就为直角三角形．

生：

如果一个三角形，有两个角的和是90°，那么这个三角形也是直角三角形．

师：

前面我们刚学习了勾股定理，知道一个直角三角形的两直角边a，b斜边c具有一定的数量关系即a2＋b2＝c2，我们是否可以不用角，而用三角形三边的关系来判定它是否为直角三角形呢?

我们来看一下古埃及人如何做?

二、讲授新课

活动2问题：

据说古埃及人用下图的方法画直角：

把一根长蝇打上等距离的13个结，然后以3个结，4个结、5个结的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中一个角便是直角．

这个问题意味着，如果围成的三角形的三边分别为3、4、5．有下面的关系“32＋42＝52”．那么围成的三角形是直角三角形．

画画看，如果三角形的三边分别为2.5cm，6cm，6.5cm，有下面的关系，“2.52＋62＝6.52，画出的三角形是直角三角形吗?

换成三边分别为4cm、7.5cm、8.5cm．再试一试．

设计意图：

由特殊到一般，归纳猜想出“如果三角形三边a，b，c满足a2＋b2＝c2，那么这个三角形就为直免三角形的结论，培养学生动手操作能力和寻求解决数学问题的一般方法．

师生行为让学生在小组内共同合作，协手完成此活动．教师参与此活动，并给学生以提示、启发．在本活动中，教师应重点关注学生：

①能否积极动手参与．②能否从操作活动中，用数学语言归纳、猜想出结论．③学生是否有克服困难的勇气．

生：

我们不难发现上图中，第

（1）个结到第（4）个结是3个单位长度即AC＝3；同理BC＝4，AB＝5．因为32＋42＝52．我们围成的三角形是直角三角形．

生：

如果三角形的三边分别是2.5cm，6cm，6.5cm．我们用尺规作图的方法作此三角形，经过测量后，发现6.5cm的边所对的角是直角，并且2.52＋62＝6.52．

再换成三边分别为4cm，7.5cm，8.5cm的三角形，目标可以发现8.5cm的边所对的角是直角，且也有42＋7.52＝8.52．

是不是三角形的三边只要有两边的平方和等于第三边的平方，就能得到一个直角三角形呢?

活动3下面的三组数分别是一个三角形的三边长a，b，c

5，12，13；7，24，25；8，15，17．

（1）这三组效都满足a2＋b2＝c2吗?

（2）分别以每组数为三边长作出三角形，用量角器量一量，它们都是直角三角形吗?

设计意图：

本活动通过让学生按已知数据作出三角形，并测量三角形三个内角的度数来进一步获得一个三角形是直角三角形的有关边的条件．

师生行为：

学生进一步以小组为单位，按给出的三组数作出三角形，从而更加坚信前面猜想出的结论，

教师对学生归纳出的结论应给予解释，我们将在下一节给出证明．本活动教师应重点关注学生：

①对猜想出的结论是否还有疑虑．②能否积极主动的操作，并且很有耐心．

生：

（1）这三组数都满足a2＋b2＝c2．

（2）以每组数为边作出的三角形都是直角三角形．

师：

很好，我们进一步通过实际操作，猜想结论．

命题2如果三角形的三边长a，b，c满足a2＋b2＝c2那么这个三角形是直角三角形．

同时，我们也进一步明白了古埃及人那样做的道理．实际上，古代中国人也曾利用相似的方法得到直角．直至科技发达的今天——人类已跨人21世纪，建筑工地上的工人师傅们仍然离不开“三四五放线法”．

“三四五放线法”是一种古老的归方操作．所谓“归方”就是“做成直角”。

譬如建造房屋，房角一般总是成90°，怎样确定房角的纵横两线呢?

如下图，欲过基线MN上的一点C作它的垂线，可由三名工人操作：

一人手拿布尺或测绳的0和12尺处，固定在C点；另一人拿4尺处，把尺拉直，在MN上定出A点，再由一人拿9尺处，把尺拉直，定出B点，于是连结BC，就是MN的垂线．

建筑工人用了3，4，5作出了一个直角，能不能用其他的整数组作出直角呢?

生：

可以，例如7，24，25；8，15，17等．

据说，我国古代大禹治水测量工程时，也用类似的方法确定直角．

活动4问题：

命题1如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2＋b2＝c2．命题2如果三角形的三边长分别为a，b，c，满足a2＋b2＝c2那么这个三角形是直角三角形．它们的题设和结论各有何关系?

设计意图：

认识什么样的两个命题是互逆命题，明白什么是原命题，什么是逆命题?

你前面遇到过有互逆命题吗?

师生行为：

学生阅读课本，并回忆前面学过的一些命题．教师认真倾听学生的分析．

教师在本活动中应重点关注学生；①能否发现互逆命题的题设和结论之间的关系．②能否积极主动地回忆我们前面学过的互逆命题．

生：

我们可以看到命题2与命题1的题设．结论正好相反，我们把像这样的两个命题叫做互逆命题．如果把其中的一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题．例如把命题1当成原命题，那么命题2是命题1的逆命题．

生：

我们前面学过平行线的性质和判定．其中“两直线平行，同位角相等”和“同位角相等，两直线平行”是互逆命题．“两直线平行，内错角相等”和“内错角相等，两直线平行”也是互逆命题．

生：

“两直线平行，同旁内角互补”和“同旁内角互补，两直线平行”也是互逆命题

勾股定理的逆定理

（二）

一、创设问题情境，引入新课

活动1以下列各组线段为边长，能构成三角形的是____________（填序号），能构成直角三角形的是____________．

①3，4，5②1，3，4③4，4，6④6，8，10⑤5，7，2⑥13，5，12⑦7，25，24

设计意图：

帮助学生回忆构成三角形的条件和判定一个三角形为直角三角形的条件．

师生行为：

由学生自己独立完成，教师巡视学生填的结果．

在此活动中，教师应重点关注：

①学生是否熟练地完成填空；②学生是否积极主动地完成任务．

生：

能构成三角形的是：

①③④⑥⑦，能构成直角三角形的是；①④⑥⑦

二、讲授新课

活动2问题：

命题2是命题1的逆命题，命题1我们已证明过它的正确性，命题2正确吗?

如何证明呢?

设计意图：

由特例猜想得到的结论，会让一些同学产生疑虑，我们的猜想是否正确，必须有严密的推理证明过程，才能让大家用的放心．通过对命题2的证明，还可以提高学生的逻辑推理能力

师生行为：

让学生试着寻找解题思路；教师可引导学生发现证明的思路．

本活动中，教师应重点关注学生：

①能否在教师的引导下，理清思路．②能否积极主动地思考问题，参与交流、讨论．

师：

△ABC的三边长a，b，c满足a2＋b2＝c2．如果△ABC是直角三角形，它应与直角边是a，b的直角三角形全等，实际情况是这样吗?

我们画一个直角三角形A'B'C'，使B'C'＝a，A'C'＝b，∠C'＝90°（如下图）把画好的△A'B'C'剪下，放在△ABC上，它们重合吗?

生：

我们所画的Rt△A'B'C'，A'B'＝a2＋b2，又因为c2＝a2＋b2，所以A'B'2＝c2，即A'B'＝c△ABC和△A'B'C'三边对应相等，所以两个三角形全等，∠C＝∠C'＝