九年级数学知识点.docx
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九年级数学知识点
九年级数学（上）知识点
人教版九年级数学上册主要包括了一元二次方程、二次函数、旋转、圆和概率五个章节的内容。
第二十一章一元二次根式
一．知识框架
二.知识概念
一元二次方程：
方程两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程．
一般地，任何一个关于x的一元二次方程，经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c=0（a≠0）．这种形式叫做一元二次方程的一般形式．
一个一元二次方程经过整理化成ax2+bx+c=0（a≠0）后，其中ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项．
本章内容主要要求学生在理解一元二次方程的前提下，通过解方程来解决一些实际问题。
（1）运用开平方法解形如（x+m）2=n（n≥0）的方程；领会降次──转化的数学思想．
（2）配方法解一元二次方程的一般步骤：
现将已知方程化为一般形式；化二次项系数为1；常数项移到右边；方程两边都加上一次项系数的一半的平方，使左边配成一个完全平方式；变形为（x+p）2=q的形式，如果q≥0，方程的根是x=-p±√q；如果q＜0,方程无实根．
介绍配方法时，首先通过实际问题引出形如
的方程。
这样的方程可以化为更为简单的形如
的方程，由平方根的概念，可以得到这个方程的解。
进而举例说明如何解形如
的方程。
然后举例说明一元二次方程可以化为形如
的方程，引出配方法。
最后安排运用配方法解一元二次方程的例题。
在例题中，涉及二次项系数不是1的一元二次方程，也涉及没有实数根的一元二次方程。
对于没有实数根的一元二次方程，学了“公式法”以后，学生对这个内容会有进一步的理解。
（3）一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根由方程的系数a、b、c而定，因此：
解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax2+bx+c=0，当b2-4ac≥0时，将a、b、c代入式子x=
就得到方程的根．（公式所出现的运算，恰好包括了所学过的六中运算，加、减、乘、除、乘方、开方，这体现了公式的统一性与和谐性。
）这个式子叫做一元二次方程的求根公式．利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法．
第二十二章二次函数
一．知识框架
二．.知识概念
1.二次函数：
一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系：
一般式：
y=ax^2+bx+c（a≠0，a、b、c为常数），则称y为x的二次函数。
2.二次函数的解析式三种形式。
一般式y=ax2+bx+c（a≠0）
顶点式
交点式
3.二次函数图像与性质
对称轴：
顶点坐标：
与y轴交点坐标（0，c）
4.增减性：
当a>0时，对称轴左边，y随x增大而减小；对称轴右边，y随x增大而增大
当a<0时，对称轴左边，y随x增大而增大；对称轴右边，y随x增大而减小
5.二次函数图像画法：
勾画草图关键点：
开口方向
对称轴
顶点
与x轴交点
与y轴交点
6.图像平移步骤
（1）配方
，确定顶点（h,k）
（2）对x轴左加右减；对y轴上加下减
7.二次函数的对称性
二次函数是轴对称图形，有这样一个结论：
当横坐标为x1,x2其对应的纵坐标相等那么对称轴
8.根据图像判断a,b,c的符号
（1）a——开口方向
（2）b——对称轴与a左同右异
9.二次函数与一元二次方程的关系
抛物线y=ax2+bx+c与x轴交点的横坐标x1,x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根。
抛物线y=ax2+bx+c，当y=0时，抛物线便转化为一元二次方程ax2+bx+c=0
>0时，一元二次方程有两个不相等的实根，二次函数图像与x轴有两个交点；
=0时，一元二次方程有两个相等的实根，二次函数图像与x轴有一个交点；
<0时，一元二次方程有不等的实根，二次函数图像与x轴没有交点
二次函数知识很容易与其它知识综合应用，而形成较为复杂的综合题目。
因此，以二次函数知识为主的综合性题目是中考的热点考题，往往以大题形式出现．教师在讲解本章内容时应注重培养学生数形结合的思想和独立思考问题的能力。
第二十三章旋转
一.知识框架
二．知识概念
1.旋转：
在平面内，将一个图形绕一个图形按某个方向转动一个角度，这样的运动叫做图形的旋转。
这个定点叫做旋转中心，转动的角度叫做旋转角。
（图形的旋转是图形上的每一点在平面上绕着某个固定点旋转固定角度的位置移动，其中对应点到旋转中心的距离相等，对应线段的长度、对应角的大小相等，旋转前后图形的大小和形状没有改变。
）
2.旋转对称中心：
把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角（旋转角小于0°，大于360°）。
3．中心对称图形与中心对称：
中心对称图形：
如果把一个图形绕着某一点旋转180度后能与自身重合，那么我们就说，这个图形成中心对称图形。
中心对称：
如果把一个图形绕着某一点旋转180度后能与另一个图形重合，那么我们就说，这两个图形成中心对称。
4.中心对称的性质：
关于中心对称的两个图形是全等形。
关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分。
关于中心对称的两个图形，对应线段平行（或者在同一直线上）且相等。
本章内容通过让学生经历观察、操作等过程了解旋转的概念，探索旋转的性质，进一步发展空间观察，培养几何思维和审美意识，在实际问题中体验数学的快乐，激发对学习学习。
第二十四章圆
一．知识框架
二．知识概念
1.圆：
平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。
定点称为圆心，定长称为半径。
2.圆弧和弦：
圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。
大于半圆的弧称为优弧，小于半圆的弧称为劣弧。
连接圆上任意两点的线段叫做弦。
经过圆心的弦叫做直径。
3.圆心角和圆周角：
顶点在圆心上的角叫做圆心角。
顶点在圆周上，且它的两边分别与圆有另一个交点的角叫做圆周角。
4.内心和外心：
过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，其圆心叫做三角形的外心。
和三角形三边都相切的圆叫做这个三角形的内切圆，其圆心称为内心。
5.扇形：
在圆上，由两条半径和一段弧围成的图形叫做扇形。
6.圆锥侧面展开图是一个扇形。
这个扇形的半径称为圆锥的母线。
7.圆和点的位置关系：
以点P与圆O的为例（设P是一点，则PO是点到圆心的距离），P在⊙O外，PO＞r；P在⊙O上，PO＝r；P在⊙O内，PO＜r。
8.直线与圆有3种位置关系：
无公共点为相离；有两个公共点为相交,这条直线叫做圆的割线；圆与直线有唯一公共点为相切，这条直线叫做圆的切线，这个唯一的公共点叫做切点。
9.两圆之间有5种位置关系：
无公共点的，一圆在另一圆之外叫外离，在之内叫内含；有唯一公共点的，一圆在另一圆之外叫外切，在之内叫内切；有两个公共点的叫相交。
两圆圆心之间的距离叫做圆心距。
两圆的半径分别为R和r，且R≥r，圆心距为P：
外离P＞R+r；外切P=R+r；相交R-r＜P＜R+r；内切P=R-r；内含P＜R-r。
10.切线的判定方法：
经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
11.切线的性质：
（1）经过切点垂直于这条半径的直线是圆的切线。
（2）经过切点垂直于切线的直线必经过圆心。
（3）圆的切线垂直于经过切点的半径。
12.垂径定理：
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。
13.有关定理：
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．
在同圆或等圆中，同弧等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
14.圆的计算公式 1.圆的周长C=2πr=πd2.圆的面积S=πr^2;3.扇形弧长l=nπr/180
15.扇形面积S=π（R^2-r^2）5.圆锥侧面积S=πrl
第二十五章概率
知识框架
本章内容要求学生了解事件的可能性，在探究交流中学习体验概率在生活中的乐趣和实用性，学会计算概率。
九年级数学（下）知识点
人教版九年级数学下册主要包括了反比例函数、相似、锐角三角形、投影与视图四个章节的内容。
第二十六章 反比例函数
一.知识框架
二．知识概念
1.反比例函数：
形如y＝
（k为常数，k≠0）的函数称为反比例函数。
其他形式xy=k
2.图像：
反比例函数的图像属于双曲线。
反比例函数的图象既是轴对称图形又是中心对称图形。
有两条对称轴：
直线y=x和y=-x。
对称中心是：
原点
3.性质:
当k＞0时双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每个象限内y值随x值的增大而减小；
当k＜0时双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每个象限内y值随x值的增大而增大。
4.|k|的几何意义：
表示反比例函数图像上的点向两坐标轴所作的垂线段与两坐标轴围成的矩形的面积。
在学习反比例函数时，教师可让学生对比之前所学习的一次函数启发学生进行对比性学习。
在做题时，培养和养成数形结合的思想。
第二十七章相似
一．知识框架
二.知识概念：
1.相似三角形：
对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形。
互为相似形的三角形叫做相似三角形
2.相似三角形的判定方法:
根据相似图形的特征来判断。
（对应边成比例，对应角相等）
.平行于三角形一边的直线（或两边的延长线）和其他两边相交,所构成的三角形与原三角形相似；
.如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相似；
如果两个三角形的两组对应边的比相等,并且相应的夹角相等,那么这两个三角形相似；
如果两个三角形的三组对应边的比相等,那么这两个三角形相似；
3.直角三角形相似判定定理:
.斜边与一条直角边对应成比例的两直角三角形相似。
.直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原直角三角形相似，并且分成的两个直角三角形也相似。
4.相似三角形的性质:
.相似三角形的一切对应线段（对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等）的比等于相似比。
相似三角形周长的比等于相似比。
.相似三角形面积的比等于相似比的平方。
本章内容通过对相似三角形的学习，培养学生认识和观察事物的能力和利用所学知识解决实际问题的能力。
第二十八章锐角三角函数
一．知识框架
二．知识概念
1.Rt△ABC中
（1）∠A的对边与斜边的比值是∠A的正弦，记作sinA＝
（2）∠A的邻边与斜边的比值是∠A的余弦，记作cosA＝
（3）∠A的对边与邻边的比值是∠A的正切，记作tanA＝
（4）∠A的邻边与对边的比值是∠A的余切，记作cota＝
2.特殊值的三角函数：
a
sina
cosa
tana
cota
30°
45°
1
1
60°
本章内容使学生了解在直角三角形中，锐角的对边与斜边、邻边与斜边、对边与邻边、邻边与对边的比值是固定的；通过实例认识正弦、余弦、正切、余切四个三角函数的定义。
并能应用这些概念解决一些实际问题。
第二十九章投影与视图
知识框架
本章内容要求学生经历实践探索，了解投影、投影面、平行投影和中心投影的概念；会画事物的三视图，学会关注生活中有关投影的数学问题，提高数学的应用意识。
教学难点：
在投影面上画出平面图形的平行投影或中心投影。
乘法与因式分解
a2-b2=（a+b）（a-b）a3+b3=（a+b）（a2-ab+b2）a3-b3=（a-b（a2+ab+b2）
三角不等式
|a+b|≤|a|+|b||a-b|≤|a|+|b||a|≤b<=>-b≤a≤b
|a-b|≥|a|-|b|-|a|≤a≤|a|
一元二次方程的解根与系数的关系
-b+√（b2-4ac）/2a-b-√（b2-4ac）/2a
X1+X2=-b/aX1*X2=c/a注：
韦达定理
判别式
b2-4ac=0注：
方程有两个相等的实根
b2-4ac>0注：
方程有两个不等的实根
b2-4ac<0注：
方程没有实根，有共轭复数根
三角函数公式
两角和公式
sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinBsin（A-B）=sinAcosB-sinBcosA
cos（A+B）=cosAcosB-sinAsinBcos（A-B）=cosAcosB+sinAsinB
tan（A+B）=（tanA+tanB）/（1-tanAtanB）tan（A-B）=（tanA-tanB）/（1+tanAtanB）
ctg（A+B）=（ctgActgB-1）/（ctgB+ctgA）ctg（A-B）=（ctgActgB+1）/（ctgB-ctgA）
倍角公式
tan2A=2tanA/（1-tan2A）ctg2A=（ctg2A-1）/2ctga
cos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a
半角公式
sin（A/2）=√（（1-cosA）/2）sin（A/2）=-√（（1-cosA）/2）
cos（A/2）=√（（1+cosA）/2）cos（A/2）=-√（（1+cosA）/2）
tan（A/2）=√（（1-cosA）/（（1+cosA））tan（A/2）=-√（（1-cosA）/（（1+cosA））
ctg（A/2）=√（（1+cosA）/（（1-cosA））ctg（A/2）=-√（（1+cosA）/（（1-cosA））
和差化积
2sinAcosB=sin（A+B）+sin（A-B）2cosAsinB=sin（A+B）-sin（A-B）
2cosAcosB=cos（A+B）-sin（A-B）-2sinAsinB=cos（A+B）-cos（A-B）
sinA+sinB=2sin（（A+B）/2）cos（（A-B）/2cosA+cosB=2cos（（A+B）/2）sin（（A-B）/2）
tanA+tanB=sin（A+B）/cosAcosBtanA-tanB=sin（A-B）/cosAcosB
ctgA+ctgBsin（A+B）/sinAsinB-ctgA+ctgBsin（A+B）/sinAsinB
某些数列前n项和
1+2+3+4+5+6+7+8+9+…+n=n（n+1）/21+3+5+7+9+11+13+15+…+（2n-1）=n2
2+4+6+8+10+12+14+…+（2n）=n（n+1）12+22+32+42+52+62+72+82+…+n2=n（n+1）（2n+1）/6
13+23+33+43+53+63+…n3=n2（n+1）2/41*2+2*3+3*4+4*5+5*6+6*7+…+n（n+1）=n（n+1）（n+2）/3
其他常用数学公式
正弦定理a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R注：
其中R表示三角形的外接圆半径
余弦定理b2=a2+c2-2accosB注：
角B是边a和边c的夹角
圆的标准方程（x-a）2+（y-b）2=r2注：
（a,b）是圆心坐标
圆的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0注：
D2+E2-4F>0
抛物线标准方程y2=2pxy2=-2pxx2=2pyx2=-2py
直棱柱侧面积S=c*h斜棱柱侧面积S=c'*h
正棱锥侧面积S=1/2c*h'正棱台侧面积S=1/2（c+c'）h'
圆台侧面积S=1/2（c+c'）l=pi（R+r）l球的表面积S=4pi*r2
圆柱侧面积S=c*h=2pi*h圆锥侧面积S=1/2*c*l=pi*r*l
弧长公式l=a*ra是圆心角的弧度数r>0扇形面积公式s=1/2*l*r
锥体体积公式V=1/3*S*H圆锥体体积公式V=1/3*pi*r2h
斜棱柱体积V=S'L注：
其中,S'是直截面面积，L是侧棱长
柱体体积公式V=s*h圆柱体V=pi*r2h
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