九年级数学下册 第27章3 切线 第2课时 切线长定理及三角形的内切圆同步练习.docx

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九年级数学下册第27章3切线第2课时切线长定理及三角形的内切圆同步练习

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27.2　3.　第2课时　切线长定理及三角形的内切圆

一、选择题

1．2017·广州如图K－19－1，⊙O是△ABC的内切圆，则点O是△ABC的（　　）

图K－19－1

A．三条边的垂直平分线的交点

B．三条角平分线的交点

C．三条中线的交点

D．三条高的交点

2．如图K－19－2，一圆内切于四边形ABCD，且BC＝10，AD＝7，则四边形ABCD的周长为（　　）

图K－19－2

A．32B．34C．36D．38

3．如图K－19－3，⊙I是△ABC的内切圆，D，E，F都为切点．若∠DEF＝52°，则∠A的度数为（　　）

图K－19－3

A．68°B．52°C．76°D．38°

4．如图K－19－4，过⊙O外一点P引⊙O的两条切线PA，PB，切点分别是A，B，OP交⊙O于点C，D是

上不与点A，C重合的一个动点，连结AD，CD.若∠APB＝80°，则∠ADC的度数是

（　　）

图K－19－4

A．15°B．20°C．25°D．30°

5．如图K－19－5，在△MBC中，∠MBC＝90°，∠C＝60°，MB＝2

，点A在MB上，以AB为直径作⊙O与MC相切于点D，则CD的长为（　　）

图K－19－5

A.

B.

C．2D．3

6．如图K－19－6所示，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（3，0），（0，4），则Rt△ABO的内心的坐标是（　　）

图K－19－6

A．（

，2）B．（1，2）

C．（1，1）D．无法确定

7．如图K－19－7，O是△ABC的内心，过点O作EF∥AB，与AC，BC分别交于点E，F，则（　　）

图K－19－7

A．EF＞AE＋BFB．EF＜AE＋BF

C．EF＝AE＋BFD．EF≤AE＋BF

二、填空题

8．如图K－19－8，△ABC的内切圆分别和BC，AC，AB切于点D，E，F，如果AF＝2cm，BD＝6cm，CE＝4cm，那么BC＝________cm，AC＝________cm，AB＝________cm.

图K－19－8

9．如图K－19－9，P为⊙O外一点，PA，PB分别切⊙O于点A，B，CD切⊙O于点E，分别交PA，PB于点C，D.若PA＝5，则△PCD的周长为________.

图K－19－9

10．2018·湖州如图K－19－10，已知△ABC的内切圆⊙O与BC边相切于点D，连结OB，OD.若∠ABC＝40°，则∠BOD的度数是________．

图K－19－10　　　

11．如图K－19－11，在△ABC中，∠ACB＝90°，⊙O是它的内切圆，∠BOC＝105°，AB＝12，则BC的长为________．

图K－19－11

三、解答题

12．如图K－19－12，P是⊙O外一点，PA，PB是⊙O的切线，A，B是切点，AB交OP于点C.

求证：

OP⊥AB且AC＝BC.

图K－19－12

13．如图K－19－13，点E是△ABC的内心，AE的延长线与BC相交于点F，与△ABC的外接圆相交于点D.

求证：

（1）△BFD∽△ABD；

（2）DE＝DB.

图K－19－13

14．2018·绵阳如图K－19－14，AB是⊙O的直径，点D在⊙O上（点D不与点A，B重合）．直线AD交过点B的切线于点C，过点D作⊙O的切线DE交BC于点E.

（1）求证：

BE＝CE；

（2）若DE∥AB，求sin∠ACO的值．

图K－19－14

素养提升　　　　　　　　　　　思维拓展　能力提升

分类思想如图K－19－15，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AB＝8cm，AD＝24cm，BC＝26cm，AB为⊙O的直径．动点P从点A开始沿AD边向点D以1cm/s的速度运动，动点Q从点C开始沿CB边向点B以3cm/s的速度运动，P，Q两点同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动．设运动时间为ts，当t为何值时，直线PQ与⊙O相切、相离、相交？

图K－19－15

教师详解详析

[课堂达标]

1．[答案]B

2．[答案]B　

3．[解析]C　∵⊙I是△ABC的内切圆，D，E，F都为切点，

∴ID⊥AB，IF⊥AC，

∴∠IDA＝∠IFA＝90°，

∴∠A＋∠DIF＝180°.

∵∠DIF＝2∠DEF＝2×52°＝104°，

∴∠A＝180°－104°＝76°.

4．[解析]C　因为PA，PB是⊙O的两条切线，由切线长定理得∠APO＝∠OPB＝

∠APB＝40°.连结OA，则∠OAP＝90°，所以∠AOP＝90°－40°＝50°，

所以∠ADC＝

∠AOP＝25°.故选C.

5．[解析]C　在Rt△MBC中，∵∠C＝60°，MB＝2

，∴BC＝2.∵AB为⊙O的直径，且AB⊥BC，∴BC为⊙O的切线．又∵CD也为⊙O的切线，∴CD＝BC＝2.

6．[答案]C

7．[解析]C　如图所示，连结OA，OB，则AO，BO分别是∠CAB与∠CBA的平分线，则∠EAO＝∠OAB.又因为EF∥AB，所以∠EOA＝∠OAB＝∠EAO，所以AE＝OE，同理可求出OF＝BF，则EF＝AE＋BF.

8．[答案]10　6　8

9．[答案]10　

[解析]∵PA，PB为⊙O的两条相交切线，

∴PA＝PB.同理可得CA＝CE，DE＝DB.∵△PCD的周长＝PC＋CE＋DE＋PD，∴△PCD的周长＝PC＋CA＋BD＋PD＝PA＋PB＝2PA，

∴△PCD的周长＝10.

10．[答案]70°

[解析]∵△ABC的内切圆⊙O与BC边相切于点D，∴OB平分∠ABC，∠ODB＝90°.∵∠ABC＝40°，∴∠OBD＝20°，

∴∠BOD＝70°.故填70°.

11．[答案]6

12．证明：

∵PA，PB是⊙O的切线，A，B是切点，

∴PA＝PB，∠APO＝∠BPO（切线长定理），

∴OP⊥AB，AC＝BC（等腰三角形“三线合一”）．

13．证明：

（1）如图．∵E是△ABC的内心，

∴∠1＝∠2.

又∵∠3＝∠2，

∴∠1＝∠3.

又∵∠D为△BFD与△ABD的公共角，

∴△BFD∽△ABD.

（2）连结BE，如图．

∵点E是△ABC的内心，

∴∠ABE＝∠EBF.

又∵∠BED＝∠1＋∠ABE，∠DBE＝∠EBF＋∠3，

由

（1）得∠1＝∠3，

∴∠BED＝∠DBE，

∴DE＝DB.

14．[解析]

（1）连结OD，利用切线长定理得到BE＝DE，利用切线的性质得OD⊥DE，AB⊥CB，再根据等角的余角相等得到∠CDE＝∠ACB，则CE＝DE，从而得到BE＝CE；

（2）过点O作OH⊥AD于点H，如图．设⊙O的半径为r，先证明四边形OBED为正方形得DE＝CE＝r，再利用△AOD和△CDE都为等腰直角三角形得到OH＝DH＝

r，CD＝

r，接着根据勾股定理计算出OC＝

r，然后根据正弦的定义求解．

解：

（1）证明：

连结OD，如图．

∵BE，DE为⊙O的切线，∴BE＝DE，OD⊥DE，AB⊥BC，∴∠ADO＋∠CDE＝90°，∠A＋∠ACB＝90°.

∵OA＝OD，∴∠A＝∠ADO，∴∠CDE＝∠ACB，∴CE＝DE，∴BE＝CE.

（2）过点O作OH⊥AD于点H，如图．

设⊙O的半径为r.

∵DE∥AB，∴∠DOB＝∠DEB＝90°，

∴四边形OBED为矩形．又∵OB＝OD，

∴四边形OBED为正方形，∴DE＝BE＝r.

易得△AOD和△CDE都为等腰直角三角形，

∴OH＝DH＝

r，CD＝

r.

在Rt△OCB中，OC＝

＝

r.

在Rt△OCH中，sin∠OCH＝

＝

＝

，

即sin∠ACO的值为

.

[素养提升]

解：

设运动ts时，直线PQ与⊙O相切于点G，过P作PH⊥BC于点H，

则PH＝AB＝8，BH＝AP＝t，

可得HQ＝|26－3t－t|＝|26－4t|，

由切线长定理，得AP＝PG，QG＝BQ，

则PQ＝PG＋QG＝AP＋BQ＝t＋26－3t＝26－2t.

由勾股定理，得PQ2＝PH2＋HQ2，

即（26－2t）2＝82＋（26－4t）2，

化简，得3t2－26t＋16＝0，

解得t1＝

，t2＝8，

所以当t＝

或t＝8时，直线PQ与⊙O相切．

因为t＝0时，直线PQ与⊙O相交，

当t＝

时，点Q运动到点B，点P尚未运动到点D，但也停止运动，直线PQ也与⊙O相交，

所以可得以下结论：

当t＝

或t＝8时，直线PQ与⊙O相切；

当0≤t＜

或8＜t≤

时，直线PQ与⊙O相交；

当

＜t＜8时，直线PQ与⊙O相离．