九年级数学下册 第27章3 切线 第2课时 切线长定理及三角形的内切圆同步练习.docx
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九年级数学下册第27章3切线第2课时切线长定理及三角形的内切圆同步练习
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27.2 3. 第2课时 切线长定理及三角形的内切圆
一、选择题
1.2017·广州如图K-19-1,⊙O是△ABC的内切圆,则点O是△ABC的( )
图K-19-1
A.三条边的垂直平分线的交点
B.三条角平分线的交点
C.三条中线的交点
D.三条高的交点
2.如图K-19-2,一圆内切于四边形ABCD,且BC=10,AD=7,则四边形ABCD的周长为( )
图K-19-2
A.32B.34C.36D.38
3.如图K-19-3,⊙I是△ABC的内切圆,D,E,F都为切点.若∠DEF=52°,则∠A的度数为( )
图K-19-3
A.68°B.52°C.76°D.38°
4.如图K-19-4,过⊙O外一点P引⊙O的两条切线PA,PB,切点分别是A,B,OP交⊙O于点C,D是
上不与点A,C重合的一个动点,连结AD,CD.若∠APB=80°,则∠ADC的度数是
( )
图K-19-4
A.15°B.20°C.25°D.30°
5.如图K-19-5,在△MBC中,∠MBC=90°,∠C=60°,MB=2
,点A在MB上,以AB为直径作⊙O与MC相切于点D,则CD的长为( )
图K-19-5
A.
B.
C.2D.3
6.如图K-19-6所示,在平面直角坐标系中,点A,B的坐标分别为(3,0),(0,4),则Rt△ABO的内心的坐标是( )
图K-19-6
A.(
,2)B.(1,2)
C.(1,1)D.无法确定
7.如图K-19-7,O是△ABC的内心,过点O作EF∥AB,与AC,BC分别交于点E,F,则( )
图K-19-7
A.EF>AE+BFB.EF<AE+BF
C.EF=AE+BFD.EF≤AE+BF
二、填空题
8.如图K-19-8,△ABC的内切圆分别和BC,AC,AB切于点D,E,F,如果AF=2cm,BD=6cm,CE=4cm,那么BC=________cm,AC=________cm,AB=________cm.
图K-19-8
9.如图K-19-9,P为⊙O外一点,PA,PB分别切⊙O于点A,B,CD切⊙O于点E,分别交PA,PB于点C,D.若PA=5,则△PCD的周长为________.
图K-19-9
10.2018·湖州如图K-19-10,已知△ABC的内切圆⊙O与BC边相切于点D,连结OB,OD.若∠ABC=40°,则∠BOD的度数是________.
图K-19-10
11.如图K-19-11,在△ABC中,∠ACB=90°,⊙O是它的内切圆,∠BOC=105°,AB=12,则BC的长为________.
图K-19-11
三、解答题
12.如图K-19-12,P是⊙O外一点,PA,PB是⊙O的切线,A,B是切点,AB交OP于点C.
求证:
OP⊥AB且AC=BC.
图K-19-12
13.如图K-19-13,点E是△ABC的内心,AE的延长线与BC相交于点F,与△ABC的外接圆相交于点D.
求证:
(1)△BFD∽△ABD;
(2)DE=DB.
图K-19-13
14.2018·绵阳如图K-19-14,AB是⊙O的直径,点D在⊙O上(点D不与点A,B重合).直线AD交过点B的切线于点C,过点D作⊙O的切线DE交BC于点E.
(1)求证:
BE=CE;
(2)若DE∥AB,求sin∠ACO的值.
图K-19-14
素养提升 思维拓展 能力提升
分类思想如图K-19-15,在四边形ABCD中,AD∥BC,∠B=90°,AB=8cm,AD=24cm,BC=26cm,AB为⊙O的直径.动点P从点A开始沿AD边向点D以1cm/s的速度运动,动点Q从点C开始沿CB边向点B以3cm/s的速度运动,P,Q两点同时出发,当其中一点到达终点时,另一点也随之停止运动.设运动时间为ts,当t为何值时,直线PQ与⊙O相切、相离、相交?
图K-19-15
教师详解详析
[课堂达标]
1.[答案]B
2.[答案]B
3.[解析]C ∵⊙I是△ABC的内切圆,D,E,F都为切点,
∴ID⊥AB,IF⊥AC,
∴∠IDA=∠IFA=90°,
∴∠A+∠DIF=180°.
∵∠DIF=2∠DEF=2×52°=104°,
∴∠A=180°-104°=76°.
4.[解析]C 因为PA,PB是⊙O的两条切线,由切线长定理得∠APO=∠OPB=
∠APB=40°.连结OA,则∠OAP=90°,所以∠AOP=90°-40°=50°,
所以∠ADC=
∠AOP=25°.故选C.
5.[解析]C 在Rt△MBC中,∵∠C=60°,MB=2
,∴BC=2.∵AB为⊙O的直径,且AB⊥BC,∴BC为⊙O的切线.又∵CD也为⊙O的切线,∴CD=BC=2.
6.[答案]C
7.[解析]C 如图所示,连结OA,OB,则AO,BO分别是∠CAB与∠CBA的平分线,则∠EAO=∠OAB.又因为EF∥AB,所以∠EOA=∠OAB=∠EAO,所以AE=OE,同理可求出OF=BF,则EF=AE+BF.
8.[答案]10 6 8
9.[答案]10
[解析]∵PA,PB为⊙O的两条相交切线,
∴PA=PB.同理可得CA=CE,DE=DB.∵△PCD的周长=PC+CE+DE+PD,∴△PCD的周长=PC+CA+BD+PD=PA+PB=2PA,
∴△PCD的周长=10.
10.[答案]70°
[解析]∵△ABC的内切圆⊙O与BC边相切于点D,∴OB平分∠ABC,∠ODB=90°.∵∠ABC=40°,∴∠OBD=20°,
∴∠BOD=70°.故填70°.
11.[答案]6
12.证明:
∵PA,PB是⊙O的切线,A,B是切点,
∴PA=PB,∠APO=∠BPO(切线长定理),
∴OP⊥AB,AC=BC(等腰三角形“三线合一”).
13.证明:
(1)如图.∵E是△ABC的内心,
∴∠1=∠2.
又∵∠3=∠2,
∴∠1=∠3.
又∵∠D为△BFD与△ABD的公共角,
∴△BFD∽△ABD.
(2)连结BE,如图.
∵点E是△ABC的内心,
∴∠ABE=∠EBF.
又∵∠BED=∠1+∠ABE,∠DBE=∠EBF+∠3,
由
(1)得∠1=∠3,
∴∠BED=∠DBE,
∴DE=DB.
14.[解析]
(1)连结OD,利用切线长定理得到BE=DE,利用切线的性质得OD⊥DE,AB⊥CB,再根据等角的余角相等得到∠CDE=∠ACB,则CE=DE,从而得到BE=CE;
(2)过点O作OH⊥AD于点H,如图.设⊙O的半径为r,先证明四边形OBED为正方形得DE=CE=r,再利用△AOD和△CDE都为等腰直角三角形得到OH=DH=
r,CD=
r,接着根据勾股定理计算出OC=
r,然后根据正弦的定义求解.
解:
(1)证明:
连结OD,如图.
∵BE,DE为⊙O的切线,∴BE=DE,OD⊥DE,AB⊥BC,∴∠ADO+∠CDE=90°,∠A+∠ACB=90°.
∵OA=OD,∴∠A=∠ADO,∴∠CDE=∠ACB,∴CE=DE,∴BE=CE.
(2)过点O作OH⊥AD于点H,如图.
设⊙O的半径为r.
∵DE∥AB,∴∠DOB=∠DEB=90°,
∴四边形OBED为矩形.又∵OB=OD,
∴四边形OBED为正方形,∴DE=BE=r.
易得△AOD和△CDE都为等腰直角三角形,
∴OH=DH=
r,CD=
r.
在Rt△OCB中,OC=
=
r.
在Rt△OCH中,sin∠OCH=
=
=
,
即sin∠ACO的值为
.
[素养提升]
解:
设运动ts时,直线PQ与⊙O相切于点G,过P作PH⊥BC于点H,
则PH=AB=8,BH=AP=t,
可得HQ=|26-3t-t|=|26-4t|,
由切线长定理,得AP=PG,QG=BQ,
则PQ=PG+QG=AP+BQ=t+26-3t=26-2t.
由勾股定理,得PQ2=PH2+HQ2,
即(26-2t)2=82+(26-4t)2,
化简,得3t2-26t+16=0,
解得t1=
,t2=8,
所以当t=
或t=8时,直线PQ与⊙O相切.
因为t=0时,直线PQ与⊙O相交,
当t=
时,点Q运动到点B,点P尚未运动到点D,但也停止运动,直线PQ也与⊙O相交,
所以可得以下结论:
当t=
或t=8时,直线PQ与⊙O相切;
当0≤t<
或8<t≤
时,直线PQ与⊙O相交;
当
<t<8时,直线PQ与⊙O相离.