第五章相交线和平行线分析总结.docx

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第五章相交线和平行线分析总结

第五章相交线和平行线

5.1相交线

1、基础知识

1、邻补角：

具有一条公共边，另一边互为反向延长线这种关系的两个角互为邻补角。

2、对顶角：

具有有一个公共顶点，一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线这种关系的两个角互为对顶角。

3、垂直：

当两条相交线所形成角为90°时，两条线互相垂直。

4、垂线：

两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线。

5、垂足：

两条垂线的交点。

6、点到直线的距离：

直线外一点到这条直线垂线段的长度。

7、同位角：

具有分别在两条被截直线的同一方，并且都在截线的同侧这种关系的一对角。

8、内错角：

具有都在两条被截直线之间，并且分别在截线两侧这种关系的一对角。

9、同旁内角：

具有都在两条被截直线之间，并且都在截线同一旁这种关系的一对角。

2、应知应会

1、找出两条相交线的邻补角和对顶角，并根据其中一个角的度数确定其它三个角的度数。

2、过一点画一条直线的垂线。

3、能找出同位角、内错角、同旁内角。

3、方法规律

1、对顶角相等。

2、过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。

3、连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。

4、n条直线两两相交共有n（n-1）组对顶角。

5、n条直线将平面最多分成

块。

6、n条直线相交于一点共有n（n-1）组对顶角。

7、n条直线相交于一点共有2n（n-1）组邻补角。

4、拓展应用

1、下列说法正确的是（）

A．有公共顶点的两个角是对顶角

B．两条直线相交所成的角是邻补角

C．两条直线相交所成的无公共边的两个角是对顶角

D．有公共顶点且有一条公共边的两个角是邻补角

2、若直线a与直线b相交于点A，则直线b上到直线a距离等于2cm的点的个数是（）

3、已知，如图5-1-11所示，三条直线AB、CD、EF相交于点0，且

若OG平分∠BOF，则∠DOG=

4、已知，OC把∠AOB分成两部分，且有下列两个等式成立：

直角

平角

问：

（1）OA与OB的位置关系如何？

并说明理由．

（2）OC是否为∠AOB的平分线？

请写出判断的理由．

5.2平行线

一、基础知识

1、平行：

在同一平面内，一条直线和另一条直线不相交的位置，两条直线互相平行。

2、经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。

3、如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。

二、应知应会

1、过一点画已知直线的平行线。

2、通过已知条件证明结论。

三、方法规律

1、两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行。

2、两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行。

3、两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行。

四、拓展应用

1、如图，l∥m，等腰直角三角形ABC的直角顶点C在直线m上，若∠β=20°，则∠α的度数为（）。

2、

如图，已知直线a∥b,∠1=40°,∠2=60°,则∠3等于

3、如图是由五个同样的三角形组成的图案，三角形的三个角分别为36°，72°，72°，则图中共有______对平行线。

4、

如图，已知∠1+∠2=180°，∠3=∠B，试判断∠AED与∠ACB的大小关系，并说明理由．

5、已知AB∥CD，分别探讨下列四个图形中∠APC和∠PAB、∠PCD的关系．（只要求直接写出），并请你从所得四个关系中任意选出一个说明理由

5.3平行线的性质

1、基础知识

1、两条平行线被第三条直线所截，同位角相等。

2、两条平行线被第三条直线所截，内错角相等。

3、两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补。

4、命题：

判断一件事情的语句。

5、真命题：

正确的命题。

6、假命题：

错误的命题。

7、定理：

经过推理证实得到的真命题。

2、应知应会

1、利用已知条件，根据相关定理，推理结论的正确性。

2、依据平行线的性质，确定同位角、内错角、同旁内角的度数。

3、分辨命题的题设和结论。

4、判断命题的真假性。

四、拓展应用

1、如果两个角的两边分别平行，且其中一个角比另一个角的4倍少30°，那么这两个角分别是（）A．30°和150°B．42°和138°

C．都等于10°D．42°和138°或都等于10°

2、、一辆汽车在笔直的公路上行驶，两次拐弯后，仍在原来方向上平行行驶，则这两次拐弯的角度应为（）A．第一次向右拐38°，第二次向左拐142°B．第一次向左拐38°，第二次向右拐38°C．第一次向左拐38°，第二次向左拐142°D．第一次向右拐38°，第二次向右拐40°

3、

如图，把一个长方形纸片沿EF折叠后，点D、C分别落在D′、C′的位置．若∠EFB=65°，则∠AED′等于_____度。

4、已知直线MN∥BC，点A在直线MN上，点D在线段BC上，AB平分∠MAD，AC平分∠NAD．

（1）如图1，若DE⊥AC于E，求证：

∠1=∠2．

（2）若点F为线段AB上不与A、B重合的一动点，点H在AC上，FQ平分∠AFD交AC于Q，设∠HFQ=x°，∠MAB=α，∠BDF=β，点D在线段BC上（不与点B、C重合），问当α、β、x之间满足怎样的等量关系时，FH∥MN（如图2），试写出α、β、x之间满足的某种等量关系，并以此为条件证明FH∥MN。

5.4平移

1、基础知识

1、平移：

把一个图形整体沿某一直线方向移动，得到一个新的图形。

2、应知应会

1、分辨平移后的图形。

2、画出平移后的图形。

3、方法规律

1、平移后的图形与原图形的形状和大小完全相同。

2、连接各组对应的的线段平行且相等。

4、拓展应用

1、如图所示是重叠的两个直角三角形，将其中一个直角三角形沿BC方向平移得到△DEF。

如果AB=8cm，BE=4cm，DH=3cm，则图中线段CF为______cm，阴影部分面积为______cm2。

2、如图在方格纸中，线段a、b、c、d的端点在格点上，通过平移其中两条线段，使得和第三条线段首尾相接组成三角形，则能组成三角形的不同平移方法（　　）。

A、3种B、6种C、8种D、12种

3、某宾馆在重新装修后考虑在大厅内的主楼梯上铺设地毯，已知主其剖面如图所示，请你计算一下：

铺此楼梯，需要购买地毯的长是多少米？

4、如图在长为50m，宽为22m的长方形地面上修筑宽度都为2m的道路，

其他部分均种植花草,求出种值花草的面积是多少。

5、如图是一块从边长为50cm的正方形材料中截出的垫片，现测得FG=8cm求这个垫片的周长。

6、如图已知三角形ABC的面积为16，BC=8，现将三角形ABC沿直线BC向右平移a个单位到△DEF的位置。

当△ABC所扫过的面积为32时，求a的值。

7、如图所示矩形ABCD中，AB=6，第一次平移矩形ABCD沿AB的方向向右平移5个单位，得到矩形得到矩形A1B1C1D1，第2次平移将矩形A1B1C1D1沿A1B1的方向向右平移5个单位，得到矩形A2B2C2D2…，第n次平移将矩形An-1Bn-1Cn-1Dn-1沿An-1Bn-1的方向平移5个单位，得到矩形AnBnCnDn，若ABn的长为56，求n．

5.5小结

1、知识梳理

线的位置关系与所形成角的数量关系之间的逻辑联系。

相交：

对顶角、邻补角，特例：

垂线平移：

特征

平行：

内错角、同位角、同旁内角命题：

结构、分类

2、思想归纳

1、逆向分析思想：

通过对结论及其反面的分析，从未知条件寻找与已知条件的联系，从而发现解题的途径，这就是逆向分析思想。

常有逆推法，反证法等。

逆向思维法与顺向思维法是并立的。

当顺推法不易处理，陷入困境时，逆向思维会使“茅塞顿开”。

2、转换替代思想：

将一个未知量用与其相等的其它量进行等量替换，再通过对替换后的量重新组合，得到可用已知量表示的量。

3、特殊一般思想：

先代入一些简单的数值，后分析它们共同具有的特征，抽象出数量关系和变化规律，然作出一般的结论。

4、联系转移思想：

一些问题无法直接求出，需要运用相关方法将其与已学过的知识点联系起来，转化为与学过的知识点相关的问题。

三、方法规律

1、

角度的有关计算

1.1利用三线八角的数量关系，寻找所求量与已知量的关系。

例：

已知L1∥L2，则∠1+∠2-∠3的度数为。

1.2根据图形及已知条件，利用解方程的方法求解。

例：

如图，已知AB∥EF∥CD，EG平分∠BEF，∠B+∠BED+∠D=192°，

∠B-∠D=24°，求∠GEF的度数。

2、直线、角度关系的有关证明

每一道证明题都是由已知的条件和求证的结论两部分组成的。

我们的任务就是根据题目中的已知条件，运用有关的概念、公理、定理，进行逻辑推理，逐步地推出求证的结论来。

2.1做证明题的基本能力：

2.1.1看清题目意思:

分清什么是已知条件，什么是求证结论。

2.1.2熟悉证明依据:

能熟练运用与题意有关的概念、公理和定理。

2.1.3掌握推理格式:

能正确地运用合乎逻辑的推理、证明。

2.1.4积累解题思路:

通过“学”、“练”结合，拓展解题思路。

2.2审题的一般步骤：

审题是能否看清题意的基础。

2.2.1一题到手，首先弄清题目中出现了哪几个主要的概念，并回忆出它们的定义来。

2.2.2根据题意分清什么是已知条件，什么要求证的结论。

2.2.3有的题目还需要根据题意作图，或者运用数学符号和数字术语，写出已知与求证，即把普通语言“转译”成数学语言表达的题目，以使题目内容更加明确，证明过程更加清楚。

2.3推理格式：

证明的依据是概念、公理、定理，它们都是基础知识。

我们不但要正确地理解它们，还要牢固地记忆它们与灵活地运用它们。

为了正确地进行推理、证明，我们仅仅会“看清题意”和熟悉依据还不够。

也就是说，我们虽然对于要证明的题目已知，会用已知条件和有关概念、公理、定理来逐步地推出求证结论来，还是不够的。

还需要掌握一些基本的证明方法与推理格式，善于用数学语言来表达自己的思维过程。

2.3.1综合法顺证格式：

从已知条件出发，顺着推证：

由“已知”得“推知”，由“推知”得“未知”，逐步推出求证的结论，这就是顺推法的格式。

综合法是最常见的推理证明方法，它的书面表达常用“∵ ∴”。

2.3.2分析法逆推格式：

分析法证明的思路与综合法正好相反，它是从要求证的结论出发，倒着分析，由未知想需知，由需知逐渐地靠近已知（已知条件、已经学过的定义、定理、公理、公式、法则等等）。

这种证明方法的关键在于要保证分析过程的每一步都是可以逆推的。

在通常做数学证明题时，我们一般不用分析法逆推格式来书写表达证明的过程，而是常常采用综合法顺证格式。

用综合法顺着证明（即由已知到求证）有时思路不一定好想，因此，常在草稿纸上用分析法逆推来“想”，等找到证明的思路之后，再用综合法顺证格式来写。

通常称为“逆推顺证”的方法。

2.4积累证题思路 

所谓“解题思路”就是能够沟通要被证明的命题中的已知条件与求证结论之间的逻辑“通道”。

实现数证明的关键在于能够准确、迅速地探求出已知条件到达求证结论的一条逻辑“路径”。

2.4.1两头挤法

2.4.1.1分析综合法：

从求证的结论出发，反推分析、又从已知条件出发，综合证明，从而在某个中间环节达到同一。

例：

如图1－34所示．已知CD平分∠ACB，且DE∥AC，CD∥EF．

求证：

EF平分∠DEB。

2.4.1.2左右同一法：

恒等式的证明一般都是由繁到简，如果原式的左边和右边都比较繁，则可分别从左与右化简，在中间环节达到同一。

2.4.2辅助元素法

有的证明题，用两头挤法分析之后，发现原有的已知条件与求证结论之间难以找到直接的逻辑通道，它们之间的联系是间接的。

这样一来，问题的关键就在于：

引进某一个或某几个起连接作用的辅助元素，怎样寻找这种辅助元素，没有一成不变的办法，只有靠具体问题具体分析，与多多积累解题经验。

2.4.2.1添辅助线法：

这是平面几何中常采用的方法，正确添加的辅助线，在题目中一般都起着某种“桥梁”作用，将已知条件与求证结论沟通起来，形成一条逻辑通道。

例：

如图13-23，已知AB∥CD，∠EAF=

EAB，∠ECF=

∠ECD，那么∠AEC与∠AFC的大小关系可用等式表示为。

2.4.2.2设辅助未知数法（换元法或变量替换法），使用辅助元素法，多称为换元法。

“换元”通常可以使原有运算关系大大简化，逻辑层次脉络分明，有利于问题的解决。

2.4.3计算证明法

2.4.3.1利用方程的方法，运用方程的方法来证明几何问题，从而将几何图形数量化，然后进行计算型的证明推理。

2.4.3.2运用数形结合法，运用数轴方法将几何问题转化为代数问题。

把与几何图形的性质有关的问题，化为有关角的数量关系问题。

2.4.4等量替换

同一量往往可以表示为不同的几个量的组合，而每一种组合往往能够比较准确、比较明显地反映该量的某种特殊性质。

在不同的问题中，根据具体问题的需要，恰到好处地选用合适的一种组合形式，从而比较顺利地解决问题。

例：

如图，已知AB∥CD，且∠B=40°，∠D=70°，求∠DEB的度数。

2.4.5反证法

当论题从正面不容易或不能得到证明时，就需要运用反证法，此即所谓"正难则反"。

它首先假设某命题不成立（即在原命题的题设下，结论不成立），然后推理出明显矛盾的结果，从而下结论说假设不成立，原命题得证。

证明步骤：

（1）反设：

假设命题结论不成立，即假设结论的反面成立。

（2）归谬：

从这个命题出发，经过推理证明得出矛盾。

（3）结论：

由矛盾判断假设不成立，从而肯定命题的结论正确。

例1：

如图，直线AB与CD相交于O，EFAB于F，GHCD于H，求证EF与GH必相交。

分析：

欲证EF与GH相交，直接证很困难，可考虑用反证法。

证明：

假设EF与GH不相交。

∵EF、GH是两条不同的直线

∴EF∥GH

∵EF⊥AB

∴GH⊥AB

又因GH⊥CD故AB∥CD（垂直于同一直线的两直线平行）

这与已知AB和CD相交矛盾。

所以EF与GH不平行，即EF与GH必相交

例2：

平面上n条直线两两相交，求证所成得的角中至少有一个角不大于

。

证明：

平面上n条直线两两相交最多得对顶角n（n-1）对，即2n（n-1）个角。

平面上任取一点O，将这n条直线均平行移动过点O，成为交于一点O的n条直线，

这n条直线将以O为顶点的圆周角分为2n个（共n对）互不重叠的角：

α1、α2、α3、…、α2n，由平行线的性质知，这2n个角中每一个都和原来n条直线中的某两条直线的交角中的一个角相等，即这2n个角均是原2n（n-1）个角中的角。

由平行线的性质知，这2n个角中每一个都和原来n条直线中的某两条直线的交角中的一个角相等，即这2n个角均是原2n（n-1）个角中的角。

若这2n个角均大于

，则α1+α2+α3+…+α2n＞2n×

=360°

而α1+α2+α3+…+α2n=360°

评注：

通过平移，可以把原来分散的直线集中交于同一点，从而解决问题。

例3：

能否在平面上画出7条直线（任意3条都不共点），使得它们中的每条直线都恰

与另3条直线相交，如果能请画出一例，如果不能请简述理由。

在平面上不能画出没有3线共点的7条直线，使得中每条直线都恰与另外3条直线相交。

理由如下：

假设平面上可以画出7条直线，其中每一条都恰与其它3条相交，因两直线相交只有一个交点，又没有3条直线共点，所以每条直线上恰有与另3条直线交得的3个不同的交点。

根据直线去计数这些交点，共有3×7＝21个交点，但每个交点分属两条直线，被重复计数一次，所以这7条直线交点总数为

＝10.5个，因为交点个数应为整数，矛盾。

所以，满足题设条件的7条直线是画不出来的。

四、拓展提高

1、如图所示，AB∥CD，P为定点，E、F分别是AB、CD上的动点。

（1）求证：

∠P=∠BEP+∠PFD；

（2）若M为CD上一点，如图2，∠FMN=∠BEP，且MN交PF于N．试说明∠EPF与∠PNM关系，并证明你的结论；

（3）移动E、F使得∠EPF=90°，如图3，作∠PEG=∠BEP，求∠AEG与∠PFD度数的比值。

2、如图所示，已知BC∥OA，∠A=∠B=100°，试回答下列问题：

⑴试说明：

OB∥AC；

⑵如图②，若点E、F在BC上，且∠FOC=∠AOC，OE平分∠BOF．试求∠EOC的度数；

⑶在⑵的条件下，若左右平行移动AC，如图③，那么∠OCB:

∠OFB的比值是否随之发生变化？

若变化，试说明理由；若不变，求出这个比值；

⑷在⑶的条件下，当∠OEB=∠OCA时，试求∠OCA的度数．

3、如果两个角的两边分别垂直，而其中一个角比另一个角的4倍少30°，那么这两个角分别为。

4、

如下图，AB∥CD,由B点出发作n条直线BB1，B1B2，B2B3，…，Bn-1D，则∠ABB1-∠BB1B2+∠B1B2B3-…+∠Bn-1DC＝．

5、如图，已知∠1=∠2，∠3=∠4，CE//AB，试说明：

AD//BC

6、已知锐角三角形ABC的三边长为a，b，c，而ha，hb，hc分别为对应边上的高线长，说明：

ha+hb+hc＜a+b+c

7、6个不同的点，其中只有3点在同一条直线上，2点确定一条直线，问能确定多少条直线？