甘肃省兰州市届高三一诊数学文试题.docx
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甘肃省兰州市届高三一诊数学文试题
甘肃省兰州市2019届高三一诊数学（文）试题
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．设集合M={x|x2+3x+2＜0}，集合，则M∪N=（ ）
A．{x|x≥﹣2}B．{x|x＞﹣1}C．{x|x＜﹣1}D．{x|x≤﹣2}
2．下面是关于复数的四个命题：
p1：
|z|=2，
p2：
z2=2i，
p3：
z的共轭复数为﹣1+i，
p4：
z的虚部为1．
其中真命题为（ ）
A．p2，p3B．p1，p2C．p2，p4D．p3，p4
3．下列推断错误的是（ ）
A．命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题为“若x≠1则x2﹣3x+2≠0”
B．命题p：
存在x0∈R，使得x02+x0+1＜0，则非p：
任意x∈R，都有x2+x+1≥0
C．若p且q为假命题，则p，q均为假命题
D．“x＜1”是“x2﹣3x+2＞0”的充分不必要条件
4．若一个底面为正三角形、侧棱与底面垂直的棱柱的三视图如下图所示，则这个棱柱的体积为（ ）
A．B．C．D．6
5．已知平面向量与的夹角为，且||=1，|+2|=2，则||=（ ）
A．1B．C．3D．2
6．函数y=a1﹣x（a＞0，a≠1）的图象恒过定点A，若点A在直线mx+ny﹣1=0（mn＞0）上，则的最小值为（ ）
A．3B．4C．5D．6
7．等比数列{an}中，a4=2，a5=5，则数列{lgan}的前8项和等于（ ）
A．6B．5C．3D．4
8．已知集合表示的平面区域为Ω，若在区域Ω内任取一点P（x，y），则点P的坐标满足不等式x2+y2≤2的概率为（ ）
A．B．C．D．
9．已知函数f（x）的定义域为[﹣1，4]，部分对应值如下表，f（x）的导函数y=f′（x）的图象如图所示．
x
﹣1
0
2
3
4
f（x）
1
2
0
2
0
当1＜a＜2时，函数y=f（x）﹣a的零点的个数为（ ）
A．2B．3C．4D．5
10．定义行列式运算：
．若将函数的图象向左平移m（m＞0）个单位后，所得图象对应的函数为奇函数，则m的最小值是（ ）
A．B．C．D．
11．已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点O，并且经过点M（2，y0）．若点M到该抛物线焦点的距离为3，则|OM|=（ ）
A．B．C．4D．
12．设f（x）是定义在R上的恒不为零的函数，对任意实数x，y∈R，都有f（x）•f（y）=f（x+y），若a1=，an=f（n）（n∈N*），则数列{an}的前n项和Sn的取值范围是（ ）
A．[，2）B．[，2]C．[，1）D．[，1]
第Ⅱ卷
本卷包括必考和选考题两部分。
第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须作答。
第22～24题为选考题，其它题为必考题。
考生根据要求作答。
二．填空题：
本大题共4小题，每题5分。
13．若，则=．
14．有一底面半径为l，高为2的圆柱，点O为这个圆柱底面圆的圆心．在这个圆柱内随机取一点P，则点P到点O的距离大于1的概率为.
15．已知实数x，y满足不等式组，若目标函数仅在点（1，k）处取得最小值，则实数k的取值范围是．
16．已知点A（，）在抛物线C：
y2=2px（p>0）的准线上，点M、N在抛物线C上，且位于x轴的两侧，O是坐标原点，若=3，则点A到动直线MN的最大距离为．
三、解答题：
解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17．（本小题满分12分）
已知函数．
（Ⅰ）求函数的最小正周期及单调递增区间；
（Ⅱ）已知，且，求的值．
18．（本小题满分分）
为加快新能源汽车产业发展，推进节能减排，国家鼓励消费者购买新能源汽车。
某校研究性学习小组，从汽车市场上随机选取了辆纯电动乘用车，根据其续驶里程（单次充电后能行驶的最大里程）作出了频率与频数的统计表：
分组
频数
频率
10
30
合计
（Ⅰ）求，，，的值；
（Ⅱ）若用分层抽样的方法从这辆纯电动乘用车中抽取一个容量为6的样本，从该样本中任选辆，求选到的辆车续驶里程为的概率。
19．（本小题满分分）
如图，直三棱柱中，，，是的中点，△是等腰三角形，为的中点，为上一点且。
（Ⅰ）证明：
∥平面；
（Ⅱ）若，求三棱锥的体积。
.
20．（本小题满分分）
已知椭圆的离心率为，短轴一个端点到上焦点的距离为.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）过点作直线与椭圆相交于两点，直线是过点且与轴平行的直线，设是直线上一动点，满足（为坐标原点）.问是否存在这样的直线，使得四边形为矩形？
若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由.
21．（本小题满分12分）
已知函数．
（Ⅰ）求函数的单调区间；
（Ⅱ）试问过点可作多少条直线与曲线相切?
请说明理由
四、选做题（本小题满分10分，请考生22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分）
22.（本小题满分10分）选修4—4:
坐标系与参数方程．
极坐标系与直角坐标系xOy有相同的长度单位，以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴。
已知曲线C1的极坐标方程为，曲线C2的极坐标方程为，射线与曲线C1分别交异于极点O的四点A，B，C，D.
（1）若曲线C1关于曲线C2对称，求a的值，并把曲线C1和C2化成直角坐标方程；
（2）求|OA|·|OC|+|OB|·|OD|的值.
23.（本小题满分10分）选修4-4：
坐标系与参数方程
已知函数．
（I）若不等式的解集为，求实数a的值；
（II）在（I）的条件下，若存在实数使成立，求实数的取值范围．
甘肃省兰州市2019届高三一诊数学（文）试题答案
一、选择题
1．设集合M={x|x2+3x+2＜0}，集合，则M∪N=（ ）
A．{x|x≥﹣2}B．{x|x＞﹣1}C．{x|x＜﹣1}D．{x|x≤﹣2}
【考点】并集及其运算；指数函数的单调性与特殊点；一元二次不等式的解法．
【专题】计算题．
【分析】根据题意先求出集合M和集合N，再求M∪N．
【解答】解：
∵集合M={x|x2+3x+2＜0}={x|﹣2＜x＜﹣1}，
集合={x|2﹣x≤22}={x|﹣x≤2}={x|x≥﹣2}，
∴M∪N={x|x≥﹣2}，
故选A．
【点评】本题考查集合的运算，解题时要认真审题，仔细解答．
2．下面是关于复数的四个命题：
p1：
|z|=2，
p2：
z2=2i，
p3：
z的共轭复数为﹣1+i，
p4：
z的虚部为1．
其中真命题为（ ）
A．p2，p3B．p1，p2C．p2，p4D．p3，p4
【考点】命题的真假判断与应用；复数代数形式的乘除运算．
【专题】计算题；函数的性质及应用．
【分析】求出|z|，可判断p1的真假；化简z2，可判断p2的真假；，可得z的共轭复数为1﹣i，z的虚部为1，由此可得结论．
【解答】解：
p1：
|z|==，故命题为假；
p2：
z2===2i，故命题为真；
，∴z的共轭复数为1﹣i，故命题p3为假；
∵，∴p4：
z的虚部为1，故命题为真．
故真命题为p2，p4
故选：
C．
【点评】本题考查命题真假的判定，考查复数知识，考查学生的计算能力，属于基础题．
3．下列推断错误的是（ ）
A．命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题为“若x≠1则x2﹣3x+2≠0”
B．命题p：
存在x0∈R，使得x02+x0+1＜0，则非p：
任意x∈R，都有x2+x+1≥0
C．若p且q为假命题，则p，q均为假命题
D．“x＜1”是“x2﹣3x+2＞0”的充分不必要条件
【考点】命题的真假判断与应用．
【专题】简易逻辑．
【分析】A，写出命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题，可判断A；
B，写出命题p：
“存在x0∈R，使得x02+x0+1＜0”的否定￢p，可判断B；
C，利用复合命题的真值表可判断C；
D，x2﹣3x+2＞0⇒x＞2或x＜1，利用充分必要条件的概念可判断D．
【解答】解：
对于A，命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题为“若x≠1则x2﹣3x+2≠0”，正确；
对于B，命题p：
存在x0∈R，使得x02+x0+1＜0，则非p：
任意x∈R，都有x2+x+1≥0，正确；
对于C，若p且q为假命题，则p，q至少有一个为假命题，故C错误；
对于D，x2﹣3x+2＞0⇒x＞2或x＜1，故“x＜1”是“x2﹣3x+2＞0”的充分不必要条件，正确．
综上所述，错误的选项为：
C，
故选：
C．
【点评】本题考查命题的真假判断与应用，着重考查全称命题与特称命题的理解与应用，考查复合命题与充分必要条件的真假判断，属于中档题．
4．若一个底面为正三角形、侧棱与底面垂直的棱柱的三视图如下图所示，则这个棱柱的体积为（ ）
A．B．C．D．6
【考点】由三视图求面积、体积．
【专题】计算题．
【分析】由三视图及题设条件知，此几何体为一个三棱柱，其高已知，底面正三角形的高为，故先解三角形求出底面积，再由体积公式求解其体积即可．
【解答】解：
此几何体为一个三棱柱，棱柱的高是4，底面正三角形的高是，
设底面边长为a，则，∴a=6，
故三棱柱体积．
故选B
【点评】本题考点是由三视图求几何体的面积、体积，考查对三视图的理解与应用，主要考查三视图与实物图之间的关系，用三视图中的数据还原出实物图的数据，再根据相关的公式求表面积与体积，本题求的是本棱柱的体积．三视图的投影规则是：
“主视、俯视长对正；主视、左视高平齐，左视、俯视宽相等”．三视图是新课标的新增内容，在以后的高考中有加强的可能．
5．已知平面向量与的夹角为，且||=1，|+2|=2，则||=（ ）
A．1B．C．3D．2
【考点】平面向量数量积的运算．
【专题】平面向量及应用．
【分析】由已知将，|+2|=2，两边平方，得到，的模的等式，解之即可．
【解答】解：
由已知，|+2|2=12，即，所以||2+4||||×+4=12，所以||=2；
故选D．
【点评】本题考查了向量的模的求法；一般的，要求向量的模，先求向量的平方．
6．函数y=a1﹣x（a＞0，a≠1）的图象恒过定点A，若点A在直线mx+ny﹣1=0（mn＞0）上，则的最小值为（ ）
A．3B．4C．5D．6
【考点】基本不等式．
【专题】不等式的解法及应用．
【分析】函数y=a1﹣x（a＞0，a≠1）的图象恒过定点A（1，1），由于点A在直线mx+ny﹣1=0（mn＞0）上，可得m+n=1．再利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．
【解答】解：
函数y=a1﹣x（a＞0，a≠1）的图象恒过定点A（1，1），
∵点A在直线mx+ny﹣1=0（mn＞0）上，
∴m+n=1．
则=（m+n）=2+=4，当且仅当m=n=时取等号．
故选：
B．
【点评】本题考查了“乘1法”与基本不等式的性质、指数函数的性质，属于基础题．
7．等比数列{an}中，a4=2，a5=5，则数列{lgan}的前8项和等于（ ）
A．6B．5C．3D．4
【考点】等差数列与等比数列的综合；等比数列的通项公式；等比数列的前n项和．
【专题】等差数列与等比数列．
【分析】由等比数列的性质可得a1•a8=a2•a7=…a4•a5=10，由对数的运算性质，整体代入计算可得．
【解答】解：
∵等比数列{an}中a4=2，a5=5，
∴a4•a5=2×5=10，
∴数列{lgan}的前8项和S=lga1+lga2+…+lga8
=lg（a
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