全国高中数学竞赛专题三角函数.docx
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全国高中数学竞赛专题三角函数
三角恒等式与三角不等式
一、基础知识
定义1角:
一条射线绕着它的端点旋转得到的图形叫做角。
角的大小是任意的。
若旋转方向为逆时针方向,则角为正角,若旋转方向为顺时针方向,则角为负角,若不旋转则为零角。
定义2角度制:
把一周角360等分,每一等分为一度。
弧度制:
把等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做一弧度。
360度=2π弧度。
若圆心角的弧长为L,则其弧度数的绝对值|α|=
其中r是圆的半径。
定义3三角函数:
在直角坐标平面内,把角α的顶点放在原点,始边与x轴的正半轴重合,在角的终边上任意取一个不同于原点的点P,设它的坐标为(x,y),到原点的距离为r,则正弦函数sinα=
余弦函数cosα=
正切函数tanα=
,余切函数cotα=
,正割函数secα=
余割函数cscα=
定理1同角三角函数的基本关系式,倒数关系:
tanα=
sinα=
,cosα=
;
商数关系:
tanα=
;
乘积关系:
tanα×cosα=sinα,cotα×sinα=cosα;
平方关系:
sin2α+cos2α=1,tan2α+1=sec2α,cot2α+1=csc2α.
定理2诱导公式(Ⅰ)sin(α+π)=-sinα,cos(π+α)=-cosα,tan(π+α)=tanα,cot(π+α)=cotα;
(Ⅱ)sin(-α)=-sinα,cos(-α)=cosα,tan(-α)=-tanα,cot(-α)=cotα;
(Ⅲ)sin(π-α)=sinα,cos(π-α)=-cosα,tan=(π-α)=-tanα,cot(π-α)=-cotα;
(Ⅳ)sin
=cosα,cos
=sinα,tan
=cotα(奇变偶不变,符号看象限)。
定理3正弦函数的性质,根据图象可得y=sinx(x∈R)的性质如下。
单调区间:
在区间
上为增函数,在区间
上为减函数,
最小正周期:
2
.奇偶性:
奇函数
有界性:
当且仅当x=2kx+
时,y取最大值1,当且仅当x=3k
-
时,y取最小值-1,值域为[-1,1]。
对称性:
直线x=k
+
均为其对称轴,点(k
0)均为其对称中心。
这里k∈Z.
定理4余弦函数的性质,根据图象可得y=cosx(x∈R)的性质。
单调区间:
在区间[2kπ,2kπ+π]上单调递减,在区间[2kπ-π,2kπ]上单调递增。
最小正周期:
2π。
奇偶性:
偶函数。
有界性:
当且仅当x=2kπ时,y取最大值1;当且仅当x=2kπ-π时,y取最小值-1。
值域为[-1,1]。
对称性:
直线x=kπ均为其对称轴,点
均为其对称中心。
这里k∈Z.
定理5正切函数的性质:
由图象知奇函数y=tanx(x
kπ+
)在开区间(kπ-
kπ+
)上为增函数,
最小正周期为π,值域为(-∞,+∞),点(kπ,0),(kπ+
,0)均为其对称中心。
定理6两角和与差的基本关系式:
cos(α
β)=cosαcosβ
sinαsinβ,
sin(α
β)=sinαcosβ
cosαsinβ;
tan(α
β)=
两角和与差的变式:
三角和的正切公式:
定理7和差化积与积化和差公式:
sinα+sinβ=2sin
cos
sinα-sinβ=2sin
cos
cosα+cosβ=2cos
cos
cosα-cosβ=-2sin
sin
sinαcosβ=
[sin(α+β)+sin(α-β)],cosαsinβ=
[sin(α+β)-sin(α-β)],
cosαcosβ=
[cos(α+β)+cos(α-β)],sinαsinβ=-
[cos(α+β)-cos(α-β)].
定理8二倍角公式:
sin2α=2sinαcosα,cos2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α,tan2α=
三倍角公式及变式:
,
,
定理9半角公式:
sin
=
cos
=
tan
=
=
定理10万能公式:
定理11辅助角公式:
如果a,b是实数且a2+b2
0,则取始边在x轴正半轴,终边经过点(a,b)的一个角为β,
则sinβ=
cosβ=
,对任意的角α.asinα+bcosα=
sin(α+β).
定理12正弦定理:
在任意△ABC中有
,
其中a,b,c分别是角A,B,C的对边,R为△ABC外接圆半径。
定理13余弦定理:
在任意△ABC中有a2=b2+c2-2bcosA,其中a,b,c分别是角A,B,C的对边。
定理14射影定理:
在任意△ABC中有
,
,
定理15欧拉定理:
在任意△ABC中,
,其中O,I分别为△ABC的外心和内心。
定理16面积公式:
在任意△ABC中,外接圆半径为R,内切圆半径为r,半周长
则
定理17与△ABC三个内角有关的公式:
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
定理18图象之间的关系:
y=sinx的图象经上下平移得y=sinx+k的图象;经左右平移得y=sin(x+
)的图象(相位变换);纵坐标不变,横坐标变为原来的
,得到y=sin
(
)的图象(周期变换);横坐标不变,纵坐标变为原来的A倍,得到y=Asinx的图象(振幅变换);y=Asin(
x+
)(
>0)的图象(周期变换);横坐标不变,纵坐标变为原来的A倍,得到y=Asinx的图象(振幅变换);y=Asin(
x+
)(
>0)(|A|叫作振幅)的图象向右平移
个单位得到y=Asin
x的图象。
定义4函数y=sinx
的反函数叫反正弦函数,记作y=arcsinx(x∈[-1,1]),
函数y=cosx(x∈[0,π])的反函数叫反余弦函数,记作y=arccosx(x∈[-1,1]).
函数y=tanx
的反函数叫反正切函数。
记作y=arctanx(x∈[-∞,+∞]).
函数y=cotx(x∈[0,π])的反函数称为反余切函数,记作y=arccotx(x∈[-∞,+∞]).
定理19三角方程的解集,如果a∈(-1,1),方程sinx=a的解集是{x|x=nπ+(-1)narcsina,n∈Z}。
方程cosx=a的解集是{x|x=2kx
arccosa,k∈Z}.
如果a∈R,方程tanx=a的解集是{x|x=kπ+arctana,k∈Z}。
恒等式:
arcsina+arccosa=
;arctana+arccota=
.
定理20若干有用的不等式:
(1)若
,则sinx(2)函数
在
上为减函数;函数
在
上为增函数。
(3)嵌入不等式:
设A+B+C=π,则对任意的x,y,z∈R,
有
等号成立当且仅当yzsinA=zxsinB=xysinC.
二、方法与例题
1.结合图象解题。
例1求方程sinx=lg|x|的解的个数。
【解】在同一坐标系内画出函数y=sinx与y=lg|x|的图象,由图象可知两者有6个交点,故方程有6个解。
2.三角函数性质的应用。
例2设x∈(0,π),试比较cos(sinx)与sin(cosx)的大小。
【解】若
,则-1,
所以sin(cosx)≤0,又00,所以cos(sinx)>sin(cosx).
若
,则因为sinx+cosx=
sin(x+
)≤
<
,所以0-cosx<
,
所以cos(sinx)>cos(
-cosx)=sin(cosx).
综上,当x∈(0,π)时,总有cos(sinx)3.最小正周期的确定。
例3求函数y=sin(2cos|x|)的最小正周期。
【解】因为cos(-x)=cosx,所以cos|x|=cosx,所以T=2π是函数的周期;
4.三角最值问题。
例4已知函数y=sinx+
,求函数的最大值与最小值。
【解法一】令sinx=
则有y=
因为
,所以
,所以
≤1,
所以当
,即x=2kπ-
(k∈Z)时,ymin=0,当
,即x=2kπ+
(k∈Z)时,ymax=2.
【解法二】因为y=sinx+
=2(因为(a+b)2≤2(a2+b2)),
且|sinx|≤1≤
,所以0≤sinx+
≤2,
所以当
=sinx,即x=2kπ+
(k∈Z)时,ymax=2,
当
=-sinx,即x=2kπ-
(k∈Z)时,ymin=0。
5.换元法的使用。
例5求
的值域。
【解】设t=sinx+cosx=
因为
所以
又因为t2=1+2sinxcosx,所以sinxcosx=
,所以
,所以
因为t
-1,所以
,所以y
-1.所以函数值域为
6.图象变换:
y=sinx(x∈R)与y=Asin(
x+
)(A,
>0).
例6已知f(x)=sin(
x+
)(
>0,0≤
≤π)是R上的偶函数,其图象关于点
对称,且在区间
上是单调函数,求
和
的值。
【解】由f(x)是偶函数,所以f(-x)=f(x),所以sin(
x+
)=sin(-
x+
),
所以cos
sinx=0,对任意x∈R成立。
又0≤
≤π,解得
=
,
因为f(x)图象关于
对称,所以
=0。
取x=0,得
=0,所以sin
所以
(k∈Z),即
=
(2k+1)(k∈Z).
又
>0,取k=0时,此时f(x)=sin(2x+
)在[0,
]上是减函数;
取k=1时,
=2,此时f(x)=sin(2x+
)在[0,
]上是减函数;
取k=2时,
≥
,此时f(x)=sin(
x+
)在[0,
]上不是单调函数,
综上,
=
或2。
7.三角公式的应用。
例7已知sin(α-β)=
,sin(α+β)=-
,且α-β∈
,α+β∈
,求sin2α,cos2β的值。
【解】因为α-β∈
,所以cos(α-β)=-
又因为α+β∈
,所以cos(α+β)=
所以sin2α=sin[(α+β)+(α-β)]=sin(α+β)cos(α-β)+cos(α+β)sin(α-β)=
cos2β=cos[(α+β)-(α-β)]=cos(α+β)cos(α-β)+sin(α+β)sin(α-β)=-1.
例8已知△ABC的三个内角A,B,C成等差数列,且
,试求
的值。
【解】因为A=1200-C,所以cos
=cos(600-C),
又由于
=
,
所以
=0。
解得
或
。
又
>0,所以
。
例9求证:
tan20
+4cos70
=
【解】tan20
+4cos70
=
+4sin20
例10证明:
分析:
等号左边涉及角7x、5x、3x、x右边仅涉及角x,可将左边各项逐步转化为
、
的表达式,但相对较繁.观察到右边的次数较高,可尝试降次.
证明:
因为
从而有
评述:
本题看似“化简为繁”,实质上抓住了降次这一关键,很是简捷.另本题也可利用复数求解.令
,展开即可.
例11已知
证明:
例12证明:
对任一自然数n及任意实数
为任一整数),
有
思路分析:
本题左边为n项的和,右边