长沙中考数学专题训练2反比例函数与几何图形结合6道.docx

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长沙中考数学专题训练2反比例函数与几何图形结合6道

反比例函数与几何图形结合

1．如图，已知点A（5，0），B（0，5），把一个直角三角尺DEF放在△OAB内，使其斜边FD在线段AB上，三角尺可沿着线段AB上下滑动，其中∠EFD＝45°，ED＝2，点G为边FD的中点．

（1）求直线AB的解析式；

（2）如图，当点D与点A重合时，求经过点G的反比例函数y＝（k≠0）的解析式；

（3）在三角尺滑动的过程中，经过点G的反比例函数的图象能否同时经过点F？

如果能，求出此时反比例函数的解析式；如果不能，请说明理由．

解：

（1）设直线AB的解析式为y＝ax＋b，

把A、B的坐标分别代入可得，

解得，

∴直线AB的解析式为y＝－x＋5；

（2）∵A（5，0），

∴OA＝5，

当D与A重合时，则OE＝OD－DE＝5－2＝3，

∵∠EFD＝45°，

∴EF＝DE＝2，

∴F（3，2），D（5，0），

∵G为DF的中点，

∴G（4，1），

∵点G在y＝图象上，

∴k＝4×1＝4，

∴经过点G的反比例函数的解析式为y＝；

（3）设F（t，－t＋5），

则D点横坐标为t＋2，代入直线AB的解析式可得y＝－（t＋2）＋5＝－t＋3，

∴D（t＋2，－t＋3），

∵G为DF的中点，

∴G（t＋1，－t＋4），

若反比例函数图象同时过G、F点，则可得t（－t＋5）＝（t＋1）（－t＋4），

解得t＝2，此时F点坐标为（2，3），

设经过F、G的反比例函数解析式为y＝，则s＝2×3＝6，

∴经过点G的反比例函数的图象能同时经过点F，其函数解析式为y＝.

2.如图，一次函数y＝kx＋b的图象与反比例函数y＝的图象相交于点A（－2，1），点B（1，n）．

（1）求此一次函数和反比例函数的解析式；

（2）请直接写出满足不等式kx＋b－＜0的解集；

第2题图

（3）如图，在平面直角坐标系的第二象限内边长为1的正方形EFDG的边均平行于坐标轴，若点E（－a，a），当曲线y＝（x＜0）与正方形EFDG的边有交点时，求a的取值范围．

解：

（1）∵点A（－2，1）在反比例函数y＝的图象上，

∴m＝－2×1＝－2，

∴反比例函数的解析式为y＝－；

∵点B（1，n）在反比例函数y＝－的图象上，

∴－2＝n，即点B的坐标为（1，－2）．

将点A（－2，1）、B（1，－2）分别代入y＝kx＋b中得：

，解得，

∴一次函数的解析式为y＝－x－1；

（2）∵－x－1－（－）＜0，∴－x－1＜－，

观察两函数图象，发现：

当－2＜x＜0或x＞1时，一次函数图象在反比例函数图象的下方，

∴满足不等式kx＋b－＜0的解集为－2＜x＜0或x＞1；

（3）过点O、E作直线OE，如解图所示．

第2题解图

∵点E的坐标为（－a，a），

∴直线OE的解析式为y＝－x.

∵四边形EFDG是边长为1的正方形，且各边均平行于坐标轴，

∴点D的坐标为（－a＋1，a－1），

代入直线y＝－x，得：

a－1＝－（－a＋1），

∴点D在直线OE上．

将y＝－x代入y＝－（x＜0）得：

－x＝－，即x2＝2，

解得x＝－或x＝（舍去）．

∵曲线y＝－（x＜0）与正方形EFDG的边有交点，

∴－a≤－≤－a＋1，解得≤a≤＋1.

故当曲线y＝（x＜0）与正方形EFDG的边有交点时，a的取值范围为≤a≤＋1.

3.如图，一次函数y＝－x＋b与反比例函数y＝（x>0）的图象交于点A（m，3）和B（3，1）．

第3题图

（1）填空：

一次函数的解析式为________，反比例函数的解析式为________；

（2）点P是线段AB上一点，过点P作PD⊥x轴于点D，连接OP，若△POD的面积为S，求S的取值范围．

解：

（1）y＝－x＋4，y＝；

【解法提示】将B（3，1）分别代入y＝－x＋b与y＝

中，解得b＝4，k＝3，则一次函数的解析式为y＝－x＋4，反比例函数的解析式为y＝.

（2）由

（1）得3＝，∴m＝1，则A点坐标为（1，3）．

设P点坐标为（a，－a＋4）（1≤a≤3），则S＝OD·PD＝a（－a＋4）＝－（a－2）2＋2，

∵－＜0，

∴当a＝2时，S有最大值，此时S＝－×（2－2）2＋2＝2；

由二次函数的性质得，当a＝1或3时，S有最小值，此时

S＝－×（1－2）2＋2＝，

∴S的取值范围是≤S≤2.

4.如图，矩形AOCB的顶点B在反比例函数y＝（k>0，x>0）的图象上，且AB＝3，BC＝8.若动点E从A开始沿AB向B以每秒1个单位长度的速度运动，同时动点F从B开始沿BC向C以每秒2个单位长度的速度运动，当其中一个动点到达终点时，另一个动点随之停止运动，设运动时间为t秒．

（1）求反比例函数的解析式；

第4题图

（2）当t＝1时，在y轴上是否存在点D，使△DEF的周长最小？

若存在，请求出△DEF的周长最小值；若不存在，请说明理由；

（3）在双曲线上是否存在一点M，使以点B、E、F、M为顶点的四边形是平行四边形？

若存在，请直接写出满足条件的t的值；若不存在，请说明理由．

解：

（1）由题可知点B的坐标为（3，8），且点B在y＝上，

∴k＝3×8＝24，

∴反比例函数的解析式为y＝；

（2）存在．t＝1时，E（1，8），F（3，6），则EF＝2，

如解图，延长EA使A′E＝EA，连接DE′，E′F，则E′F＝2，

C△DEF＝DE＋DF＋EF＝2＋DE′＋DF≥2＋E′F＝2＋2，

∴C△DEFmin＝2＋2，

此时点D为E′F与y轴的交点，

第4题解图

∵E′（－1，8），F（3，6），

设直线E′F的解析式为：

y＝kx＋b，

则，

解得，

∴直线E′F的解析式为：

y＝－x＋，

∴此时D（0，），

即：

y轴上存在点D（0，），使△DEF的周长最小，且最小值为2＋2.

（3）存在，若四边形BEMF为平行四边形，则有三种可能，已知E（t，8），F（3，8－2t），0

①BE∥FM，此时M在F右侧，M（，8－2t），

又∵BE＝FM，

∴3－t＝－3，即t2－10t＋12＝0，

解得t1＝5－，t2＝5＋（舍去）．

②BF∥EM，此时M在E正上方，M（t，），

∵ME＝BF，

∴－8＝2t，t2＋4t－12＝0，

解得t1＝2，t2＝－6（舍去）．

③EF∥BM，易知点M一定不在反比例函数上，

故综上，t＝2或5－.

5．在平面直角坐标系xOy中，点B在x轴上，四边形OACB为平行四边形，且∠AOB＝60°，反比例函数y＝（k＞0）在第一象限内过点A，且与BC交于点F.

（1）若OA＝10，求反比例函数的解析式；

（2）若F为BC的中点，且S△AOF＝24，求OA的

第5题图

长及点C的坐标；

（3）在

（2）的条件下，在x轴上是否存在一点P，使得PF＋PA最小？

若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

解：

（1）如解图①，过点A作AH⊥OB于H，

第5题解图①

∵∠AOB＝60°，OA＝10，

∴AH＝OA·sin∠AOB＝5，OH＝OA·cos∠AOB＝5，

∴点A的坐标为（5，5），

将点A（5，5）代入y＝，得

5＝，解得k＝25，

∴反比例函数的解析式为y＝；

（2）如解图①，过点F作FM⊥x轴于点M，设OA＝a（a＞0），

∵∠AOB＝60°，

∴AH＝OA·sin∠AOB＝a，OH＝OA·cos∠AOB＝a，

∴S△AOH＝AH·OH＝×a·a＝a2，

∵S△AOF＝24，

∴S▱AOBC＝2S△AOF＝48，

∵F为BC的中点，

∴S△OBF＝S▱AOBC＝12，

∵BF＝BC＝OA＝a，∠FBM＝∠AOB＝60°，

∴FM＝BF·sin∠FBM＝a，BM＝BF·cos∠FBM＝a，

∴S△BMF＝FM·BM＝×a·a＝a2，

∴S△FOM＝S△OBF＋S△BMF＝12＋a2，

∵点A，F都在y＝的图象上，

∴S△AOH＝S△FOM，

即a2＝12＋a2，

解得a＝8，∴OA＝8，

∴OH＝4，AH＝OH＝×4＝4，

∵S▱AOBC＝OB·AH＝48，

即OB·4＝48，解得OB＝6，

∴AC＝OB＝6，∴C（10，4）；

（3）存在．如解图②，作点F关于x轴的对称点F′，连接AF′交x轴于点P，此时PF＋PA最小，

第5题解图②

由

（2）可知，A（4，4），FM＝a＝2，BM＝a＝2，

∴OM＝6＋2＝8，

∴点F的坐标为（8，2），

∴点F′的坐标为（8，－2），

设直线AF′的解析式为y＝mx＋n，

将点A（4，4），F′（8，－2）代入，

得，

解得，

∴y＝－x＋10，

令y＝0，即－x＋10＝0，

解得x＝，

∴在x轴上存在点P，使得PF＋PA最小，点P的坐标为（，0）．

6．如图，反比例函数y＝（x＞0）与一次函数y＝kx＋6交于点C（2，4），一次函数图象与两坐标轴分别交于点A和点B，动点P从点A出发，沿AB以每秒1个单位长度的速度向点B运动；同时，动点Q从点O出发，沿OA以相同的速度向点A运动，运动时间为t秒（0＜t≤6），以点P为圆心，PA为半径的⊙P与AB交于点M，与OA交于点N，连接MN、MQ.

第6题图

（1）求m与k的值；

（2）当t为何值时，点Q与点N重合；

（3）若△MNQ的面积为S，试求S与t的函数关系式．

解：

（1）将C（2，4）代入y＝中得，m＝8，将（2，3）代入y＝kx＋6中得，2k＋6＝4，

∴k＝－；

（2）由

（1）知，k＝－，

∴直线AB的解析式为y＝－x＋6，

∴A（6，0），B（0，6），

∴AB＝12.

∵AM是直径,

∴∠ANM＝90°，

∴∠ANM＝∠AOB.

又∵∠MAN＝∠BAO，

∴△MAN∽△BAO，

∴＝＝.

∵OQ＝AP＝t，AM＝2AP＝2t，OA＝6，OB＝6，AB＝12

∴＝＝,

∴AN＝t，MN＝t,

∴ON＝OA－AN＝6－t.

∵点Q与点N重合,

∴ON＝OQ.

即6－t＝t.

∴t＝3;

（3）①当0＜t≤3时，QN＝OA－OQ－AN＝6－2t,

∴S＝QN·MN＝（6－2t）·t＝－t2＋3t;

②当3＜t≤6时，QN＝OQ＋NA－OA＝t＋t－6＝2t－6,

∴S＝QN·MN＝（2t－6）·t＝t2－3t，

即：

S＝.