C15 南京市届高三年级三模数学卷.docx

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C15南京市届高三年级三模数学卷

南京市2017届高三年级第三次模拟考试

数学2017.05

注意事项：

1．本试卷共4页，包括填空题（第1题~第14题）、解答题（第15题~第20题）两部分．本试卷满分为160分，考试时间为120分钟．

2．答题前，请务必将自己的姓名、学校写在答题卡上．试题的答案写在答题卡上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题卡．

参考公式：

方差s2＝[（x1－

）2＋（x2－

）2＋…＋（xn－

）2]，其中为x1，x2，…，xn的平均数．

柱体的体积公式：

V＝Sh，其中S为柱体的底面积，h为柱体的高．

锥体的体积公式：

V＝Sh，其中S为锥体的底面积，h为锥体的高．

一、填空题：

本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．

1．已知全集U＝{1，2，3，4}，集合A＝{1，4}，B＝{3，4}，则∁（A∪B）＝▲．

2．甲盒子中有编号分别为1，2的2个乒乓球，乙盒子中有编号分别为3，4，5，6的4个乒乓球．现分别从两个盒子中随机地各取出1个乒乓球，则取出的乒乓球的编号之和大于6的概率为▲．

3．若复数z满足z＋2＝3＋2i，其中i为虚数单位，为复数z的共轭复数，则复数z的模为▲．

4．执行如图所示的伪代码，若输出y的值为1，则输入x的值为▲．

Readx

Ifx≥0Then

y←2

Else

y←2－x2

EndIf

Printy

5．如图是甲、乙两名篮球运动员在五场比赛中所得分数的茎叶图，则在这五场比赛中得分较为稳定（方差较小）的那名运动员的得分的方差为▲．

（第5题图）

6．在同一直角坐标系中，函数y＝sin（x＋）（x∈[0，2π]）的图象和直线y＝的交点的个数是▲．

7．在平面直角坐标系xOy中，双曲线－＝1的焦距为6，则所有满足条件的实数m构成的集合是▲．

（第10题图）

8．已知函数f（x）是定义在R上且周期为4的偶函数．当x∈[2，4]时，f（x）＝|log4（x－）|，

则f（）的值为▲．

9．若等比数列{an}的各项均为正数，且a3－a1＝2，则a5的最小值为▲．

10．如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝1，BC＝2，BB1＝3，∠ABC＝90°，点D

为侧棱BB1上的动点．当AD＋DC1最小时，三棱锥D－ABC1的体积为▲．

11．（2017南京三模）若函数f（x）＝ex（－x2＋2x＋a）在区间[a，a＋1]上单调递增，则实数a的最大值为▲．

12．（2017南京三模）在凸四边形ABCD中，BD＝2，且·＝0，（＋）•（＋）＝5，则四边形ABCD的面积为▲．

13.（2017南京三模）在平面直角坐标系xOy中，圆O：

x2＋y2＝1，

圆M：

（x＋a＋3）2＋（y－2a）2＝1（a为实数）．若圆O与圆M上分别存在点P，Q，

使得∠OQP＝30，则a的取值范围为▲．

14．（2017南京三模）已知a，b，c为正实数，且a＋2b≤8c，＋≤，则的取值范围为▲．

二、解答题：

本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

（第15题图）

15．（2017南京三模）（本小题满分14分）如图，在三棱锥A－BCD中，E，F分别为棱BC，CD上的点，

且BD∥平面AEF．

（1）求证：

EF∥平面ABD；

（2）若BD⊥CD，AE⊥平面BCD，求证：

平面AEF⊥平面ACD．

16．（2017南京三模）（本小题满分14分）已知向量a＝（2cosα，sin2α），b＝（2sinα，t），α∈（0，）．

（1）若a－b＝（，0），求t的值；

（2）若t＝1，且a•b＝1，求tan（2α＋）的值．

（第17题图）

17．（2017南京三模）（本小题满分14分）在一水域上建一个演艺广场．演艺广场由看台Ⅰ，看台Ⅱ，三角形水域ABC，及矩形表演台BCDE四个部分构成（如图）．看台Ⅰ，看台Ⅱ是分别以AB，AC为直径的两个半圆形区域，且看台Ⅰ的面积是看台Ⅱ的面积的3倍；矩形表演台BCDE中，CD＝10米；三角形水域ABC的面积为400平方米．设∠BAC＝θ．

（1）求BC的长（用含θ的式子表示）；

（2）若表演台每平方米的造价为0.3万元，求表演台的最低造价．

18．（2017南京三模）（本小题满分16分）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆＋＝1（a＞b＞0）的右顶点和上顶点分别为A，B，M为线段AB的中点，且·＝－b2．

（1）求椭圆的离心率；

（第18题图）

（2）已知a＝2，四边形ABCD内接于椭圆，AB∥DC．记直线AD，BC的斜率分别为k1，k2，求证：

k1·k2为定值．

19．（2017南京三模）（本小题满分16分）已知常数p＞0，数列{an}满足an＋1＝|p－an|＋2an＋p，n∈N*．

（1）若a1＝－1，p＝1，①求a4的值；②求数列{an}的前n项和Sn．

（2）若数列{an}中存在三项ar，as，at（r，s，t∈N*，r＜s＜t）依次成等差数列，求的取值范围．

20．（2017南京三模）（本小题满分16分）已知λ∈R，函数f（x）＝ex－ex－λ（xlnx－x＋1）的导函数为g（x）．

（1）求曲线y＝f（x）在x＝1处的切线方程；

（2）若函数g（x）存在极值，求λ的取值范围；

（3）若x≥1时，f（x）≥0恒成立，求λ的最大值．

南京市2017届高三第三次模拟考试

数学参考答案及评分标准

一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分.）

1．{2}2．3．4．－15．6.86．2

7．{}8．9．810．11．12．3

13．[－，0]14．[27，30]

二、解答题（本大题共6小题，计90分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）

15．（本小题满分14分）

证明：

（1）因为BD∥平面AEF，BD平面BCD，平面AEF∩平面BCD＝EF，

所以BD∥EF．……………………3分

因为BD平面ABD，EF平面ABD，所以EF∥平面ABD．……………………6分

（2）因为AE⊥平面BCD，CD平面BCD，所以AE⊥CD．……………………8分

因为BD⊥CD，BD∥EF，所以CD⊥EF，……………………10分

又AE∩EF＝E，AE平面AEF，EF平面AEF，所以CD⊥平面AEF．……………………12分

又CD平面ACD，所以平面AEF⊥平面ACD．……………………14分

16．（本小题满分14分）

解：

（1）因为向量a＝（2cosα，sin2α），b＝（2sinα，t），

且a－b＝（，0），所以cosα－sinα＝，t＝sin2α．……………………2分

由cosα－sinα＝得（cosα－sinα）2＝，即1－2sinαcosα＝，从而2sinαcosα＝．

所以（cosα＋sinα）2＝1＋2sinαcosα＝．因为α∈（0，），所以cosα＋sinα＝．………5分

所以sinα＝＝，从而t＝sin2α＝．………7分

（2）因为t＝1，且a•b＝1，所以4sinαcosα＋sin2α＝1，即4sinαcosα＝cos2α．

因为α∈（0，），所以cosα≠0，从而tanα＝．……………………9分

所以tan2α＝＝．……………………11分

从而tan（2α＋）＝＝＝．……………………14分

17．（本小题满分14分）

解：

（1）因为看台Ⅰ的面积是看台Ⅱ的面积的3倍，所以AB＝AC．

在△ABC中，S△ABC＝AB•AC•sinθ＝400，所以AC2＝．…………3分

由余弦定理可得BC2＝AB2＋AC2－2AB•AC•cosθ，＝4AC2－2AC2cosθ＝（4－2cosθ），

即BC＝＝40．

所以BC＝40，θ∈（0，π）．……………………7分

（2）设表演台的总造价为W万元．因为CD＝10m，表演台每平方米的造价为0.3万元，

所以W＝3BC＝120，θ∈（0，π）．……………………9分

记f（θ）＝，θ∈（0，π）．则f′（θ）＝．……………………11分

由f′（θ）＝0，解得θ＝．当θ∈（0，）时，f′（θ）＜0；当θ∈（，π）时，f′（θ）＞0．

故f（θ）在（0，）上单调递减，在（，π）上单调递增，从而当θ＝时，f（θ）取得最小值，最小值为f（）＝1．

所以Wmin＝120（万元）．

答：

表演台的最低造价为120万元．……………………14分

18．（本小题满分16分）

解：

（1）A（a，0），B（0，b），由M为线段AB的中点得M（，）．所以＝（，），＝（－a，b）．

因为·＝－b2，所以（，）·（－a，b）＝－＋＝－b2，

整理得a2＝4b2，即a＝2b．……………………3分

因为a2＝b2＋c2，所以3a2＝4c2，即a＝2c．所以椭圆的离心率e＝＝．………5分

（2）方法一：

由a＝2得b＝1，故椭圆方程为＋y2＝1．

从而A（2，0），B（0，1），直线AB的斜率为－．……………………7分

因为AB∥DC，故可设DC的方程为y＝－x＋m．设D（x1，y1），C（x2，y2）．联立

消去y，得x2－2mx＋2m2－2＝0，所以x1＋x2＝2m，从而x1＝2m－x2．…………9分

直线AD的斜率k1＝＝，直线BC的斜率k2＝＝，………………11分

所以k1·k2＝·＝

＝＝＝＝，

即k1·k2为定值．………………………16分

方法二：

由a＝2得b＝1，故椭圆方程为＋y2＝1．

从而A（2，0），B（0，1），直线AB的斜率为－．……………………7分

设C（x0，y0），则＋y02＝1．因为AB∥CD，故CD的方程为y＝－（x－x0）＋y0．

联立消去y，得x2－（x0＋2y0）x＋2x0y0＝0，解得x＝x0（舍去）或x＝2y0．

所以点D的坐标为（2y0，x0）．………………………13分

所以k1·k2＝·＝，即k1·k2为定值．………………………16分

19．（本小题满分16分）

解：

（1）因为p＝1，所以an＋1＝|1－an|＋2an＋1．

①因为a1＝－1，所以a2＝|1－a1|＋2a1＋1＝1，a3＝|1－a2|＋2a2＋1＝3，

a4＝|1－a3|＋2a3＋1＝9．……………………………3分

②因为a2＝1，an＋1＝|1－an|＋2an＋1，所以当n≥2时，an≥1，

从而an＋1＝|1－an|＋2an＋1＝an－1＋2an＋1＝3an，于是有an＝3n－2（n≥2）．……5分

当n＝1时，S1＝－1；当n≥2时，Sn＝－1＋a2＋a3＋…＋an＝－1＋＝．

所以Sn＝即Sn＝，n∈N*．…………8分

（2）因为an＋1－an＝|p－an|＋an＋p≥p－an＋an＋p＝2p＞0，

所以an＋1＞an，即{an}单调递增．…………………………10分

（i）当≥1时，有a1≥p，于是an≥a1≥p，

所以an＋1＝|p－an|＋2an＋p＝an－p＋2an＋p＝3an，所以an＝3n－1a1．

若{an}中存在三项ar，as，at（r，s，t∈N*，r＜s＜t）依次成等差数列，则有2as＝ar＋at，

即2×3s－1＝3r－1＋3t－1．（*），因为s≤t－1，所以2×3s－1＝×3s＜3t－1＜3r－1＋3t－1，即（*）不成立．

故此时数列{an}中不存在三项依次成等差数列．………………………12分

（ii）当－1＜＜1时，有－p＜a1＜p．此时a2＝|p－a1|＋2a1＋p＝p－a1＋2a1＋p＝a1＋2p＞p，

于是当n≥2时，an≥a2＞p，从而an＋1＝|p－an|＋2an＋p＝an－p＋2an＋p＝3an．

所以an＝3n－2a2＝3n－2（a1＋2p）（n≥2）．

若{an}中存在三项ar，as，at（r，s，t∈N*，r＜s＜t）依次成等差数列，同（i）可知，r＝1，

于是有2×3s－2（a1＋2p）＝a1＋3t－2（a1＋2p）．因为2≤s≤t－1，

所以＝2×3s－2－3t－2＝×3s－×3t－1＜0．因为2×3s－2－3t－2是整数，所以≤－1，

于是a1≤－a1－2p，即a1≤－p，与－p＜a1＜p相矛盾．

故此时数列{an}中不存在三项依次成等差数列．…………………14分

（iii）当≤－1时，则有a1≤－p＜p，a1＋p≤0，于是a2＝|p－a1|＋2a1＋p＝p－a1＋2a1＋p＝a1＋2p，

a3＝|p－a2|＋2a2＋p＝|p＋a1|＋2a1＋5p＝－p－a1＋2a1＋5p＝a1＋4p，此时有a1，a2，a3成等差数列．

综上可知：

≤－1．………………………………16分

20．（本小题满分16分）

解：

（1）因为f′（x）＝ex－e－λlnx，

所以曲线y＝f（x）在x＝1处的切线的斜率为f′

（1）＝0，

又切点为（1，f

（1）），即（1，0），

所以切线方程为y＝0．…………………………2分

（2）g（x）＝ex－e－λlnx，g′（x）＝ex－．

当λ≤0时，g′（x）＞0恒成立，从而g（x）在（0，＋∞）上单调递增，

故此时g（x）无极值．…………………………4分

当λ＞0时，设h（x）＝ex－，则h′（x）＝ex＋＞0恒成立，

所以h（x）在（0，＋∞）上单调递增．…………………………6分

①当0＜λ＜e时，

h

（1）＝e－λ＞0，h（）＝e－e＜0，且h（x）是（0，＋∞）上的连续函数，

因此存在唯一的x0∈（，1），使得h（x0）＝0．

②当λ≥e时，

h

（1）＝e－λ≤0，h（λ）＝eλ－1＞0，且h（x）是（0，＋∞）上的连续函数，

因此存在唯一的x0∈[1，λ），使得h（x0）＝0．

故当λ＞0时，存在唯一的x0＞0，使得h（x0）＝0．……………………8分

且当0＜x＜x0时，h（x）＜0，即g′（x）＜0，当x＞x0时，h（x）＞0，即g′（x）＞0，

所以g（x）在（0，x0）上单调递减，在（x0，＋∞）上单调递增，

因此g（x）在x＝x0处有极小值．

所以当函数g（x）存在极值时，λ的取值范围是（0，＋∞）．……………………10分

（3）g（x）＝f′（x）＝ex－e－λlnx，g′（x）＝ex－．

若g′（x）≥0恒成立，则有λ≤xex恒成立．

设φ（x）＝xex（x≥1），则φ′（x）＝（x＋1）ex＞0恒成立，

所以φ（x）单调递增，从而φ（x）≥φ

（1）＝e，即λ≤e．

于是当λ≤e时，g（x）在[1，＋∞）上单调递增，

此时g（x）≥g

（1）＝0，即f′（x）≥0，从而f（x）在[1，＋∞）上单调递增．

所以f（x）≥f

（1）＝0恒成立．……………………………13分

当λ＞e时，由

（2）知，存在x0∈（1，λ），使得g（x）在（0，x0）上单调递减，

即f′（x）在（0，x0）上单调递减．

所以当1＜x＜x0时，f′（x）＜f′

（1）＝0，

于是f（x）在[1，x0）上单调递减，所以f（x0）＜f

（1）＝0．

这与x≥1时，f（x）≥0恒成立矛盾．

因此λ≤e，即λ的最大值为e．……………………………16分