福建省福州市闽清县学年八年级上学期期中数学试题.docx
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福建省福州市闽清县学年八年级上学期期中数学试题
福建省福州市闽清县2020-2021学年八年级上学期期中数学试题
学校:
___________姓名：
___________班级：
___________考号：
___________
一、单选题
1．下列图形中，不具有稳定性的图形是（）
A．平行四边形B．等腰三角形C．直角三角形D．等边三角形
2．下列运算正确的是（ ）
A．a3•a4＝a12B．（a3）2＝a5
C．（3a2）3＝27a6D．a6÷a3＝a2
3．下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ）
A．5,8,14B．3,6,11C．4,6,10D．2,3,4
4．一个多边形的内角和是900°，则这个多边形的边数为（）
A．6B．7C．8D．9
5．若等式
成立，则M是（）
A．
B．
C．－
D．－
6．如图，在∠AOB的两边上，分别取OM=ON，再分别过点M、N作OA、OB的垂线，交点为P，画射线OP，则OP平分∠AOB的依据是（）
A．HLB．SASC．AASD．SSS
7．若
是一个完全平方式，则k的值为（）
A．
B．18C．
D．
8．已知a、b、c是△ABC的三条边长，化简|a＋b－c|－|c－a－b|的结果为（ ）
A．2a＋2b－2cB．2a＋2bC．2cD．0
9．下列说法中，正确的是（）
A．等腰三角形底边上的中线就是底边的垂直平分线
B．等腰三角形的对称轴是底边上的高
C．一条线段可看做是以它的垂直平分线为对称轴的轴对称图形
D．等腰三角形的对称轴就是顶角平分线
10．如图，在2×2的方格纸中有一个以格点为顶点的△ABC，则与△ABC成轴对称且以格点为顶点三角形共有（）个.
A．3个B．4个C．5个D．6个
二、填空题
11．点M（1，2）关于x轴对称的点的坐标为__________．
12．已知射线OM.以O为圆心，任意长为半径画弧，与射线OM交于点A，再以点A为圆心，AO长为半径画弧，两弧交于点B，画射线OB，如图所示，则∠AOB=________（度）
13．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，沿CD折叠△CBD，使点B恰好落在AC边上的点E处．若∠A＝22°，则∠ADE＝_______°．
14．等腰三角形一个内角的大小为50°，则其顶角的大小为_____________度．
15．已知一个三角形的三边长分别是n+2，n+8，3n，则n的取值范围_________．
16．如图，在△ABC中，∠BCA＝120°，∠A＝15°，AC＝5，点M、N分别是AB、AC上动点，则CM+MN的最小值为____________．
三、解答题
17．计算：
（1）（﹣3x）2（x﹣3y）
（2）（12a3﹣6a2+3a）÷3a
18．分解因式：
（1）a3b﹣ab；
（2）（a﹣b）2﹣6（a﹣b）+9．
19．先化简，再求值：
（2x﹣3y）2﹣（2x﹣y）（2x+y），其中x＝﹣
，y＝
．
20．求图形中x的值：
21．如图，在△ABC中，D是BC边的中点，且AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F，求证：
△ABC是等腰三角形．
22．△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示：
（1）写出点A，B，C三点的坐标；
（2）若△ABC各顶点的横坐标不变，纵坐标都乘以﹣1，请你在同一坐标系中描出对应的点A'，B'，C'，并依次连接这三点，所得的△A'B'C'与原△ABC的位置关系是什么？
（3）在x轴上作出一点P，使得AP平分∠BAC．（保留作图痕迹，不写作法）
23．在△ABC中，BC＝a，AC＝b，AB＝c，且满足a2+b2+
＝ac+bc，试判定△ABC的形状，并说明理由．
24．观察等式：
2+22＝23﹣2；2+22+23＝24﹣2；2+22+23+24＝25﹣2……
请根据以上规律，完成下列问题：
（1）填空：
2+22+23+24+25+…+22019＝ ；
（2）写出第n个等式：
；
（3）已知按一定规律排列的一组数：
250，251，252，…299，2100．若250＝a，请用含a的式子表示这组数的和．（要求写出解答过程）
25．如图1，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，CD平分∠ACB，BE⊥CD，垂足E在CD的延长线上．请解答下列问题：
（1）图中与∠DBE相等的角有：
；
（2）直接写出BE和CD的数量关系；
（3）若△ABC的形状、大小不变，直角三角形BEC变为图2中直角三角形BED，∠E＝90°，且∠EDB＝
∠C，DE与AB相交于点F．试探究线段BE与FD的数量关系，并证明你的结论．
参考答案
1．A
【解析】
【分析】
根据三角形具有稳定性，四边形不具有稳定性即可判断．
【详解】
平行四边形属于四边形，不具有稳定性，而三角形具有稳定性，故A符合题意．
故选A．
【点睛】
本题考查了多边形和三角形的性质，解题的关键是记住三角形具有稳定性，四边形不具有稳定性．
2．C
【分析】
分别根据同底数幂的乘法法则，幂的乘方运算法则，积的乘方运算法则以及同底数幂的除法法则逐一判断即可．
【详解】
A．a3•a4=a7，故本选项不合题意；
B．（a3）2=a6，故本选项不合题意；
C．（3a2）3=27a6，正确，故选项C符合题意；
D．a6÷a3=a3，故本选项不合题意．
故选：
C．
【点睛】
本题考查了同底数幂的乘除法以及幂的乘方与积的乘方，熟记幂的运算法则是解答本题的关键．
3．D
【分析】
计算两条较短的线段长度之和，看是否大于第三条线段的长度即可得出答案.
【详解】
解：
A、5＋8＝13＜14，不能组成三角形；
B、3＋6＝9＜11，不能组成三角形；
C、4＋6＝10，不能够组成三角形；
D、2＋3＝5＞4，能组成三角形．
故选：
D．
【点睛】
此题主要考查了三角形的三边关系，在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．
4．B
【分析】
本题根据多边形的内角和定理和多边形的内角和等于900°，列出方程，解出即可．
【详解】
解：
设这个多边形的边数为n，
则有（n-2）180°=900°，
解得：
n=7，
∴这个多边形的边数为7．
故选B．
【点睛】
本题考查了多边形内角和，熟练掌握内角和公式是解题的关键.
5．B
【解析】
【详解】
解：
根据等式
可得:
M=
故选：
B．
6．A
【分析】
利用判定方法“HL”证明Rt△OMP和Rt△ONP全等，进而得出答案．
【详解】
解：
在Rt△OMP和Rt△ONP中，
，
∴Rt△OMP≌Rt△ONP（HL），
∴∠MOP=∠NOP，
∴OP是∠AOB的平分线．
故选择：
A.
【点睛】
本题考查了全等三角形的应用以及基本作图，熟练掌握三角形全等的判定方法并读懂题目信息是解题的关键．
7．C
【分析】
根据完全平方公式形式，这里首末两项是
和9这两个数的平方，那么中间一项为加上或减去
和9乘积的2倍．
【详解】
解：
是一个完全平方式，
首末两项是
和9这两个数的平方，
，
解得
．
故选：
C．
【点睛】
本题是完全平方公式的应用，两数平方和再加上或减去它们乘积的2倍，是完全平方式的主要结构特征，本题要熟记完全平方公式，注意积得2倍的符号，有正负两种情况，避免漏解．
8．D
【解析】
试题解析：
∵a、b、c为△ABC的三条边长，
∴a+b-c＞0，c-a-b＜0，
∴原式=a+b-c+（c-a-b）
=0．
故选D．
考点：
三角形三边关系．
9．C
【解析】
A、三角形中，中线是连接一个顶点和它所对边的中点的连线段，而线段的垂直平分线是直线，故A错误；
B、三角形的高对应的是线段，而对称轴对应的是直线，故B错误；
C、线段是轴对称图形，对称轴为垂直平分线，故C正确；
D、角平分线对应的是射线，而对称轴对应的是直线，故D错误，
故选C．
10．C
【分析】
解答此题首先找到△ABC的对称轴，EH、GC、AD，BF等都可以是它的对称轴，然后依据对称找出相应的三角形即可．
【详解】
解：
如图所示：
与△ABC成轴对称且以格点为顶点三角形由△ABG、△CDF、△AEF、△DBH，△BCG共5个，
故选C．
【点睛】
本题主要考查轴对称的性质；找着对称轴后画图是正确解答本题的关键．
11．（1，-2）
【分析】
利用关于x轴对称点的性质，关于x轴对称点的坐标特点：
横坐标不变，纵坐标互为相反数．即点P（x，y）关于x轴的对称点P′的坐标是（x，-y）．
【详解】
点M（1，2）关于x轴对称的点的坐标为：
（1，−2）.
故答案为：
（1，−2）.
【点睛】
本题考查关于x轴、y轴对称的点的坐标.熟记关于x轴、y轴对称点的坐标特点是解决此题的关键.
12．60
【解析】
【分析】
首先连接AB，由题意易证得△AOB是等边三角形，根据等边三角形的性质，可求得∠AOB的度数．
【详解】
连接AB，根据题意得：
OB=OA=AB，∴△AOB是等边三角形，∴∠AOB=60°．
故答案为：
60．
【点睛】
本题考查了等边三角形的判定与性质．此题难度不大，解题的关键是能根据题意得到OB=OA=AB．
13．46
【分析】
由△ABC中，∠ACB=90°，∠A=22°，可求得∠B的度数，由折叠的性质可得：
∠CED=∠B=68°，由三角形外角的性质，可求得∠ADE的度数．
【详解】
△ABC中，∠ACB=90°，∠A=22°，
∴∠B=180°－90°﹣∠A=68°，
由折叠的性质可得：
∠CED=∠B=68°，
∴∠ADE=∠CED﹣∠A=46°．
故答案为：
46．
【点睛】
本题考查了折叠的性质、三角形内角和定理以及三角形外角的性质．此题难度不大，注意掌握折叠前后图形的对应关系，注意数形结合思想的应用．
14．50°或80°
【解析】
试题分析：
可知有两种情况（顶角是50°和底角是50°时），由等边对等角求出底角的度数，用三角形的内角和定理即可求出顶角的度数．
如图所示，
中，
，
有两种情况：
①顶角
；
②当顶角是
时，
∵
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴这个等腰三角形的顶角为
和
．
考点：
等腰三角形的性质．
15．2＜n＜10．
【分析】
分3种情况讨论：
①若n+2＜n+8≤3n，②若n+2＜3n＜n+8，③若3n≤n+2＜n+8，分别依据三角形三边关系进行求解即可．
【详解】
①若n+2＜n+8≤3n，则
，
解得：
4≤n＜10；
②若n+2＜3n＜n+8，则
，
解得：
2＜n＜4，
③若3n≤n+2＜n+8，则
，
方程无解．
综上所述：
n的取值范围2＜n＜10．
故答案为：
2＜n＜10．
【点睛】
本题考查了三角形三边关系的运用，在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．
16．2.5
【分析】
作C关于AB的对称点D，连接CD交AB于E，过D作DN⊥AC于N，交AB于M，此时CM+MN的值最小，且CM+MN的最小值=DN，连接AD，由AB垂直平分CD，得到AD=AC，解直角三角形DNA即可得到结论．
【详解】
作C关于AB的对称点D，连接CD交AB于E，过D作DN⊥AC于N，交AB于M，此时CM+MN的值最小，且CM+MN的最小值=DN，
连接AD．
∵AB垂直平分CD，
∴AD=AC=5，
∴∠DAC=2∠CAB=30°．
∵∠DNA=90°，
∴DN
AD
2.5．
故答案为：
2.5．
【点睛】
本题考查了轴对称﹣最短路线问题及含30度角的直角三角形，解答此类问题时要从已知条件结合图形认真思考，通过线段垂直平分线性质，垂线段最短，确定线段和的最小值．
17．
（1）9x3﹣27x2y；
（2）4a2﹣2a+1．
【分析】
（1）直接利用积的乘方运算法则以及单项式乘以多项式运算法则分别计算得出答案；
（2）直接利用整式的除法运算法则计算得出答案．
【详解】
（1）原式=9x2（x﹣3y）
=9x2•x+9x2•（﹣3y）
=9x3﹣27x2y；
（2）原式=12a3÷3a﹣6a2÷3a+3a÷3a
=4a2﹣2a+1．
【点睛】
本题考查了整式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解答本题的关键．
18．
（1）ab（a+1）（a﹣1）；
（2）（a﹣b﹣3）2．
【分析】
（1）原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可；
（2）原式利用完全平方公式分解即可．
【详解】
（1）原式=ab（a2﹣1）=ab（a+1）（a﹣1）；
（2）原式=（a﹣b）2﹣2×3（a﹣b）+32=（a﹣b﹣3）2．
【点睛】
本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握完全平方公式是解答本题的关键．
19．﹣12xy+10y2，4
．
【分析】
先根据完全平方公式和平方差公式进行计算，再合并同类项，最后代入求出即可．
【详解】
原式=4x2﹣12xy+9y2﹣4x2+y2
=﹣12xy+10y2．
当
时，原式
=2
=4
．
【点睛】
本题考查了整式的混合运算和求值，能正确根据整式的运算法则进行化简是解答本题的关键．
20．115゜
【分析】
根据多边形内角和公式即可求出答案．
【详解】
∵∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°×（5﹣2），
∴x+（x+20°）+70°+x+（x﹣10°）=540°，
4x=460°，
x=115°．
【点睛】
本题考查了多边形内角和公式，涉及一元一次方程的解法，属于基础题型．
21．证明见解析．
【分析】
根据D是BC的中点和DE⊥AB，DF⊥AC，利用HL求证△BED≌△DFC即可．
【详解】
解：
∵D是BC的中点，
∴BD=DC，
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴△BED和△DFC是Rt△，
又∵DE=DF，
∴△BED≌△DFC，
∴∠B=∠C，
∴△ABC是等腰三角形．
【点睛】
此题主要考查学生对等腰三角形的判定和全等三角形的判定与性质的理解和掌握，证明此题要求学生必须熟练掌握判定全等三角形的几个定理．
22．
（1）A（3，4）B（1，2）C（5，1）；
（2）作图见解析，△A'B'C'与△ABC关于x轴对称；（3）作图见解析．
【分析】
（1）根据A，B，C的位置写出坐标即可．
（2）首先写出A'，B'，C'的坐标，作出△A'B'C'即可．
（3）利用尺规作∠BAC的平分线交x轴于P，射线AP即为所求．
【详解】
（1）A（3，4）B（1，2）C（5，1）．
（2）如图，△A'B'C'即为所求，△A'B'C'与△ABC关于x轴对称．
（3）如图，射线AP即为所求．
【点睛】
本题考查了作图﹣复杂作图，坐标与图形的变化等知识，解答本题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
23．无法构成△ABC，理由见解析．
【分析】
将已知等式移项后变形为
，即
，据此可得
且
，继而知a+b=c，即可作出判断．
【详解】
无法构成△ABC．理由如下：
∵
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
且
，
即
且
，
∴a+b=c，
∴无法构成△ABC．
【点睛】
本题考查了因式分解的应用，解答本题的关键是掌握完全平方公式和非负数的性质及构成三角形的条件．
24．
（1）22020﹣2；
（2）2n+2﹣2；（3）2a2﹣a．
【分析】
（1）观察即可得出规律，然后利用规律解决问题即可；
（2）观察即可得出规律，然后利用规律解决问题即可；
（3）由题意250+251+252+…+299+2100=250（1+2+22+…+249+250）=250（1+251﹣2）=250（250×2﹣1），再利用整体代入法解决问题即可．
【详解】
（1）观察前面的等式可知：
等号右边第一个数的底数为2，指数为左边最大的数的指数+1，等号右边第二个数为-2，
∴2+22+23+24+25+…+22019=22020﹣2．
故答案为：
22020﹣2．
（2）由
（1）的观察得到的结论可知：
2+22+23+…+2n+1=2n+2﹣2．
故答案为：
2+22+23+…+2n+1=2n+2﹣2．
（3）由题意可得：
2+22+23+…+2n=2n+1﹣2，
∴250+251+252+…+299+2100
=250（1+2+22+…+249+250）
=250（1+251﹣2）=250（250×2﹣1）
=a（2a﹣1）
=2a2﹣a．
【点睛】
本题考查了数字变化的规律型问题，解答本题的关键是学会探究规律，利用规律解决问题，属于中考填空题中的压轴题．
25．
（1）∠ACE和∠BCD；
（2）BE＝
CD；
（3）BE＝
DF，证明见解析
【分析】
（1）根据三角形内角和定理得到∠DBE＝∠ACE，根据角平分线的定义得到∠BCD＝∠ACE，得到答案；
（2）延长BE交CA延长线于F，证明△CEF≌△CEB，得到FE＝BE，证明△ACD≌△ABF，得到CD＝BF，证明结论；
（3）过点D作DG∥CA，交BE的延长线于点G，与AE相交于H，分别证明△BGH≌△DFH、△BDE≌△GDE，根据全等三角形的性质解答即可．
【详解】
解：
（1）∵BE⊥CD，
∴∠E＝90°，
∴∠E＝∠BAC，又∠EDB＝∠ADC，
∴∠DBE＝∠ACE，
∵CD平分∠ACB，
∴∠BCD＝∠ACE，
∴∠DBE＝∠BCD，
故答案为：
∠ACE和∠BCD；
（2）延长BE交CA延长线于F，
∵CD平分∠ACB，
∴∠FCE＝∠BCE，
在△CEF和△CEB中，
，
∴△CEF≌△CEB（ASA），
∴FE＝BE，
在△ACD和△ABF中，
，
∴△ACD≌△ABF（ASA），
∴CD＝BF，
∴BE＝
CD；
（3）BE＝
DF
证明：
过点D作DG∥CA，交BE的延长线于点G，与AE相交于H，
∵DG∥AC，
∴∠GDB＝∠C，∠BHD＝∠A＝90°，
∵∠EDB＝
∠C，
∴∠EDB＝∠EDG＝
∠C，
∵BE⊥ED，
∴∠BED＝90°，
∴∠BED＝∠BHD，
∵∠EFB＝∠HFD，
∴∠EBF＝∠HDF，
∵AB＝AC，∠BAC＝90°，
∴∠C＝∠ABC＝45°，
∵GD∥AC，
∴∠GDB＝∠C＝45°，
∴∠GDB＝∠ABC＝45°，
∴BH＝DH，
在△BGH和△DFH中，
，
∴△BGH≌△DFH（ASA）
∴BG＝DF，
∵在△BDE和△GDE中，
，
∴△BDE≌△GDE（ASA）
∴BE＝EG，
∴BE＝
．
【点睛】
本题考查了三角形内角和定理，角平分线的意义，三角形全等的判定和性质等相关知识，解决本题的关键是：
①熟练掌握三角形内角和定理，理清角与角之间存在的关系；②正确理解角平分线的性质③熟练掌握三角形全等的判定方法。
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