1 第一章波粒二象性.docx
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1第一章波粒二象性
量子物理
第一章波粒二象性
（4学时）
§1.1*黑体辐射
§1.2光电效应
§1.3光的二象性光子
§1.4康普顿散射
§1.5粒子的波动性
§1.6概率波与概率幅
§1.7不确定关系
§1.1*黑体辐射
热辐射任何温度下的物体,都向外辐射各种频率的电磁波.叫做热辐射.热辐射的特点是,能量按波长的分布与温度有关.
光谱辐射出射度M单位时间内从物体单位面积发出的频率在附近单位频率区间内的电磁能量。
M的单位为：
W/（m2·Hz）
平衡热辐射物体在辐射电磁波的同时，也吸收周围的电磁波，如果辐射的能量和吸收的能量相等，则物体就和周围的辐射场达到热平衡，这时的热辐射就叫做平衡热辐射。
光谱吸收比a（）在温度为T时物体表面吸收的频率在+d区间的辐射能量占全部入射在该区间的辐射能量的份额，叫做光谱吸收比。
如果a（）=1，则称该物体为黑体。
空腔上的小孔就可以看作是黑体。
基尔霍夫定律任何物体在同一温度下的辐出度与吸收比的比值是一个确定值，与构成物体的材料无关。
这个定律意味着平时看起来愈黑的物体，高温时就愈亮。
维恩公式和瑞利-金斯公式
维恩公式：
瑞利-金斯公式：
普朗克公式
式中h=6.626075×10-34J·s
称为普朗克常数。
普朗克能量量子化假设：
构成空腔壁的谐振子的能量不能连续取值，而只能取一系列离散值，它等于一个最小能量单位的整数倍：
E=nhn=0,1,2,…
普朗克把此式给出的每一个能量值叫做能量子。
斯特藩-玻耳兹曼定律：
辐出度
=5.67×10-8W/（m2·K4）
称为斯特藩-玻耳兹曼常量。
维恩位移定律：
M—关系曲线的极大值所对应的频率m与温度T满足:
m=CT
C=5.880×1010Hz/K
§1.2光电效应
光射到金属表面时,电子从金属表面逸出的现象叫光电效应.光电效应是不能用经典物理学解释的众多实验现象之一.该现象在量子物理学的发展过程中曾起过重要作用.
U
O
-UC
图1.2光电效应实验结果
（I2>I1）
im1
im2
I1
I2
i
实验装置如图1.1所示.图中K和A分别是光电管的阴极和阳极,管内为真空,当光通过石英窗照射阴极时,就有电子从阴极表面逸出.这些电子叫光电子.光电子在电场加速下向阳极运动,就形成光电流.固定光强和光的频率,调节加在光电管两端的加速电压U的大小和极性,就可以得到光电流与电压的关系曲线（伏安特性曲线）.也可改变光强和光的频率进行同样的实验.实验结果如下:
CsNaCa
ν
UC
图1.3
1.光电流的饱和值im:
当加速电压达到一定值以后,光电流不再增加,而趋于一个饱和值im,此值随光强I的增加而线性地增加.
2.遏止电压UC:
当电压为0时,光电流并不为0,当电压反向并达到某一个数值UC时，光电流等于0，UC叫遏止电压.遏止电压与光的频率ν有线性关系:
UC=Kν-U0
（1）
U0与阴极表面的材料有关,K是直线的斜率,是与材料无关的普适常数,如图1.3所示.
3.红限频率ν0:
如果光的频率低于某一个值ν0,则不论光强多强,照射时间多长,都没有光电流.这个频率叫红限频率.红限频率与阴极K的材料有关.
4.瞬时性:
当光的频率超过红限频率时,则不管光强多弱,只要光一照射,光电流立刻出现而没有延迟.
饱和现象说明当电压达到一定值后,从阴极逸出的光电子已全部到达阳极,实验结果表明,单位时间从阴极逸出的光电子数与光强I成正比.
光电子从金属中逸出时具有一定的初动能,它们能克服反向的电场力而到达阳极.按照功能关系,遏止电压与光电子的最大初动能应满足:
（2）
式中vm为光电子的最大初速度,e为电子电量.将
（1）式代入
（2）式,有:
=eKν-eU0（3）
经典物理学无法解释的是:
（a）为什么光电子的最大初动能与光的频率有关而不是与光强有关.因为按照经典物理学,光波的能量即光强与光波的振幅平方成正比而与频率无关.
（b）为什么存在红限频率.因为按照经典物理学,不管光的频率如何,光强多弱,只要光照时间足够长,总会有一些电子获得足够的动能而从金属中逸出.
（c）为什么从光照射到光电子逸出几乎是瞬时的。
因为按照经典物理学,电子受光波中的交变电场作用而作强迫振动，当光强较弱时，必须经过一定时间才能获得足够的能量。
下一节我们将介绍爱因斯坦对光电效应的解释.
§1.3光的二象性光子
1905年,爱因斯坦首次提出了对光电效应的量子论解释并获得成功.
爱因斯坦认为,光是由一个一个光子构成的,每个光子的能量与频率成正比:
ε=hν
式中h是一个常数,称为普朗克常数,是1900年普朗克在研究黑体辐射时首次发现的,其实验值为:
h=6.6261761034J•s
爱因斯坦进一步认为，在光电效应中，光与电子的作用可看作是光子与电子的单次碰撞过程，在每次碰撞中，光子把能量完整地传给电子，因此有如下能量关系:
hν-A（）
（*）式就是著名的爱因斯坦方程.经密立根12年的实验研究,证明爱因斯坦方程是完全正确的.将（*）式与上节（3）式比较可知,
h=eK
A=eU0
（*）式表明要使电子从金属中逸出,需要对它做一定的功A,叫做逸出功.如果光的频率降低到ν=ν0（从而光子的能量为hν0）,使电子得到的动能hν0刚好等于逸出功A:
hν0=A,则光电子的最大初动能
0,若频率再降低,使ν<ν0,就不会有电子从金属中逸出.这就是存在红限频率的原因.由此得:
ν0=A/h
饱和电流和光强的关系可简单解释如下:
入射光强大则单位时间内入射的光子数多,因而产生的光电子也多,这就导致饱和电流增大.
光电效应的延迟时间短是由于光子被电子吸收而增大能量的过程需要的时间很短.
在光学中我们知道,光能够产生干涉和衍射现象,表明光是一种波动（电磁波）.在光电效应中,光又表现出粒子性,它似乎又是一个一个粒子,按照相对论中的质能关系式,应有ε=mc2
与ε=hν比较,可得光子的质量
m=
式中λ=c/ν为光的波长.光子的动量p=mc为:
p=
这两式中,p和m描述粒子性,ν和λ描述波动性,这两式把波动性和粒子性联系了起来.
例1.求:
（1）λ=700nm的红光;
（2）λ=0.071nm的X射线;
（3）λ=1.2410－3nm的γ射线等的光子的能量,动量和质量
解:
所用公式为ε=hν,p=h/λ,m=h/λc.1nm=10－9m.
由此可得下表:
波长nm
光子能量eV
光子动量kg•m•s－1
光子质量kg
λ=700
ε=1.78
p=9.4710－28
m=3.1610－36
λ=0.071
ε=1.75104
p=9.3410－24
m=3.1110－32
λ=1.2410－3
ε=1.00106
p=5.3510－22
m=1.7810－30
§1.4康普顿散射
1923年康普顿（A.H.Compton）发现,当X射线被物质散射时,在散射的X射线中,除了与原射线波长相同的成分外,还有波长较长的成分.这个现象叫做康普顿效应.经典电磁理论无法解释这个现象,康普顿用光子理论进行解释,把散射过程看作是光子与电子的弹性碰撞过程,获得了圆满成功.
（hν0/c）n0
n0
θ
ϕ
e
图1.4康普顿散射
mv
（hν/c）n
n
在物质中有自由电子,他们的热运动能量（约10－2eV）比起X射线中光子的能量（约104eV）小得多,因此可认为碰撞前电子是静止不动的.设入射光沿n0方向,频率为ν0,散射光沿n方向,频率为ν,n与n0的夹角为ϕ（ϕ叫做散射角）,则入射和散射光子的能量动量分别为:
入射光子:
能量hν0动量（hν0/c）n0
散射光子:
能量hν动量（hν/c）n
设电子碰撞后的速度为v,它与n0的夹角为θ（反冲角）,则碰撞前后电子的能量动量分别为:
碰前:
能量m0c2,动量0
碰后:
能量mc2,动量mv
式中m=
为电子的相对论质量.图1.4给出了碰撞过程的矢量关系.
根据能量动量守恒,可以列出如下方程:
hν0+m0c2=hν+mc2
n0=
n+mv
由此可解出波长的变化:
λ=λ－λ0=
（1－cosϕ）
式中λ和λ0分别为散射和入射X射线的波长.ϕ为散射角.此式称为康普顿散射公式.康普顿和后来许多人的实验结果完全证明了这个公式的正确性.
上式中的
具有波长的量纲,称为电子的康普顿波长,用λC表示,将h,m0,c的数值代入,可得λC=0.0024263nm.
康普顿散射有力地证明了光的确是由光子组成的.而且上面所用到的光子的能量动量公式以及能量动量守恒定律都是正确的.
在散射光中,除了波长变长了的光外,还有原来波长的光,这是因为,物质中有些电子被原子核束缚,光子与他们的碰撞应看作是与整个原子碰撞,原子的质量大,光子与他们碰撞时几乎没有能量损失,因此波长不改变.
由康普顿散射公式可见,只有当入射光波长与电子的康普顿波长相近时,波长的相对变化才显著.例如,当λ0=400nm（紫光）时,在ϕ=π方向上,λ=0.0048nm,λ/λ0=10－5,很难观察到康普顿效应,若λ0=0.05nm（X射线）,在ϕ=π的方向上λ还是0.0048nm,但是λ/λ达到10,康普顿效应就很明显.在光电效应实验中用的是紫光,康普顿效应不明显.
例.设λ0=0.01nm的X射线与静止的自由电子碰撞,在与入射方向成90°的方向上的康普顿散射波长为多少?
反冲电子的动能和动量如何?
解:
λ=λ-λ0=λc（1-cos90°）=λC
λ=λ0+λC=0.01+0.0024=0.0124nm
电子的动能应等于光子损失的能量:
Ek=hν0-hν=hc（1/λC-1/λ）=hcλ/λCλ
=3.810-15J=2.4104eV
电子的动量可由光子动量的改变来求出:
pesinθ=（hν/c）sin90=h/λ
pecosθ=h/λ0-（h/λ）cos90=h/λ0
两式平方相加再开平方,得:
pe=
=
=
=8.510-23kg•m/s
cosθ=h/（peλ0）=0.78,θ=3844
作业:
1.11,1.15
§1.5粒子的波动性
1924年,法国的青年物理学家德布罗意（deBroglie）提出,既然光具有波粒二象性,似乎实物粒子如电子也应当有波粒二象性.以前,对于光,可能是较多地注意了其波动性的一面.而忽略了粒子性的一面,对于实物粒子,有可能出现了相反的情况,即过多地注意了其粒子性的一面,而忽略了其波动性的一面.他大胆地提出,实物粒子也具有波动性,受到光的波粒二象性之间关系的启发,他提出,应当有一个波与实物粒子联系,描述实物粒子波动性的量ν（频率）和λ（波长）与描述其粒子性的量E（能量）和p（动量）之间的关系（后来称为德布罗意关系）为:
E=mc2=hν
p=mv=h/λ
式中的h为普朗克常数,λ称为德布罗意波长.
德布罗意提出上述假设时,没有任何实验依据,但他关于光和实物粒子对称性的思想,得到了爱因斯坦的赏识.经他推荐,论文得以发表.并且很快被实验证实.1927年,美国贝尔实验室的戴维逊（Davisson）和革末（Germer）用镍单晶进行了电子衍射实验,得到了电子衍射的照片,同年,英国的G.P.汤姆逊（G.P.Thmson）用多晶体做电子衍射实验,也得到了电子衍射照片,他们的实验都证明了德布罗意关系的正确性.1961年,约恩逊（Jonsson）进行了电子的单缝,双缝和多缝衍射实验,得出了衍射条纹的照片.还有人用中子,质子,原子和分子进行衍射实验,证明了一切微观粒子的实物粒子都有波动性.
例1.电子经
（1）100V,
（2）10000V电压加速,试计算其德布罗意波长.
解:
经电压U加速后,电子的动能为:
由此得
λ=h/p=
以U1=100V和U2=10000V分别代入,得:
λ1=0.123nm,λ2=0.0123nm.
例2.计算m=0.01kg,速率v=300m/s的子弹的德布罗意波长.
解:
λ=h/p=h/mv=
例3.证明物质波的相速度u与相应粒子的运动速度v之间的关系为:
u=c2/v
证:
波的相速度为:
u=νλ,根据德布罗意公式,可得:
λ=h/mv,ν=mc2/h
两式相乘可得:
u=λν=c2/v
根据相对论,粒子的速度不可能超过光速,即vc.相速度大于光速与相对论不矛盾.
§1.6概率波与概率幅
微观粒子具有波粒二象性,这是为实验证明了的客观事实.1925年,薛定谔（Schr
dinger）提出,微观粒子的运动状态用波函数描述,波函数是时间和空间的函数,他把它表示成ψ（x,y,z,t）.但是并没有说清楚到底是什么东西在波动,这个波和我们观察到的粒子到底是什么关系.我们知道,以前我们所遇到的波动,都有明确的物理意义,例如声波是空气的疏密变化引起的,电磁波是电场和磁场的强弱变化引起的,等等.
为了看清楚实物粒子波粒二象性的特征,我们来看电子通过双缝时的衍射现象.
如图1.5所示,电子以确定的动量垂直射向双缝A,B.通过缝后,射向远处的荧光屏（或照相底片）S.实验中,既可以让大量电子同时入射,也可以让电子一个一个入射.实验结果表明,这两种情况能在屏上得到同样的双缝干涉花样,其特征完全类似于光的双缝干涉.
S
θ
图1.5电子的双缝干涉
B
A
当电子一个一个入射时,在屏上将看到一个个亮点,这就是电子到达的位置.一开始,亮点的分布似乎是完全无规则的,随着入射电子数的增加,亮点的分布逐渐呈现出规律性,最后形成双缝干涉的明暗条纹.明纹就是到达那里的电子多,暗纹就是到达那里的电子少,或者说,电子到达明纹处的概率大,到达暗纹处的概率小.
另一方面,按照波动的观点,明纹代表波的强度大,暗纹代表波的强度小.
把这两方面结合起来,我们可以说,波的强度大就表示电子到达那里的概率大,强度小就表示电子到达那里的概率小.
如果挡住A缝或挡住B缝,再让电子一个一个入射,屏上将得到与B缝或A缝相应的单缝衍射花样,双缝干涉花样明显地不同于两个单缝花样的简单叠加.
双缝干涉实验是光学中最简单不过的实验,但是,从经典物理的角度看,单电子入射的双缝干涉实验却又是最深奥莫测的实验.如果我们要问,每个电子是如何从两个缝过来的,它们又是如何逐渐形成干涉花样的?
经典物理学将遇到无法克服的困难.
因为,如果电子在通过缝时保持是一个一个粒子,那么它们要么从A缝通过,要么从B缝通过,从A缝通过时,它不可能”知道”附近还存在B缝,反之,从B缝通过时,它不可能”知道”附近还存在A缝,这样,双缝干涉花样就应该是两个单缝花样的简单叠加,而不可能有干涉.存在干涉就表明每个电子似乎都是从两个缝通过的.
另一方面,如果每个电子在通过双缝时就已经散开成波,那么就不可能在到达屏的一瞬间收缩成一个亮点.
因此我们说,单电子的双缝干涉实验集中地反映了微观粒子波粒二象性的全部特征,经典物理学无法解释这个实验,无法说明波动性和粒子性之间的关系.
从屏上一个一个亮点到逐渐形成干涉花样的过程我们看到,波得强度（干涉条缝的明暗）代表了粒子到达的概率的大小.但是波不可能就是概率本身,因为概率不能是负的,它们叠加时不能产生干涉相长相消.那么微观粒子的波动性和粒子性之间到底是什么关系呢?
1926年玻恩（M.Born）提出了概率假设,即玻恩统计解释.他认为,薛定谔的波函数实际上是一种概率波,波函数的强度ψ2=ψψ*正比于粒子到达空间各处的相对概率.
因此波函数ψ也称为概率幅.
玻恩统计解释的关键不在于用概率描述粒子到达屏上的不同位置,也不在于用波动来描述干涉条纹的强弱,它的前所未有的崭新概念在于用概率幅把微观粒子的粒子性和波动性联系起来.
概率波的概念是经典物理学中从未有过的全新概念,它不仅能圆满地解释电子的双缝干涉实验,并且为以后的大量实验所证实.
由上述实验我们还看到,双缝实验中所表现出的规律性,实际上是一种统计规律,因为规律只在入射电子的数量足够多时才表现出来.
§1.7不确定关系
在经典力学中,实物粒子（质点）在任意时刻的运动状态可用它的位置和速度来描述.对于微观粒子,这种描述方式不再有效.原因是微观粒子有波粒二象性.下面我们通过电子的单缝衍射实验来说明这个问题.
θ0
p
px
x
图1.6电子的单缝衍射
a
设单缝的缝宽为a,电子以确定的动量p入射,通过单缝后发生衍射,根据德布罗意关系,电子的波长为:
λ=h/p
在光学中我们已知道,衍射第一极小的角位置,即中央明纹的半角宽度θ0满足:
asin0=
当电子一个一个入射时,我们无法说出电子是从缝的哪一部分通过的,即电子到达缝时,在x方向上的位置是不确定的,不确定范围x=a,每次电子落在荧光屏上的位置也不确定,因此说它通过缝时动量的x分量px=psinθ不确定,但是,由于电子主要落在中央明纹的范围内,忽略次极大,可以认为动量的不确定范围为:
px=psinθ0,由此可得:
x•px=apsinθ0=λp=h
其中最后一步我们用到了德布罗意关系p=h/λ.由于电子还可能落在次极大范围内,所以实际的px比asinθ0还要大,故有:
x•pxh
这就是粒子的坐标和相应的动量分量的不确定范围之间所满足的基本关系,称为不确定关系,它是由海森伯（Heisenbger）发现的.
上述结果是通过一个特例得到的,而且推导过程不很严格.准确的结果应为:
x•pxh/4π,令=h/2π,则有:
x•px/2
也叫普朗克常数,其数值为:
=1.054588710-34J•s
作为粗略近似,在许多问题中,可用
x•px（）
作估计.
由于微观粒子的位置和动量不能同时确定,因此我们不能用同一时刻的位置和动量来描述粒子的运动状态,事实上,状态要用波函数来描述.由上述例子可见,不确定关系是微观粒子波粒二象性的必然结果,因为在单缝衍射实验中,要想同时确定电子在通过单缝那一时刻的坐标和动量,除非它在通过狭缝时不发生衍射,这当然是不可能的.
除了坐标和动量的不确定关系外，还有时间和能量的不确定关系（见书上的推导）:
Et/2
例1.估计子弹从枪口射出时的横向速度.设子弹的质量为0.01kg,枪口的直径为0.5cm.
解:
枪口直径可当作子弹出口时横向位置的不确定量x,而px=mvx,因此有:
x•mvx
取等号,可得:
vx=/mx=
和子弹的飞行速度几百米每秒相比,这个速度是微不足道的,因此子弹的量子效应不明显,可作为经典粒子处理.
例2.求电视显象管中电子从电子枪射出时的横向速度.设电子枪口径为0.1mm.已知显象管的加速电压为9kv,其纵向速度是多少?
解:
仿照上题,
vx=/mx=
在末速度远小于光速时,经电压U加速后电子的速度可由下式确定:
由此可得v=6107m/s,上述横向速度与此相比仍可忽略,即显象管中的电子可作为经典粒子处理.
例3.原子的线度约10-10m,求原子中电子速度的不确定量.
解:
vx=/mx=
按照牛顿力学计算,氢原子中电子轨道运动的速度约106m/s,不确定范围与它同数量级.可见对于原子范围内的电子,谈论其速度不再有意义,电子的波动性十分显著,描述它的运动必须抛弃轨道概念,而代之以电子云的概念.
例4.氦氖激光器所发红光的波长为λ=6328
.谱线宽度λ=10-8
.求当这种光沿x方向传播时,它的x坐标的不确定量是多少?
解:
光子具有波粒二象性,所以也满足不确定关系.由px=h/λ可知,在数值上:
px=（h/λ2）λ
由不确定关系可得:
x=/px=
=400km.
在光学中我们知道,λ/λ2等于相干长度,也就是波列长度.由此可见,波列长度正是光子位置的不确定度.
例5.在杨氏双缝干涉实验中,计算电子在通过双缝时横向位置的不确定度.
解:
在光学中我们知道,双缝干涉中央明纹的半角宽度满足:
dsinθ=λ/2
式中d为两缝之间的距离.而
px=psinθ
由不确定关系可得横向位置的不确定度为:
x=/px=h/（2psinθ）=dh/pλ
利用德布罗意关系p=h/λ,可得:
x=d/.
与两缝间距d同数量级.因此说每个电子是从哪个缝过来的已没有意义.
作业:
1.15,1.19,1.21
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