七年级数学上第一章12有理数人教版.docx
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七年级数学上第一章12有理数人教版
七年级数学上第一章1.2有理数（人教版）
2 有理数
1．2.1 有理数
1．理解有理数的概念．
2．会判断一个数是整数还是分数，是正数还是负数．
3．懂得有理数的两种分类方法．
阅读教材P6，请你认真思考，你认为整数包括哪些？
分数包括哪些？
有理数按数的形式可以怎样来分类？
你认为正有理数包括哪些？
负有理数包括哪些？
有理数按性质（符号）可以怎样来分类？
知识探究
1．正整数、0和负整数统称为整数；正分数和负分数统称为分数．
2．整数和分数统称为有理数．
自学反馈
1．把下列各数写在相应的集合里．
－5，10，－4.5，0，＋235，－2.15，0.01，＋66，－35，15%，227，2009，－正整数集合：
{10，＋66，2009，…}
负整数集合：
{－5，－16，…}
负分数集合：
{－4.5，－2.15，－35，…}
正分数集合：
{＋235，0.01，15%，227，…}
整数集合：
{－5，10，0，＋66，2009，－16，…}
负数集合：
{－5，－4.5，－2.15，－35，－16，…}
正数集合：
{10，＋235，0.01，＋66，15%，227，2009，…}
有理数集合：
{－5，10，－4.5，0，＋235，－2.15，0.01，＋66，－35，15%，227，2009，－16，…}
2．有理数的分类（分两类）．
解：
略．
有理数的分类标准要统一．
活动1 小组讨论
例1 在数－5，23，0，－0.24，7，4076，－59，－2中，正数有23，7，4__076，负数有－5，－0.24，－59，－2，整数有－5，0，7，4__076，－2，分数有23，－0.24，－59，有理数有－5，23，0，－0.24，7，4__076，－59，－2．
例2 下列说法不正确的是（A）
A．正整数和负整数统称为整数
B．正有理数、负有理数和零统称为有理数
C．整数和分数统称为有理数
D．正分数和负分数统称为分数
例3 有理数：
－7，3.5，－12，112，0，π，1317中，正分数有（C）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
活动2 跟踪训练
1．下列各数：
－8，－113，2.03，0.5，67，－44，－0.99，其中整数有－8，－44，负分数有－113，－0.99．
2．下列说法正确的是（D）
A．一个有理数不是正数就是负数
B．正有理数和负有理数组成有理数
C．有理数是指整数、分数、正有理数、负有理数和零这五类数
D．负整数和负分数统称为负有理数
3．有理数中，是整数而不是负数的是非负整数，是负有理数而不是分数的是负整数．
活动3 课堂小结
通过教师的引导、鼓励和不断完善，以及学生自己的概括，最后归纳出我们已经学过的5类不同的数，它们分别是正整数、零、负整数、正分数、负分数.
1.2.2 数轴
1．了解数轴的概念，学会画数轴，知道如何在数轴上表示有理数，能说出数轴上表示有理数的点所表示的数，知道任何一个有理数在数轴上都有唯一的点与之对应．
2．通过现实生活中的例子，从直观认识到理性认识，从而建立数轴概念；通过学习，初步体会对应的思想、数形结合的思想．
3．体会数形结合的思想方法，进而初步认识事物之间的联系，激发学习热情．
阅读教材P7～9，思考和回答以下问题．
1．通过阅读教材（数轴部分），你认为画一条数轴必须包括什么？
这就是数轴的三要素．请你在下面画一条数轴．
2．数轴上有些点表示有理数，如下图，指出A、B、C、D、E分别表示什么数？
3．完成教材P9的归纳，由此可见要在数轴上确定一个有理数的位置，必须确定哪两个方面？
画一条数轴，把2、－3、－1.5、223、0、－214标在数轴上．
4．所有的有理数都能标在数轴上吗？
数轴上的所有点都表示有理数吗？
5．数轴上的数都是按照正方向由小到大排列的，左边的数与右边的数大小关系怎样？
正数、零、负数的大小关系怎样？
由此我们可以根据数轴来比较有理数的大小关系．
知识探究
1．规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴．
2．数轴是一条直线，它可以向两端无限延伸．
3．数轴上原点左侧是负数，正数在原点的右侧．
自学反馈
1．数轴的三要素是原点、正方向、单位长度．
2．指出图中所画数轴的错误：
解：
略．
3．如图，数轴上点A、B表示的数分别是－2.5、2．
4．在数轴上表示－1.2的点在（B）
A．－1与0之间 B．－2与－1之间
C．1与2之间D．－1与1之间
5．数轴上表示－8的点在原点的左侧，距离原点8个单位长度；数轴上点P距原点5个单位长度，且在原点的左侧，则点P表示的数是－5．
6．画一条数轴表示下列各数，并用“”把这些数连接起来．
13，2，－4.5，0，52，－0.5,－解：
略．
活动1 小组讨论
例
（1）画一条数轴，并表示出如下各点：
±0.5，±0.1，±0.75；
（2）画一条数轴，并表示出如下各点：
1000，5000，－2000；
（3）画一条数轴，在数轴上标出到原点的距离小于3的整数；
（4）画一条数轴，在数轴上标出－5和＋5之间的所有整数．
解：
略．
数轴的三要素、画法、适当地选择单位长度和原点的位置．
活动2 跟踪训练
1．画出数轴并表示下列有理数：
1.5，－2，2，－2.5，412，0.
解：
略．
2．如图，写出数轴上点A，B，C，D，E所表示的数．
解：
0，－2，1，2.5，－．在数轴上，表示数－3，2.6，－35，0，413，－223，－1的点中，在原点左边的点有4个．
4．在数轴上点A表示的数是－4，如果把原点向负方向移动1.5个单位长度，那么在新数轴上点A表示的数是（C）
A．－512B．－4
C．－212D．212
5．一个点在数轴上表示的数是－5，这个点先向左边移动3个单位长度，然后再向右边移动6个单位长度，这时它表示的数是多少呢？
如果按上面的移动规律，最后得到的点是2，则开始时它表示什么数？
解：
－2，－1.
利用数轴，数形结合解题．
活动3 课堂小结
1．数轴的出现对数学的发展起了重要作用，师生共同研究，什么是数轴？
如何画数轴？
如何在数轴上表示有理数？
2．利用数轴，很多数学问题都可以借助图直观地表示.
1.2.3 相反数
1．理解相反数的意义．
2．掌握求一个已知数的相反数的方法．
3．提高观察、归纳和概括的能力．
阅读教材P9～10，思考并回答以下问题．
1．在数轴上，到原点的距离等于3的点有两个，这两个点表示的数是－3和3，像这样，只有符号不同的两个数叫做互为相反数．也就是说：
3是－3的相反数，－3是3的相反数．
2．数a的相反数记作－a，5的相反数记作－5，－5的相反数记作－（－5），而－5的相反数是5，因此－（－5）＝5．
知识探究
1．相反数的定义：
只有符号不同的两个数叫做互为相反数．
2．在数轴上表示相反数的两个点的特点是关于原点对称．
3．我们规定：
0的相反数是0．
自学反馈
1．数轴上表示互为相反数的两个点相互之间的距离是8.4，则这两个数是±4.2．
2．－2.3的相反数是2.3；0.01是－0.01的相反数．
3．相反数等于本身的数是0．
4．已知有理数a，则a的相反数可用－a表示．
5．表示下列各数的相反数，并求出相反数的值：
①7；②＋6.3；③－334；④＋（－23）；⑤－（＋356）；⑥－（－2.6）；⑦0.
解：
－7，－（＋6.3）＝－6.3，－（－334）＝334，－[＋（－23）]＝23，－[－（＋356）]＝356，－[－（－2.6）]＝－2.6，0.
活动1 小组讨论
例1 化简下列各数，你能发现什么规律？
（1）－[－（－3）]；
（2）－[＋（－3.5）]；
（3）＋[－（－6）]；
（4）－[－（＋7）]．
规律：
负号个数为奇数时，化简得的结果为负；负号个数为偶数时，化简得的结果为正．
例2 化简下列各数，并总结一个有理数符号简化的规律．
（1）－（－13）；
（2）＋（＋10）；
（3）＋（－412）；
（4）－{＋[－（－2）]}．
解：
略．
例3 已知a、b在数轴上的位置如图所示．
（1）在数轴上作出它们的相反数；
（2）用“＜”按从小到大的顺序将这四个数连接起来．
解：
略．
相反数的特点和定义：
到原点的距离相等，符号相反．
活动2 跟踪训练
1．－74的相反数是74；13的相反数是－13；0的相反数是0；a＋1的相反数是－a－1．
2．若x＝－4，则－（－x）＝－4；若－y＝3.1，则y＋3.1＝0；若－a＝－（－3），则a＝－3；b－a与a－b互为相反数．
3．负数的相反数比它本身大，正数的相反数比它本身小，0的相反数和它本身相等．
4．若a＝－2，则－a＝2；若－b＝74，则b＝－74；若－c＝－8，则c＝8．
5．若x的相反数仍是x，则x＝0．
6．已知a与b互为相反数，a与b应满足关系式a＋b＝0．
7．一个数的相反数是最大的负整数，那么这个数是1．
活动3 课堂小结
相反数的概念使有理数的各个运算法则容易表述，也揭示了两个特殊数的特征．这两个特殊数在数量上具有相同的绝对值，它们的和为零，在数轴上表示时，离原点的距离相等等性质均有广泛的应用.
1.2.4 绝对值
第1课时 绝对值
1．理解绝对值的几何意义和代数意义．
2．会求一个有理数的绝对值．
阅读教材P11，思考下面的问题．
1．在数轴上和原点相距3个单位长度的点表示的数是什么？
－5在原点的哪一侧，与原点相距几个单位长度？
你能在数轴上标出这些距离吗？
2．通过学习，你能写出绝对值的定义吗？
3．一个有理数a的相反数怎样表示？
通过本节的学习你知道一个有理数a的绝对值怎样表示吗？
知识探究
1．一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值．
2．一个正数的绝对值是它本身，即：
若a0，则a＝a；一个负数的绝对值是它的相反数，即：
若a0，则a＝－a；0的绝对值是0（双重性）．
自学反馈
1．数轴上有一点到原点的距离为6.03，那么这个点表示的数是±6.03．所以6.03＝6.03，－6.03＝6.03．
2．计算：
（1）|＋13|＝13；
（2）|－8|＝8；（3）|＋315|＝315；（4）|－8.22|＝8.22．
3．－213的绝对值是213，绝对值等于213的数是±213，它们是一对相反数．
4．已知|a|＝3，|b|＝5，a与b异号，求a、b两数在数轴上所表示的点之间的距离．
解：
．在|－7|，5，－（＋3），－|0|中，负数共有（A）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．一个数的绝对值等于这个数本身，这个数是（D）
A．1B．＋1，－1，0
C．1或－1D．非负数
非负数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数．
活动1 小组讨论
例1 －2的相反数是（B）
A．2B．－2C．0.5D．－0.5
例2 下列四组数中不相等的是（C）
A．－（＋3）和＋（－3）B．＋（－5）和－5
C．＋（－7）和－（－7）D．－（－1）和|－1|
例3 下列说法正确的是（B）
A．一个数的绝对值的相反数一定不是负数
B．一个数的绝对值一定不是负数
C．一个数的绝对值一定是正数
D．一个数的绝对值一定是非正数
例4 若|x－3|＋|y－2|＝0，则x＝3，y＝2．
活动2 跟踪训练
1．绝对值小于2的整数有3个，它们分别是±1，0．
2．指出下列各式中a的取值．
（1）若|a|＝－a，则a为非正数；
（2）若|－a|＝a，则a为非负数；
（3）若|a－1|＝0，则a为1．
3．已知a，b是有理数，且满足|a＋1|＋|2－b|＝0，求a＋b的值．
解：
1.
注意绝对值的非负性．
活动3 课堂小结
1．绝对值的定义：
有理数到原点的距离．
2．求一个有理数的相反数．
3．化简绝对值．
|a|＝a（a0），0（a＝0），－a（a0）.
第2课时 比较大小
1．理解比较有理数大小的规则的合理性．
2．会比较有理数的大小．
阅读教材P12～13，思考和回答下列问题．
1．研究两个有理数，按照正数、负数、零分类，有怎样的几种情况？
（1）正数与正数；
（2）正数与零；（3）正数与负数；（4）零与负数；（5）负数与负数．
2．教材引导我们利用数轴进行有理数的大小比较．
在数轴上表示有理数，它们从左到右的顺序，就是从小到大的顺序，即左边的数小于右边的数．
知识探究
1．在数轴上表示的两个有理数，左边的数小于右边的数．
2．正数大于0，0大于负数，正数大于负数；两个负数，绝对值大的反而小．
自学反馈
1．比较－78和－67；－|－（＋5）|和－[－（＋5）]的大小，并写出比较过程．
解：
－78－67，－|－（＋5）|－[－（＋5）]．
先化简，再比较．
2．求同时满足：
①│a│＝6，②－a＜0这两个条件的有理数a.
解：
a＝6.
活动1 小组讨论
例1 将有理数：
－（－4），0，－│－312│，－│＋2│，－│－（＋1.5）│，－（－3），│－（＋212）│表示到数轴上，并用“＜”把它们连接起来．
解：
略．
例2 有理数x、y在数轴上的位置如图所示：
（1）在数轴上表示－x，－y；
（2）试把x、y、0、－x、－y这五个数用“”连接起来．
解：
（1）
（2）x－y0y－x.
数轴上的点表示的数右边的总比左边的大．
活动2 跟踪训练
1．下面四个结论中，正确的是（D）
A．|－2||－3| B．|2||3|
C．2|－3|D．|－2||－3|
2．比较大小（填“”或“”）．
（1）－23－34；
（2）－20072008－20082009；
（3）－（－19）－－110.
3．在数轴上表示下列各数：
＋223，－12，－（－6），－7，－（＋3），1，0，－1.5.并用“”将它们连接起来．
解：
略．
4．已知有理数a，b在数轴上的位置如图所示，请比较a，b，|a|，|b|的大小．
解：
即|b||a|ab.
活动3 课堂小结
1．两个负数比较大小，绝对值大的反而小．
2．正数大于零，零大于负数，正数大于负数
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