B
、{x|-1≤x≤2}
C、{x|x<-1}
∪{x|x>2}D
、{x|x
≤-1}∪{x|x≥2}
3、某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番，为更好地了解该地区农
村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图：
建设前经济收入构成比例
建设后经济收入构成比例
则下面结论中不正确的是（）
A.新农村建设后，种植收入减少
B.新农村建设后，其他收入增加了一倍以上
C.新农村建设后，养殖收入增加了一倍
D.新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半
4、记Sn为等差数列{an}的前n项和，若3S3=S2
+S4，a1=2，则a5=（
）
A、-12
B、-10C
、10
D、12
、设函数
f（
）
（
a-1
）
x2+ax.
若
f（
）为奇函数，则曲线
y=
f（
）在点（，）处的切
5
x
=x3+
x
x
00
线方程为（）
A.y=-2xB.y=-xC.y=2xD.y=x
6、在?
ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则=（）
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A.-B.-C.+D.+
7、某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如右图。
圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为A，圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B，则在此圆柱侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长度为（）
A.2
B.2
C.3
D.2
8.设抛物线C：
y2=4x的焦点为F，过点（-2，0）且斜率为的直线与C交于M，N两点，则·=（）
A.5B.6C.7D.8
9.已知函数f（x）=g（x）=f（x）+x+a，若g（x）存在2个零点，则a的取值范围是
（）
A.[-1，0）B.[0，+∞）C.[-1，+∞）D.[1，+∞）
10.下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形。
此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC的斜边BC，直角边AB，AC.△ABC的三边所围成的区域记为Ⅰ，黑色部分记为
Ⅱ，其余部分记为Ⅲ。
在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为p1，p2，p3，
则（）
A.p1=p2
B.p1=p3
C.p2=p3
D.p1=p2+p3
11.已知双曲线C：
-y2=1，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M，N.若△OMN为直角三角形，则∣MN∣=（）
A.B.3C.D.4
12.已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面所成的角都相等，则截此正方体所得截面
面积的最大值为（）
A.B.C.D.
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二、填空题：
本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.
若x，y满足约束条件
则z=3x+2y的最大值为
.
14.
记Sn为数列｛an｝的前n项和.
若Sn=2an+1，则S6=
.
15.从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有
种.（用数字填写答案）
16.已知函数f（x）=2sinx+sin2x，则f（x）的最小值是.
三.解答题：
共70分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
第17～21题为必考题，每个试
题考生都必须作答。
第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：
共60分。
17.（12分）
在平面四边形ABCD中，∠ADC=90°，∠A=°，AB=2，BD=5.
（1）求cos∠ADB；
（2）若
DC
=
，求BC
.
18.（12分）
如图，四边形ABCD为正方形，E，F分别为AD，BC的中点，以DF为折痕把?
DFC折起，使点
C到达点P的位置，且PF⊥BF.
（1）证明：
平面PEF⊥平面ABFD；
（2）求DP与平面ABFD所成角的正弦值.
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19.（12分）
设椭圆C：
+y2=1的右焦点为F，过F的直线l与C交于A，B两点，点M的坐标为（2，0）.
（1）当l与x轴垂直时，求直线AM的方程；
（2）设O为坐标原点，证明：
∠O=∠O.
20、（12分）
某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验
出不合格品，则更换为合格品，检验时，先从这箱产品中任取
20件产品作检验，再根据检验结果决
定是否对余下的所有产品做检验，设每件产品为不合格品的概率都为
P（0为不合格品相互独立。
（）记
20
件产品中恰有
2
件不合格品的概率为f（P），求f（P）的最大值点
。
1
（2）现对一箱产品检验了
20件，结果恰有2件不合格品，以
（1）中确定的
作为P的值，已知
每件产品的检验费用为2元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付
25元的赔
偿费用。
（i）若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X，求EX；
（ii）以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？
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21、（12分）
已知函数.
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）若f（x）存在两个极值点x1,x2,证明：
.
（二）选考题：
共10分。
请考生在第22、23题中任选一题作答。
如果多做，则按所做的第一题计分。
22.[选修4-4：
坐标系与参数方程]（10分）
在直角坐标系xOy中，曲线C?
的方程为y=k∣x∣+2.以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建
立极坐标系，曲线C?
的极坐标方程为2+2cos-3=0.
（1）求C?
的直角坐标方程:
（2）若C?
与C?
有且仅有三个公共点，求C?
的方程.
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23.[选修4-5：
不等式选讲]（10分）已知f（x）=∣x+1∣-∣ax-1∣.
（1）当a=1时，求不等式f（x）﹥1的解集；
（2）若x∈（0，1）时不等式f（x）﹥x成立，求a的取值范围.
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绝密★启用前
2018年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学试题参考答案
一、选择题
1．C
2．B
3．A
4．B
5．D
6．A
7．B
8．D
9．C
10．A
11．B
12．A
二、填空题
13．6
14．6315．16
16．
3
3
2
三、解答题
17．解：
（1）在△ABD中，由正弦定理得
BD
AB
.
sin
ADB
sinA
由题设知，
5
2
ADB
2
sin45
所以sin
.
sinADB
5
由题设知，ADB
90，所以cos
ADB
1
2
23
25
.
5
（2）由题设及
（1）知，cosBDC
sin
ADB
2
.
5
在△BCD中，由余弦定理得
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BC2BD2DC22BDDCcosBDC
2
2582522
5
25.
所以BC5.
18．解：
（1）由已知可得，
BF
PF，BF
EF，所以BF
平面PEF.
又BF
平面ABFD，所以平面PEF
平面ABFD.
（2）作PH
EF，垂足为H.由
（1）得，PH
平面ABFD.
以H为坐标原点，
uuur
uuur
Hxyz.
HF的方向为y轴正方向，|BF|为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系
由
（1）可得，DE
PE.
又DP2，DE1
，所以PE
3.
又PF
1，EF2，故PE
PF.
可得PH
3，EH
3.
2
2
则H（0,0,0）
，P（0,0,
3
3
uuur
（1,
3
3
uuur
（0,0,
3
）,
D（1,
0），DP
2
），HP
）为平面ABFD的法向量.
2
2
2
2
uuur
uuur
设DP与平面ABFD所成角为
，则sin
HPDP
|uuur
uuur|
|HP||DP|
所以DP与平面ABFD所成角的正弦值为
3.
4
3
43.
34
19．解：
（1）由已知得F（1,0），l的方程为x
1.
由已知可得，点A的坐标为（1,
2
）或（1,
2
）.
2
2
所以AM的方程为y
2
x
2或y
2
2.
2
x
2
（2）当l
与x轴重合时，
OMA
OMB
0.
当l与x轴垂直时，OM为AB的垂直平分线，所以
OMA
OMB.
当l与x轴不重合也不垂直时，
设l
的方程为y
k（x1）（k
0），A（x1,y1），B（x2,y2），则x1
2，x2
2，
直线MA，MB的斜率之和为kMA
kMB
y1
y2
.
x1
2x2
2
由y1kx1
k，y2
kx2k得
kMA
kMB
2kx1x2
3k（x1
x2）
4k.
（x1
2）（x2
2）
将yk（x
1）代入x2
y2
1得
2
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（2k
2
2
2
2
20.
1）x
4kx
2k
所以，x1
x2
4k2
x1x2
2k2
2
2k
2
1
2k
2
.
1
则2kx1x2
3k（x1
x2）
4k
4k3
4k
12k3
8k3
4k
0.
2
1
2k
从而kMA
kMB
0，故MA，MB的倾斜角互补.所以OMAOMB.
综上，
OMA
OMB.
20．解：
（1）20件产品中恰有
2件不合格品的概率为
f（p）
C202p2（1
p）18.因此
f（p）
2
18
2
17
2
17
C20[2p（1
p）
18p（1p）
]
2C20p（1
p）（110p）.
令f（p）
0，得p
0.1.
当p（0,0.1）
时，f（p）
0；当p
（0.1,1）时，f（p）
0.所以f（p）的最大值点为
p00.1.
（2）由
（1）知，p0.1.
（ⅰ）令
Y表示余下的
180件产品中的不合格品件数，依题意知
YB（180,0.1），X
20225Y，即
X4025Y.
所以EX
E（4025Y）
4025EY490.
（ⅱ）如果对余下的产品作检验，则这一箱产品所需要的检验费为
400元.
由于EX
400，故应该对余下的产品作检验.
21．解：
（1）f（x）的定义域为（0,
），
（x）
1
1
a
x2
ax
1
x2
x
x2
.
f
（ⅰ）若a≤2，则f（x）≤0，当且仅当a
2，x
1时f（x）
0
，所以f（x）在（0,
）单调递减.
2
4或x
2
（ⅱ）若a
2，令f
（x）
0得，x
a
a
a
a
4
.
2
2
a
2
4
a
a
2
当x
a
4
）时，f
（x）
0；
（0,
2
）U（
2
（a
2
a
2
所以f（x）在（0,a
2
），（a
2
当x
a
4
a
4
）时，f
（x）
0.
a
4
a
4
）单调递减，在
2
2
2
2
2
a
2
（aa
4
a
4
）单调递增.
2
2
（2）由
（1）知，f（x）存在两个极值点当且仅当
a
2
.
由于f（x）的两个极值点x1
，x2满足x2
ax
1
0，所以x1x2
1，不妨设x1
x2，则x2
1.
由于
f（x1）
f（x2）
1
lnx1
lnx2
lnx1
lnx2
2lnx2
，
x1
x2
x1x2
1a
x1
x2
2a
x1
x2
2a
1
x2
x2
所以f（x1）
f（x2）
a
2
等价于1
2
2
0
.
x1
x2
x2
x
2lnx
设函数g（x）
1
2lnx
，由
（1）知，g（x）在（0,
）单调递减，又g
（1）
0
，从而当x
（1,
）时，g（x）0.
x
x
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所以1
x22lnx20，即f（x1）
f（x2）
a2.
x2
x1
x2
22．解：
（1）由x
cos
，y
sin
得C2
的直角坐标方程为
2
2
4.
（x1）
y
（2）由
（1）知C2是圆心为A（1,0），半径为
2的圆.
由题设知，C1是过点B（0,2）
且关于y轴对称的两条射线
.记y轴右边的射线为
l1，y轴左边的射线为l2.由
于B在圆C2的外面，故C1与C2有且仅有三个公共点等价于
l1
与C2
只有一个公共点且
l2与C2有两个公共点，或l2与
C2只有一个公共点且
l1与C2
有两个公共点.
当l1与C2
只有一个公共点时，
A到l1所在直线的距离为
2，所以|
k
2|
2，故k
4或k
0.经检验，当
k2
1
3
k0时，l1与C2没有公共点；当
k
4时，l1与C2只有一个公共点，
l2与C2
有两个公共点.
3
当l2与C2
只有一个公共点时，A到l2
所在直线的距离为
2，所以|k
2|
2，故k
0
或k
4.
经检验，当k0
k2
1
3
时，l1与C2没有公共点；当
k
4时，l2
与C2没有公共点.
3
综上，所求C1的方程为
y
4
|x|
2.
3
23．解：
2,
x≤1,
（1）当a
1时，f（x）
|x
1|
|x
1|，即f（x）
2x,
1
x1,
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