精选精析数学例题 启迪拓展学生思维.docx

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精选精析数学例题启迪拓展学生思维

精选精析数学例题启迪拓展学生思维

——浅谈中学数学例题教学的功能与意义

【摘要】例题教学是数学教学的重要组成部分。

重视例题教学，精选精析数学例题，特别是对例题的各种功能的开发，不仅能加深学生对基础知识的理解和掌握，还能开发学生的智力，发散学生的定性思维，形成逻辑上的严密性，全面培养和提高学生能力，真正起到启迪、拓展学生思维的重要作用。

数学教师钻研例题的教学，不仅是一个教师最重要的基本功，也是全面提高教学质量的必要保证。

在教学过程中，不仅要深刻理解例题的目的性及其地位，还要能研究好每一例题的解法，以及会旁及哪些相关习题及相关应用，同时，还要发挥例题所能体现的数学规律及数学思想上的教育作用。

【关键词】例题教学示范引领拓展思维发展智力提高能力数学思想

“学以致用”是教学的主旨，数学能力的应用，在课堂上往往是通过数学解题来加以体验。

思维缜密、方法巧妙的解题能充分体现学生的观察能力、理解能力、想象能力、运算能力、数学语言表达能力及逻辑推理能力。

而解一道数学题，并不只是熟记住书本上的数学概念、相关定理就能做到，它不仅要求学生对概念、数学原理深刻理解与掌握，更重要的是要能对概念及数学原理进行剖析、挖掘、牵引、延伸，达到对概念与原理的活化功效，从而解题才能“下笔有神”、“游刃有余”以致“融会贯通”。

由于现在的初中生年龄普遍较低，思维的严密性相对较弱，要想学会缜密解题，教师的引领、示范必不可缺，选择好范例又至关重要。

中学数学教材具有相对完备的知识体系，课本例题更是经过专家与老师们精挑细选、精心设计的，不仅有典型的范例作用，还渗透着一定的数学思想和方法，具有很高的教学利用价值。

在教学中，教材设置的例题应是首选的范例，例题教学应是教学环节的一个重要组成成分。

重视例题教学，精选精析数学例题，特别是对例题的各种功能的开发，不仅能加深学生对基础知识的理解和掌握，还能开发学生的智力，发散学生的定性思维，形成逻辑上的严密性，全面培养和提高学生能力，真正起到启迪、拓展学生思维的重要作用。

下面就例题教学的功效，例题教学的一些方法浅谈一下笔者的几点认识。

一、例题教学的功效

1、通过例题教学加强学生对数学概念、定理定律及数学思想和方法的理解、巩固与应用

数学概念是现实世界中的空间形式和数量关系及其本质属性在思维中的反映，数学概念在数学思维中起着十分重要的作用，它是最基本的思维形式。

概念教学是数学教学的重要方面，它能更新学生知识、提高学生认知水平，对学生的未来学习及数学用语的恰当表述具有重要的意义。

概念形成后，针对学生对概念中特殊数学用语的理解不透彻，甚至思维模式有错的地方，教师可以结合一些恰当的例题，加深理解并巩固。

——【人教版数学九年级上26页】

例将方程3x（x－1）＝5（x＋2）化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项。

〖评〗本题是借助教材引例及两个问题列出相应3个方程，思考方程特点，从而形成一元二次方程概念及一般形式后设置的例题，通过化简整理，它不仅帮助学生进一步认识一元二次方程及其一般形式，还提升了学生分析方程组成，为求根公式及根与系数的关系学习打下了基础。

说明此例的解析既起到了本课知识点的理解与巩固，还为后续学习提供了铺垫。

数学教学是数学思维活动的教学，数学思维的形成离不开数学知识的掌握和数学思想方法的渗透。

数学知识是应用数学的“源”，是解决数学问题的理论依据；数学思想方法是“路”，是活化一切数学知识的本质，它为分析、处理数学问题提供了指导方针和解题策略。

这正如南京师范大学涂荣豹教授所指出的：

“在数学教学中要注重知识的传授、记忆和模仿，更要重视的是数学思想方法的渗透和数学定理、定律的剖析与引申”。

如何做到数学思想方法的渗透和数学定理、定律的剖析与引申，从而全面掌握数学知识，形成一定的数学思维，例题教学具有一定的作用。

——【人教版数学八年级下96页】

例3如图19.1-9，□ABCD的对角线AC、BD交于点O，E、F是AC上的两点，并且AE＝CF，求证：

四边形BFDE是平行四边形。

——【人教版数学八年级下98页】

例4如图19.1-13，点D、E分别是△ABC的边AB、AC的中点，求证：

DE∥BC且DE＝

BC

〖评〗这几个例题旨在加强对平行四边形的判定定理的应用，其中例3不仅具有一题多解性，还具有一题多变的作用，是一个很好的范例，具有很高的利用价值；例4除了加强对平行四边形的判定定理的应用，还训练学生思考作辅助线的方法，同时为得出三角形的中位线定理提供了理论依据。

另外，这几个例题还渗透了数学的分类思想，数形结合思想、建模思想、化归与转化思想等。

它们可以极大地提升学生的思维水平和解题能力，从而形成正确处理数学问题的策略。

2、例题教学为学生的解题提供示范性、使学生解题更规范并具有可操作性

解题是深化知识、发展智力、提高数学能力的重要手段之一。

规范的解题不仅能够使学生养成良好的学习习惯，还能培养学生缜密的逻辑思维能力。

规范解题要求步骤清晰、运算正确、推理有据、结构完整、详略得当。

——【人教版数学九年级上36页】

例2用公式法解下列方程：

（1）x2－4x－7＝0；

（2）2x2－2

x＋1＝0；（3）5x2－3x＝x＋1；（4）x2＋17＝8x.

解：

（1）a＝1,b＝－4,c＝－7.

△＝b2－4ac＝（－4）2－4×1×（－7）＝44＞0.

方程有两个不相等的实数根

即

，

（2）（3）（4）题过程略

〖评〗本题是在通过配方形成求根公式并探讨归纳△决定根的情况后，让学生学会用公式法解一元二次方程的示范性例题，学生解题往往不管是否有根，把求根公式当成了“万能公式”，直接将各系数代人求根公式，从而出现解题障碍甚至错误，本例的解题步骤清楚，格式规范，思路清晰，为学生起到了很好的示范性作用，让学生真正学会用公式法解一元二次方程。

——【人教版数学九年级上111页】

例1如图24.4-3，水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是0.6m，其中水面高0.3m，求截面上有水部分的面积（结果保留小数点后两位）.

解：

如图24.4-3，连接OA，OB，作弦AB的垂直平分线，垂足为D，交弧AB于点C，连接AC.

∵OC＝0.6,DC＝0.3,∴OD＝OC－DC＝0.3，∴OD＝DC,

又AD⊥DC，∴AD是线段OC的垂直平分线，

∴AC＝AO＝OC，从而∠AOD＝60°，∠AOB＝120°.

有水部分的面积S＝S扇形OAB－S△OAB

＝

＝

≈0.22（m2）

〖评〗本例解题的基本步骤是：

作辅助线→图形与数据有效结合→图形的特殊位置关系形成→代人公式→计算→得到结论。

每一环节环环相扣、层层递进，依据充分、结论明显，计算细致、条理清晰，为学生模仿计算图形的面积提供了很好的示范作用。

二、例题教学常用方法及作用

1、精选精析，强化数学知识的应用

思维的灵活性首先来源于对基本概念、数学原理的深刻理解与熟练掌握，来源于对数学基本思想及方法的融会贯通。

然而，由于初中学生的心理存在一定的“思维定势”和出现“思维凝结”，对新知（尤其是一些复杂的实际应用题和复杂的图形推证题）的应用往往不知何处入手或无从选择。

这时，教师精选一两道例题，精讲精析，引导学生剖析题中条件，化整为单一，再化单一为整，全面理清思路，最终合理推导或合理列式（或方程），得出相应结论。

可以全面培养学生思维的灵活性，提高他们综合运用数学知识的能力。

——【人教版数学九年级上47页】

探究322.3-1，要设计一本书的封面，封面长27㎝，宽21㎝，正中央是一个与整个封面长宽比例相同的长方形，如果要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一，上、下边衬等宽，左、右边衬等宽，应如何设计四周边衬的宽度（结果保留小数点后一位）？

分析：

封面的长宽之比是……（略）

〖评〗本探究为一元二次方程在图形面积处理方面的实际应用，虽然条件不多，但上、下边衬与左、右边衬不等宽，学生易在此处陷入障碍，从而无法列出适当方程，这就要求教师剖析好边衬宽度关系与封面长宽关系的联系，化二元为一元，列一元二次方程解题，为学生今后解决图形面积问题积累了经验。

——【人教版数学九年级下88页】

例4热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为30°，看这栋高楼底部的俯角为60°，热气球与高楼的水平距离为120m，这栋高楼有多高（结果保留小数点后一位）？

分析：

……（过程略）

解：

……（过程略）

〖评〗本题是指导学生利用解直角三角形的方法解决与视角有关的问题，过程为：

整理条件→以锐角三角函数梳理线段关系→转化所求线段长的关系式→代人数值计算→答题。

把解直角三角形充分应用于解决生活实际问题。

2、一题多变，拓展、延伸学生思维，提升学生思维的灵活性、应变性

数学概念、原理的形成，是劳动者长期生活实践或数学工作者不懈努力，反复推理、论证，最终从客观世界中抽象产生的对数与形的思维总结与概括。

学生对数学知识的理解与掌握，必须借助教师的引导，让学生由表及里去剖析、由此至彼去延伸，形成思维的整体性、延续性。

一题多变，即“变式训练”往往能够发挥功效，这种训练方式不仅能拓展、延伸学生思维，扩大学生数学思维的内在模式的外延，更能提升学生思维的灵活性、应变性，促使学生对知识的广泛迁移。

——【人教版数学八年级下104页】

例1如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，∠AOB=60°，AB=4，求矩形的对角线的长。

分析：

……（过程略）

解：

……（过程略）

〖评〗本题设置是在学生探究得出矩形的相关性质后应有性质解决实际问题，还有效地将等边三角形融入在内，为了加强学生对图形的识别与性质的综合应有，例题解析后，我又在原题的基础上进行了改编，使性质应用进一步提升。

【变式1】如图，矩形ABCD的一条对角线长为8，两条对角线的夹角∠AOD=120°，求矩形的面积。

解：

……（过程略）

【变式2】如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，∠AOB=60°，经过点O的直线EF交AD于E,交BC于F，①OE与OF的长有什么关系？

②若EF⊥AC，AE与EF的长又有什么关系？

（口头表述）

解：

……（过程略）

当然，变式训练不是加大题量，盲目扩充课堂容量，而应要有目的性、针对性，起到激发学生数学思维活跃性的作用，同时，还要有适度的变，有准备的变，不能变的茫无边际，使学生感到越变越混乱，导致适得其反。

3、一题多解，培养学生发散性、创造性思维，加强学生综合解题的能动力，激发学生解题的趣味性

同一个问题不只有一种解决方法,我们称之为一题多解。

一题多解的“多解”只是数学思想和方法的一种表现形式。

通过剖析问题实质，引发一题多解，不仅让我们更有主动性地运用一题多解的方法,串联与归纳所学数学知识的本质与内涵，还在教学中更为有效地培养了学生的创新思维能力和发散思维能力。

在数学教学中，让学生学会一题多解，有利于启迪思维，开阔视野，全方位思考问题，分析问题，有利于培养学生的综合智能与解题技巧。

——【人教版数学八年级下96页】

例3

如图19.1-9，□ABCD的对角线AC、BD交于点O，E、F是AC上的两点，并且AE＝CF.

求证：

四边形BFDE是平行四边形。

解法1：

由□ABCD得AO＝CO，BO＝DO，因AE＝CF得OE＝OF，利用“对角线互相平分的四边形是平行四边形”这一判定定理论证结果。

解法2：

先证△ABE≌△CDF，得BE＝DF，BE∥DF，利用“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”这一判定定理论证结果。

解法3：

分别论证△ABE≌△CDF与△ADE≌△CBF，得BE＝DF，DE＝BF，利用“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”这一判定定理论证结果。

解法4：

分别论证△ABE≌△CDF与△ADE≌△CBF，得BE∥DF，DE∥BF，利用定义“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”论证结果。

〖评〗通过以上几种解法的论证，加强了所学平行四边形的判定定理的理解，同时也巩固了平行四边形的性质定理，突破了本节课的重点，不但达到了认知目标，而且还有利于培养学生思维的广阔性、变通性、创造性，锻炼了学生的求异思维、发散思维，也达到了本节课的能力目标。

再让学生比较哪种解法精简，说明学习数学知识不仅要达到“广度”，还要具有一定的“深度”，更要形成一定的“精度”，借此调动学生深钻多思的学习积极性，培养学生优秀的学习品质。

综上所述，数学教师钻研例题的教学，不仅是一个教师最重要的基本功，也是全面提高教学质量的必要保证。

在进行教学设计时，不仅要深刻理解例题的目的性及其地位，还要能研究好每一例题的解法，以及会旁及哪些相关习题及相关应用，同时，还要发挥例题所能体现的数学规律及数学思想上的教育作用。

也使学生的能力得到更大提高，学生的思维得到更大的开阔。

【参考书目】

（1）《数学》义务教育课程标准实验教科书…………人民教育出版社；

（2）《新课程教师课堂技能指导》…………………中国轻工业出版社；

（3）《新课程教师科研行动指要》………………首都师范大学出版社.