北师大版九年级上册 第一章 特殊四边形 解答题拓展专题练习无答案.docx

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北师大版九年级上册第一章特殊四边形解答题拓展专题练习无答案

北师大版九年级上册第一章特殊四边形解答题拓展专题

1、如图1，在△ABC中，∠ACB为锐角，点D为射线BC上一点，连接AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF．（提示：

正方形的四条边都相等，四个角都是直角）

（1）如果AB=AC，∠BAC=90°，

①当点D在线段BC上时（与点B不重合），如图2，线段CF、BD所在直线的位置关系为　　，线段CF、BD的数量关系为　　；

②当点D在线段BC的延长线上时，如图3，①中的结论是否仍然成立，并说明理由；

（2）如果AB≠AC，∠BAC是锐角，点D在线段BC上，当∠ACB满足　　条件时，CF⊥BC（点C、F不重合），不用说明理由．

2、

（1）自主阅读：

如图1，AD∥BC，连接AB、AC、BD、CD，则S△ABC=S△BCD．

证明：

分别过点A和D，作AF⊥BC，DE⊥BC由AD∥BC，可得AF=DE．

又因为S△ABC=

×BC×AF，S△BCD=

×BC×DE所以S△ABC=S△BCD

由此我们可以得到以下的结论：

像图1这样，　　　　　　．

（2）结论证明：

如果一条直线（线段）把一个平面图形的面积分成相等的两部分，我们把这条直线（线段）称为这个平面图形的一条面积等分线（段），如，平行四边形的一条对角线就是平行四边形的一条面积等分线段．

①如图2，梯形ABCD中AB∥DC，连接AC，过点B作BE∥AC，交DC延长线于点E，连接点A和DE的中点P，则AP即为梯形ABCD的面积等分线段，请你写出这个结论成立的理由：

②如图3，四边形ABCD中，AB与CD不平行，S△ADC＞S△ABC，过点A能否做出四边形ABCD的面积等分线（段）？

若能，请画出面积等分线（用钢笔或圆珠笔画图，不用写作法），不要证明

3、如图，在四边形ABCD中，∠D=∠BCD=90°，∠B=60°，AB=

cm，AD=8cm，直线EF从点A出发沿AD方向匀速运动，速度是2cm/s，运动过程中始终保持EF∥AC，EF交AD于E，交DC于点F；同时，点P从点C出发沿CB方向匀速运动，速度是1cm/s，连接PE、PF，设运动时间为t（s）（0＜t＜4）．

（1）当EP⊥BC时，求t的值是多少？

（2）设△PEF的面积为y（cm2），求y与t之间的函数关系式；

（3）是否存在某一时刻t，使面积y最大？

若存在，求出y的最大值；若不存在，说明理由．

（4）连接AP，是否存在某一时刻t，使点E恰好在AP的垂直平分线上？

若存在，求出此时t的值；若不存在，说明理由．

4、已知，如图，正方形

的边长为6，菱形

的三个顶点

分别在正方形

边

上，

，连接

．

（1）当

时，求

的面积；

（2）设

，用含

的代数式表示

的面积；

（3）判断

的面积能否等于

，并说明理由．

5、小儒在学习了定理“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”之后做了如下思考：

（1）他认为该定理有逆定理，即“如果一个三角形某条边上的中线等于该边长的一半，那么这个三角形是直角三角形”应该成立，你能帮小儒证明一下吗？

如图①，在△ABC中，AD是BC边上的中线，若AD＝BD＝CD，求证：

∠BAC＝90°．

（2）接下来，小儒又遇到一个问题：

如图②，已知矩形ABCD，如果在矩形外存在一点E，使得AE⊥CE，求证：

BE⊥DE，请你作出证明，可以直接用到第

（1）问的结论．

（3）在第

（2）问的条件下，如果△AED恰好是等边三角形，直接用等式表示出此时矩形的两条邻边AB与BC的数量关系．

6、我们知道定理“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”，这个定理的逆命题也是真命题．

（1）这个定理的逆命题是　  　；

（2）下面我们来证明这个逆命题：

已知：

如图1，CD是△ABC的中线，CD=

AB

求证：

△ABC为直角三角形．

（3）如图2已知线段AB和直线l，点C是直线l上一点，若△ABC为直角三角形，请你用圆规和没有刻度的直尺确定点C位置．

7、如图，△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，CD为△ABC的中线，作CO⊥AB于O，点E在CO延长线上，DE=AD，连接BE、DE．

（1）求证：

四边形BCDE为菱形；

（2）把△ABC分割成三个全等的三角形，需要两条分割线段，若AC=6，求两条分割线段长度的和．

8、如图，在等边三角形ABC中，BC=6cm．射线AG∥BC，点E从点A出发沿射线AG以1cm/s的速度运动，同时点F从点B出发沿射线BC以2cm/s的速度运动，设运动时间为t（s）；

（1）连接EF，当EF经过AC边的中点D时，求证：

△ADE≌△CDF；

（2）求当t为何值时，四边形ACFE是菱形；

9、如图1，四边形ABCD是正方形，点E是AB边的中点，以AE为边作正方形AEFG，连接DE，BG．

（1）发现

①线段DE、BG之间的数量关系是　  　；

②直线DE、BG之间的位置关系是　  　．

（2）探究

如图2，将正方形AEFG绕点A逆时针旋转，

（1）中的结论是否仍然成立？

若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．

（3）应用

如图3，将正方形AEFG绕点A逆时针旋转一周，记直线DE与BG的交点为P，若AB=4，请直接写出点P到CD所在直线距离的最大值和最小值．

10、如图1、2，在矩形纸片ABCD中，AD=6，AB=9。

点M、N分别在AB、DC上（M不与A、B重合、N不与C、D重合），现以MN为折痕，将矩形纸片ABCD折叠。

（1）当B点落在BC上时（如图2），求证：

⊿MNB是等腰三角形；

（2）当B点与D点重合时，试求⊿MNB面积；

（3）当B点与AD的重点重合时，试求折痕MN的长。

11、如图，四边形ABCD和四边形DEFG都是正方形，点E，G分别在AD，CD上，连接AF，BF，CF

（1）求证：

AF=CF；

（2）若∠BAF=35°，求∠BFC的度数．

12、在读书月活动中，学校准备购买一批课外读物，为使课外读物满足同学们的需求，学校就“我最喜爱的课外读物”从文学、艺术、科普和其他四个类别进行了抽样调查如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠B=∠D．

（1）求证：

四边形ABCD为平行四边形；

（2）若点P为对角线AC上的一点，PE⊥AB于E，PF⊥AD于F，且PE=PF，求证：

四边形ABCD是菱形．

13、 已知，如图，正方形ABCD的边长为12，菱形EFGH的三个顶点E，G，H分别在正方形ABCD的边AB，CD，DA上，AH=4，连接CF。

（1）当DG=4时，求∠GHE的度数及△FCG的面积；

（2）设DG=x，用含x的代数式表示△FCG的面积；

（3）判断△FCG的面积能否等于4，并说明理由。

14、如图，四边形ABCD中AB∥CD，对角线AC，BD相交于O，点E，F分别为BD上两点，且BE=DF，∠AEF=∠CFB．

（1）求证：

四边形ABCD是平行四边形；

（2）若AC=2OE，试判断四边形AECF的形状，并说明理由．

15、如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC中点，四边形ABDE是平行四边形，AC、DE相交于点O．

（1）求证：

四边形ADCE是矩形．

（2）若∠AOE=60°，AE=4，求矩形ADCE对角线的长．

16、已知，四边形ABCD是正方形，点P在直线BC上，点G在直线AD上（P、G不与正方形顶点重合，且在CD的同侧），PD=PG，DF⊥PG于点H，交直线AB于点F，将线段PG绕点P逆时针旋转90°得到线段PE，连接EF．

（1）如图1，当点P与点G分别在线段BC与线段AD上时

   ①求证：

DG=2PC；

   ②求证：

四边形PEFD是菱形；

（2）如图2，当点P在线段BC的延长线上时，其它条件不变，画出图形并直接猜想出四边形PEFD是怎样的特殊四边形．

17、如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AC=60cm，∠A=60°，点D从点C出发沿CA方向以4cm/秒的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以2cm/秒的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D、E运动的时间是t秒（0＜t≤15）．过点D作DF⊥BC于点F，连接DE，EF．

（1）求证：

AE=DF；

（2）四边形AEFD能够成为菱形吗？

如果能，求出t的值，如果不能，说明理由；

（3）在运动过程中，四边形BEDF能否为正方形?

若能,求出t的值；若不能，请说明理由．

18、已知：

在△ABC中，AB=AC．

（1）尺规作图：

作△ABC的角平分线AD，延长AD至E点，使得DE=AD；（不要求写作法，保留作图痕迹）

（2）在

（1）的条件下，连接BE，CE，求证：

四边形ABEC是菱形．

19、在正方形ABCD中，E为边CD上一点，连接BE．

（1）请你在图1画出△BEM，使得△BEM与△BEC关于直线BE对称；

（2）若边AD上存在一点F，使得AF+CE=EF，请你在图2中探究∠ABF与∠CBE的数量关系并证明；

（3）在

（2）的条件下，若点E为边CD的三等分点，且CE

20、问题背景：

△AOB、△COD是两个等腰直角三角形，现将直角顶点以及两直角边都重合在一起，如图1所示，点P是CD中点，连接BP并延长到E使PE=BP，连接EC，作平行四边形ACEF，小林针对平行四边形ACEF形状进行了如下探究：

观察操作：

（1）小林先假设小等腰直角三角形的直角边非常小，这时三角形可以看作一个点，如图2所示，并提出猜想四边形ACEF是　　　　　　；

猜想证明：

（2）小林对比图1和图2的情形，完成了

（1）中的猜想，请借助图1帮他证明这个猜想．

拓展延伸：

（3）如图3所示，现将等腰直角三角形COD绕点O逆时针旋转一定角度，其它条件都不改变，原来结论是否仍然成立？

请说明理由．

21、如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，过点E作EF∥AB，交BC于点F．

（1）求证：

四边形DBFE是平行四边形；

（2）当△ABC满足什么条件时，四边形DBFE是菱形？

为什么？

22、已知：

在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D为直线BC上一动点（点D不与B、C重合）．以AD为边作正方形ADEF，连接CF．

（1）如图1，当点D在线段BC上时，求证：

①BD⊥CF．②CF=BC﹣CD．

（2）如图2，当点D在线段BC的延长线上时，其它条件不变，请直接写出CF、BC、CD三条线段之间的关系；

（3）如图3，当点D在线段BC的反向延长线上时，且点A、F分别在直线BC的两侧，其它条件不变：

①请直接写出CF、BC、CD三条线段之间的关系．②若连接正方形对角线AE、DF，交点为O，连接OC，探究△AOC的形状，并说明理由．

23、在平行四边形ABCD中，AC、BD交于点O，过点O作直线EF、GH，分别交平行四边形的四条边于E、G、F、H四点，连结EG、GF、FH、HE.

（1）如图①，试判断四边形EGFH的形状，并说明理由；

（2）如图②，当EF⊥GH时，四边形EGFH的形状是          ；

（3）如图③，在

（2）的条件下，若AC=BD，四边形EGFH的形状是         ；

（4）如图④，在（3）的条件下，若AC⊥BD，试判断四边形EGFH的形状，并说明理由.

24、如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点A在y轴正半轴上，顶点B在x轴正半轴上，OA、OB的长分别是一元二次方程x2﹣7x+12=0的两个根（OA＞OB）．

（1）求点D的坐标．

（2）求直线BC的解析式．

（3）在直线BC上是否存在点P，使△PCD为等腰三角形？

若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，说明理由．

25、如图，将□A

BCD的边DC延长到点E，使CE=DC，连接AE，交BC于点F．

 ⑴求证：

△ABF≌△ECF;

  ⑵若∠AFC=2∠D，连接AC、BE．求证：

四边形ABEC是矩形．

26、在菱形ABCD中，∠ABC=60°，E是对角线AC上一点，F是线段BC延长线上一点，且CF=AE，连接BE、EF．

（1）若E是线段AC的中点，如图，求证：

BE=EF；

（2）若E是线段AC或AC延长线上的任意一点，其它条件不变，如图2、图3，线段BE与EF有怎样的数量关系，直接写出你的猜想；并选择一种情况给予证明．

27、已知，正方形ABCD中，∠MAN=45°,∠MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB、DC（或它们的延长线）于点M、N，AH⊥MN于点H．

（1）如图①，当∠MAN绕点A旋转到BM=DN时，请你直接写出AH与AB的数

量关系：

            ；

（2）如图②，当∠MAN绕点A旋转到BM≠DN时，

（1）中发现的AH与AB的数量关系还成立吗？

如果不成立请写出理由．如果成立请证明；

（3）如图③，已知∠MAN=45°，AH⊥MN于点H，且MH=2，NH=3，求AH的长．（可利用

（2）得到的结论）

28、如图，△ABC中，AB=AC，AD、AE分别是∠BAC和∠BAC和外角的平分线，BE⊥AE．

（1）求证：

DA⊥AE；

（2）试判断AB与DE是否相等？

并证明你的结论．

29、在△ABC中，AB=AC，CG⊥BA交BA的延长线于点G．一等腰直角三角尺按如图-1所示的位置摆放，该三角尺的直角顶点为F，一条直角边与AC边在一条直线上，另一条直角边恰好经过点B．

⑴在图-1中请你通过观察、测量BF与CG的长度，猜想并写出BF与CG满足的数量关系，然后证明你的猜想；

⑵当三角尺沿AC方向平移到图-2所示的位置时，一条直角边仍与AC边在同一直线上，另一条直角边交BC边于点D，过点D作DE⊥BA于点E．此时请你通过观察、测量DE、DF与CG的长度，猜想并写出DE＋DF与CG之间满足的数量关系，然后证明你的猜想；

⑶当三角尺在⑵的基础上沿AC方向继续平移到图-3所示的位置（点F在线段AC上，且点F与点C不重合）时，⑵中的猜想是否仍然成立？

（不用说明理由）

30、如图，在Rt△ABC与Rt△ABD中，∠ABC=∠BAD=900，AD=BC，AC、BD相交于点G，过点A作AE∥DB交CB的延长线于点E，过点B作BF∥CA交DA的延长线于点F，AE、BF相交于点H．

（1）图中有若干对三角形是全等的，请你任选一对进行证明；（不添加任何辅助线）

（2）证明四边形AHBG是菱形；

（3）若使四边形AHBG是正方形，还需在Rt△ABC的边长之间再添加一个什么条件？

请你写出这个条件．（不必证明）