江苏省南京师范大学附属中学届高三数学模拟试题06100162.docx

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江苏省南京师范大学附属中学届高三数学模拟试题06100162

江苏省南京师范大学附属中学届高三数学月模拟试题

（满分分，考试时间分钟）

．

一、填空题：

本大题共小题，每小题分，共分．

.已知集合＝{≤，∈}，＝{≤≤}，则∩＝．

.已知复数＝（＋）（＋），其中是虚数单位．若的实部与虚部相等，则实数的值为．

.某班有学生人，现将所有学生随机编号，用系统抽样方法，抽取一个容量为的样本．已知号、号、号学生在样本中，则样本中还有一个学生的编号是．

.张奖券分别标有特等奖、一等奖和二等奖．甲、乙两人同时各抽取张奖券，两人都未抽得特等奖的概率是．

.函数（）＝＋（－）的定义域为．

.如图是一个算法流程图，则输出的值为．

（第题）

　　　　　　　（第题）

.若正三棱柱的所有棱长均为，点为侧棱上任意一点，则四棱锥的体积为．

.在平面直角坐标系中，点在曲线：

＝－＋上，且在第四象限内．已知曲线在点处的切线方程为＝＋，则实数的值为．

.已知函数（）＝（＋φ）－（＋φ）（<φ<π）是定义在上的奇函数，则（－）的值为．

.如果函数（）＝（－）＋（－）＋（，∈且≥，≥）在区间[，]上单调递减，那么的最大值为．

.已知椭圆＋＝与双曲线－＝（>，>）有相同的焦点，其左、右焦点分别为，.若椭圆与双曲线在第一象限内的交点为，且＝，则双曲线的离心率为．

.在平面直角坐标系中，点的坐标为（，），点是直线：

＝上位于第一象限内的一点．已知以为直径的圆被直线所截得的弦长为，则点的坐标为．

.已知数列{}的前项和为，＝，＝，＋＝则满足≤≤的正整数的所有取值为．

.已知等边三角形的边长为，＝，点，分别为线段，上的动点，则·＋·＋·取值的集合为．

二、解答题：

本大题共小题，共分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．

.（本小题满分分）

如图，在平面直角坐标系中，以轴正半轴为始边的锐角α的终边与单位圆交于点，且点的纵坐标是.

（）求（α－）的值；

（）若以轴正半轴为始边的钝角β的终边与单位圆交于点，且点的横坐标为－，求α＋β的值．

.（本小题满分分）

如图，已知正方形和矩形所在的平面互相垂直，＝，＝，是线段的中点．求证：

（）∥平面；

（）⊥平面.

.（本小题满分分）

某广告商租用了一块如图所示的半圆形封闭区域用于产品展示，该封闭区域由以为圆心的半圆及直径围成．在此区域内原有一个以为直径、为圆心的半圆形展示区，该广告商欲在此基础上，将其改建成一个凸四边形的展示区，其中，分别在半圆与半圆的圆弧上，且与半圆相切于点.已知长为米，设∠为θ.（上述图形均视作在同一平面内）

（）记四边形的周长为（θ），求（θ）的表达式；

（）要使改建成的展示区的面积最大，求θ的值．

.（本小题满分分）

在平面直角坐标系中，已知椭圆：

＋＝（>>）的左、右焦点分别为，，且点，与椭圆的上顶点构成边长为的等边三角形．

（）求椭圆的方程；

（）已知直线与椭圆相切于点，且分别与直线＝－和直线＝－相交于点，.试判断是否为定值，并说明理由．

.（本小题满分分）

已知数列{}满足··…·＝（∈*），数列{}的前项和＝（∈*），且＝，＝.

（）求数列{}的通项公式；

（）求数列{}的通项公式；

（）设＝－，记是数列{}的前项和，求正整数，使得对于任意的∈*均有≥.

.（本小题满分分）

设为实数，已知函数（）＝，（）＝＋.

（）当<时，求函数（）的单调区间；

（）设为实数，若不等式（）≥＋对任意的≥及任意的>恒成立，求的取值范围；

（）若函数（）＝（）＋（）（>，∈）有两个相异的零点，求的取值范围．

届高三模拟考试试卷（二十一）

数学附加题（满分分，考试时间分钟）

.【选做题】在，，三小题中只能选做两题，每小题分，共分．若多做，则按作答的前两题计分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．

.（选修：

矩阵与变换）

已知矩阵＝，二阶矩阵满足＝.

（）求矩阵；

（）求矩阵的特征值．

.（选修：

坐标系与参数方程）

设为实数，在极坐标系中，已知圆ρ＝θ（>）与直线ρ（θ＋）＝相切，求的值．

.（选修：

不等式选讲）

求函数＝＋的最大值．

【必做题】第，题，每小题分，共分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．

.如图，在四棱锥中，⊥平面，∠＝∠＝°，＝＝，＝＝，点为的中点．

（）求异面直线与所成角的余弦值；

（）点在线段上，且＝λ，若直线与平面所成角的正弦值为，求λ的值．

.在平面直角坐标系中，有一个微型智能机器人（大小不计）只能沿着坐标轴的正方向或负方向行进，且每一步只能行进个单位长度，例如：

该机器人在点（，）处时，下一步可行进到（，）、（，）、（，）、（，－）这四个点中的任一位置．记该机器人从坐标原点出发、行进步后落在轴上的不同走法的种数为（）．

（）求（），（），（）的值；

（）求（）的表达式．

届高三模拟考试试卷（二十一）（南师附中）

数学参考答案及评分标准

.{，}　.－　.　.　.[，）　.　.　.－　.－　.　.　.（，）　.，　.{－}

.解：

因为锐角α的终边与单位圆交于点，且点的纵坐标是，

所以由任意角的三角函数的定义可知α＝.

从而α＝＝.（分）

（）（α－）＝α＋α＝×（－）＋×＝－.（分）

（）因为钝角β的终边与单位圆交于点，且点的横坐标是－，

所以β＝－，从而β＝＝.（分）

于是（α＋β）＝αβ＋αβ＝×（－）＋×＝.（分）

因为α为锐角，β为钝角，所以α＋β∈（，），（分）

从而α＋β＝.（分）

.证明：

（）设∩＝，连结，

∵四边形是矩形，∴∥，＝.

∵是正方形对角线的交点，

∴是的中点．

又点是的中点，∴∥，＝.

∴四边形是平行四边形，

∴∥.（分）

∵平面，平面，

∴∥平面.（分）

（）∵正方形，∴⊥.

∵平面∩平面＝，平面⊥平面，平面，

∴⊥平面.（分）

∵平面，∴⊥.（分）

∵正方形，＝，∴＝.

由（）可知点，分别是，的中点，且四边形是矩形．

∵＝，∴四边形是正方形，（分）

∴⊥.（分）

又⊥，且∩＝，平面，平面，

∴⊥平面.（分）

.解：

（）连结.由条件得θ∈（，）．

在△中，＝，＝，∠＝π－θ，由余弦定理，得

＝＋－·（π－θ）＝（＋θ）．（分）

因为与半圆相切于点，所以⊥，

所以＝－＝（＋θ），所以＝θ.（分）

所以四边形的周长为（θ）＝＋＋＋＝＋θ，

即（θ）＝＋θ，θ∈（，）．（分）

（没写定义域，扣分）

（）设四边形的面积为（θ），则

（θ）＝△＋△＝（θ＋θθ），θ∈（，）．（分）

所以′（θ）＝（－θ＋θ－θ）＝（－θ－θ＋），θ∈（，）．（分）

令′（）＝，得θ＝.

列表：

θ

（，）

（，）

′（θ）

＋

－

（θ）

增

最大值

减

答：

要使改建成的展示区的面积最大，θ的值为.（分）

.解：

（）依题意，＝＝，所以＝，＝，

所以椭圆的标准方程为＋＝.（分）

（）①因为直线分别与直线＝－和直线＝－相交，

所以直线一定存在斜率．（分）

②设直线：

＝＋，

由得（＋）＋＋（－）＝.

由Δ＝（）－×（＋）×（－）＝，

得＋－＝　①.（分）

把＝－代入＝＋，得（－，－＋），

把＝－代入＝＋，得（－，－＋），（分）

所以＝－＋，

＝＝　②，（分）

由①式，得＝－　③，

把③式代入②式，得＝＝－＋，

∴＝＝，即为定值.（分）

.解：

（）①＝＝；（分）

②当≥时，＝＝＝.

所以数列{}的通项公式为＝（∈*）．（分）

（）由＝，得＝（＋）　①，

所以－＝（－）（＋－）（≥）　②.

由②－①，得＝＋－（－）－，≥，

即＋（－）－（－）－＝（≥）　③，

所以＋（－）－（－）－＝（≥）　④.

由④－③，得（－）－（－）－＋（－）－＝，≥，（分）

因为≥，所以－>，上式同除以（－），得

－－＋－＝，≥，

即＋－＝－－＝…＝－＝，

所以数列{}是首项为，公差为的等差数列，

故＝，∈*.（分）

（）因为＝－＝－＝[－]，（分）

所以＝，>，>，>，<.

记（）＝，

当≥时，（＋）－（）＝－＝－<，

所以当≥时，数列{（）}为单调递减数列，当≥时，（）<（）<<.

从而，当≥时，＝[－]<.（分）

因此<<<，>>>…

所以对任意的∈*，≥.

综上，＝.（分）

（注：

其他解法酌情给分）

.解：

（）当<时，因为′（）＝（＋），当<－时，′（）>；

当>－时，′（）<.所以函数（）单调减区间为（－∞，－），单调增区间为（－，＋∞）．（分）

（）由（）≥＋，得≥＋，由于>，

所以≥＋对任意的≥及任意的>恒成立．

由于>，所以≥，所以－≥对任意的>恒成立．（分）

设φ（）＝－，>，则φ′（）＝－，

所以函数φ（）在（，）上单调递减，在（，＋∞）上单调递增，

所以φ（）＝φ（）＝－，

所以≤－.（分）

（）由（）＝＋＋，得′（）＝（＋）＋＋＝，其中>.

①若≥时，则′（）>，所以函数（）在（，＋∞）上单调递增，所以函数（）至多有一个零零点，不合题意；（分）

②若<时，令′（）＝，得＝－>.

由第（）小题知，当>时，φ（）＝－≥－>，所以>，所以>，所以当>时，函数的值域为（，＋∞）．

所以存在>，使得＋＝，即＝－　①，

且当<时，′（）>，所以函数（）在（，）上单调递增，在（，＋∞）上单调递减．

因为函数有两个零点，，

所以（）＝（）＝＋＋＝－＋＋>　②.

设φ（）＝－＋＋，>，则φ′（）＝＋>，所以函数φ（）在（，＋∞）上单调递增．

由于φ（）＝，所以当>时，φ（）>，所以②式中的>.

又由①式，得＝－.

由第（）小题可知，当<时，函数（）在（，＋∞）上单调递减，所以－>，

即∈（－，）．（分）

当∈（－，）时，

（）由于（）＝＋（－）<，所以（）·（）<.

因为<<，且函数（）在（，）上单调递减，函数（）的图象在（，）上不间断，

所以函数（）在（，）上恰有一个零点；（分）

（）由于（－）＝－－－＋（－），令＝－>，

设（）＝－＋＋，>，

由于>时，<，>，所以设（）<，即（－）<.

由①式，得当>时，－＝>，且（－）·（）<，

同理可得函数（）在（，＋∞）上也恰有一个零点．

综上，∈（－，）．（分）

届高三模拟考试试卷（南师附中）

数学附加题参考答案及评分标准

..解：

（）由题意，由矩阵的逆矩阵公式得＝－＝.（分）

（）矩阵的特征多项式（λ）＝（λ＋）（λ－），（分）

令（λ）＝，解得λ＝或－，（分）

所以矩阵的特征值为或－.（分）

.解：

将圆ρ＝θ化成普通方程为＋＝，整理得＋（－）＝.（分）

将直线ρ（θ＋）＝化成普通方程为－－＝.（分）

因为相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即＝，（分）

解得＝＋.（分）

.解：

因为（＋）＝（·＋·）

≤（－＋＋）（＋）＝，（分）

所以＝＋≤.（分）

当且仅当＝，即＝∈[－，]时等号成立．（分）

所以的最大值为.（分）

.解：

（）因为⊥平面，且，平面，

所以⊥，⊥.

因为∠＝°，所以，，两两互相垂直．

分别以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系，

则由＝＝＝，＝，可得（，，），（，，），（，，），（，，），（，，）．

因为点为的中点，所以（，，）．

所以＝（－，，），＝（，，），（分）

所以〈，〉＝＝＝，（分）

所以异面直线，所成角的余弦值