第9讲三角形内角和精品讲义.docx

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第9讲三角形内角和精品讲义

三角形的外角（讲义）

一、知识点睛

1._________________________组成的角，叫做三角形的外角．

2.三角形外角定理：

三角形的一个外角等于_______________

_____________________．

已知：

如图，∠2是△ABC的一个外角．

求证：

∠2=∠A+∠B

证明：

如图，

∵∠A+∠B+∠1=180°（）

∠1+∠2=180°（）

∴∠2=∠A+∠B（）

二、精讲精练

1．已知：

如图，AC∥ED，∠C=25°，∠B=35°，则∠E的度数是（）

A．60°B．85°C．70°D．50°

第1题图第2题图

2．已知：

如图，在△ABE中，D是边BE上一点，C是AE延长线上一点，连接CD，若∠BDC=140°，∠B=35°，∠C=25°，

则∠A=．

3．将一副直角三角板如图放置，使含30°角的三角板的一条直角边和含45°角的三角板的一条直角边重合，则α=________．

4．如图，D是AB上一点，E是AC上一点，BE，CD相交于点F，∠A=60°，∠ACD=35°，∠ABE=20°，则∠BDC=_____，∠BEC=_____．

第4题图第5题图

5．

已知：

如图，在△ABC中，DE∥BC，F是AB上一点，FE的延长线交BC的延长线于点G，∠A=45°，∠ADE=60°，∠CEG=40°，则∠EGH=______．

6．如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，AE平分∠BAC，BF平分∠ABC，它们相交于点O，∠BAC=50°，∠C=70°，

则∠DAC=____，∠AED=_____，∠BOE=______．

7．已知：

如图，在△ABC中，∠B=∠C，AD平分外角∠EAC．

求证：

AD∥BC．

8．已知：

如图，BE是∠ABC的平分线，AB∥CE，∠A=50°，∠E=30°，求∠ACD的度数．

解：

∵AB∥CE（）

∴∠ABE=_______（）

∵∠E=30°（）

∴∠ABE=_______（）

∵BE是∠ABC的平分线（）

∴∠ABC=2∠ABE

=2×30°

=60°（角平分线的定义）

∵∠ACD是△ABC的一个外角（外角的定义）

∠A=50°（）

∴∠ACD=______+______

=______+______

=_______（）

9．已知：

如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，且∠ADE=∠C，

求证：

∠AED=2∠EDB

证明：

∵∠ADE=∠C（）

∴_____∥_____（）

∴∠EDB=∠DBC（）

∵BD平分∠ABC（）

∴∠EBD=∠DBC（角平分线的定义）

∴∠EDB=∠EBD（）

∵∠AED是△BDE的一个外角（）

∴∠AED=_____+_____

=2∠EDB（）

10．已知：

如图，在△ABC中，CD平分∠ACB交AB于点D，

∠ADE=∠B，DE交AC于点F，连接CE．

求证：

∠EFC=2∠FDC．

【参考答案】

一、知识点睛

1．三角形的一边与另一边的延长线；

2．和它不相邻的两个内角的和；三角形三个内角的和为180°；1平角=180°；等式性质．

二、精讲精练

1．A2．80°；3．75°；4．95°，80°；5．145°；6．20°，85°，55°；

7．证明：

如图，

∵AD平分∠EAC（已知）

∴∠EAC=2∠EAD（角平分线定义）

∵∠EAC为△ABC的一个外角（外角的定义）

∠B=∠C（已知）

∴∠EAC=∠B+∠C

=2∠B（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）

∴∠EAD=∠B（等式性质）

∴AD∥BC（同位角相等，两直线平行）

8．已知；∠E，两直线平行，内错角相等；已知；30°，等量代换；已知；已知；∠A，

∠ABC，50°，60°，110°，三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；

9．已知；DE，BC，同位角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等；已知；等量代换；外角的定义；∠EBD，∠EDB，三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；

10．证明：

如图，

∵∠B=∠ADE（已知）

∴DE∥BC（同位角相等，两直线平行）

∴∠FDC=∠DCB（两直线平行，内错角相等）

∵CD平分∠ACB（已知）

∴∠DCB=∠FCD（角平分线的定义）

∴∠FDC=∠FCD（等量代换）

∵∠EFC是△DFC的一个外角（外角的定义）

∴∠EFC=∠FDC+∠FCD

=2∠FDC（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）

几何证明每日一题（三角形的外角）

1．已知：

如图，直线AD与直线EB、FC分别相交于点G，H，若∠BEF+∠CFE=180°，求证：

∠A+∠B+∠C+∠D=180°．

2．已知：

如图，在△ABC中，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，若∠A=50°，求∠BOC的度数．

3．已知：

如图，在△ABC中，D是AB上一点，E是AC上一点，DE的延长线交BC的延长线于点F．若∠ACB=50°，∠DFB=30°，∠ADF=80°，求∠A的度数．

4．已知：

如图，点D，E，F分别在△ABC的三边BC，AB和AC上，AD平分∠BAC且AD平分∠EDF，若∠CFD=75°，则∠BED的度数为多少？

5．已知：

如图，直线AD分别与直线BF，DG相交于点C，D，E是DG上一点，若∠D=∠A+∠B，∠BFE=75°，∠G=35°，求∠EFG的度数．

【参考答案】

1.证明：

如图，

∵∠BEF+∠CFE=180°（已知）

∴BE∥CF（同旁内角互补，两直线平行）

∴∠BGH+∠CHG=180°（两直线平行，同旁内角互补）

∵∠BGH是△ABG的一个外角（外角的定义）

∴∠BGH=∠A+∠B（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）

∵∠CHG是△CHD的一个外角（外角的定义）

∴∠CHG=∠C+∠D（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）

∴∠A+∠B+∠C+∠D=∠BGH+∠CHG

=180°（等式性质）

2.证明：

如图，

∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACB（已知）

∴∠OBC=

∠ABC，∠OCB=

∠ACB（角平分线的定义）

∵∠A=50°（已知）

∴∠BOC=180°-∠OBC-∠OCB

=180°-

∠ABC-

∠ACB

=180°-

（∠ABC+∠ACB）

=180°-

（180°-∠A）

=90°+

∠A

=115°（三角形的三个内角的和等于180°）

3.解：

如图，

∵∠ADF是△BDF的一个外角（外角的定义）

∴∠ADF=∠B+∠DFB（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）

∵∠ADF=80°，∠DFB=30°（已知）

∴∠B=50°（等式性质）

∵∠ACB=50°（已知）

∴∠A=180°-∠B-∠ACB

=180°-50°-50°

=80°（三角形的三个内角的和等于180°）

4.证明：

如图，

∵AD平分∠BAC且AD平分∠EDF（已知）

∴∠FAD=∠EAD，∠FDA=∠EDA（角平分线的定义）

∴∠FAD+∠FDA=∠EAD+∠EDA（等式性质）

∵∠CFD是△ADF的一个外角（外角的定义）

∴∠CFD=∠FAD+∠FDA（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）

∵∠BED是△ADE的一个外角（外角的定义）

∴∠BED=∠EAD+∠EDA（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）

∴∠BED=∠CFD（等量代换）

∵∠CFD=75°（已知）

∴∠BED=75°（等量代换）

5.证明：

如图，

∵∠ACF是△ABC的一个外角（外角的定义）

∴∠ACF=∠A+∠B（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）

∵∠D=∠A+∠B（已知）

∴∠D=∠ACF（等量代换）

∴BF∥DG（同位角相等，两直线平行）

∴∠FEG=∠BFE（两直线平行，内错角相等）

∵∠BFE=75°（已知）

∴∠FEG=75°（等量代换）

∵∠G=35°（已知）

∴∠EFG=180°-∠FEG-∠G

=180°-75°-35°

=70°（三角形的三个内角的和等于180°）

三角形的外角（随堂测试）

1．如图，AB∥CD，EG与AB，CD分别交于F，G，∠A=30°，∠EGD=70°，求∠E的度数．

解：

∵_____∥______（）

∴∠EFB=______（）

∵∠EGD=70°（）

∴∠EFB=_______（）

∵∠EFB是△AEF的一个外角（）

∴∠EFB=_______+_______（）

∵∠A=30°（）

∴∠E=______-________

=______-________

=_______（）

2．

如图，BD是∠ABC的平分线，DE∥BC，交AB于点E，∠A=30°，∠BDC=60°，求

∠BDE的度数．

解：

∵∠BDC是△ABD的一个外角（）

∴∠BDC=____+______（）

∵∠A=30°，∠BDC=60°（）

∴∠ABD=____-______

=____-______

=______（）

∵BD是∠ABC的平分线（）

∴∠DBC=∠ABD

=_______（）

∵DE∥BC（）

∴∠BDE=______

=_____（）

【参考答案】

1．AB，CD，已知；∠EGD，两直线平行同位角相等；已知；70°，等量代换；外角的定义；∠A，∠E，三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；已知；∠EFB，∠EAB，70°，30°，40°，等式性质．

2．外角的定义；∠ABD，∠A，三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；已知；∠BDC，∠A，60°，30°，30°，等式性质；已知；30°；角平分线的定义；已知；∠DBC，30°，两直线平行内错角相等．

三角形的外角（作业）

1.将一副直角三角板，按如图所示叠放在一起，则图中α的度数是（）

A．45°B．60°C．75°D．90°

第1题图第2题图

2.如图，在△ABC中，∠1是它的一个外角，E为AC上一点，延长BC到点D，连接DE．若∠1=115°，∠A=40°，∠2=35°，则∠3=_______．

3.如图，AB∥CD，EG与AB，CD分别交于F，G，∠E=40°，∠CGE=110°，则∠A=_______．

第3题图第4题图

4.如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，AE是∠BAC的平分线，若∠B=70°，∠C=30°，则∠BAD=_______，

∠AED=_______．

5.

第5题图

如图，在△ABC中，∠BAC=50°，∠C=60°，AD⊥BC，BE是∠ABC的平分线，AD，BE相交于点F，求∠AFB的度数．

解：

∵∠C=60°，∠BAC=50°（）

∴∠ABC=180°-_____-∠C

=180°-50°-60°

=70°（）

∵BE是∠ABC的平分线（）

∴∠EBD=

∠ABC

=35°（角平分线的定义）

∵AD⊥BC（）

∴∠ADB=90°（垂直的性质）

∵∠AFB是△BDF的一个外角（）

∴∠AFB=______+_______

=______+_______

=________（）

6.填写下列解题过程中的推理根据：

如图，在△ABC中，∠A=40°，BD平分∠ABC交AC于点D，∠BDC=70°，求∠C的度数．

解：

∵∠BDC是△ABD的一个外角（）

∴∠BDC=∠A+∠ABD（）

∵∠A=40°，∠BDC=70°（）

∴∠ABD=______（）

∵BD平分∠ABC（）

∴∠ABC=2∠ABD（角平分线的定义）

∴∠ABC=60°（）

∴∠C=180°-∠A-∠ABC

=180°-______-______

=______（）

7.已知：

E是AB，CD外一点，∠D=∠B+∠E，

求证：

AB∥CD．

【参考答案】

1．C；2．40°；3．30°；4．20°，70°；

5．已知；∠BAC；三角形三个内角的和等于180°；已知；已知；外角的定义；∠FDB；∠FBD；90°；35°；125°；三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；

6．外角的定义；三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；已知；30°；等式性质；已知；等式性质；40°；60°；80°；三角形三个内角的和等于180°；

7．证明：

如图，

∵∠AFE是△FEB的一个外角（外角的定义）

∴∠AFE=∠E+∠B（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）

∵∠D=∠E+∠B（已知）

∴∠AFE=∠D（等量代换）

∴AB∥CD（同位角相等，两直线平行）