指数对数概念及运算公式.docx

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指数对数概念及运算公式

指数函数及对数函数重难点

根式的概念:

①泄义：

若一个数的〃次方等于a{n>1,且则这个数称d的”次方根•即，若

x"=g,则兀称d的刃次方根〃>1且〃gN"）,

1）当“为奇数时，"的“次方根记作亦：

2）当〃为偶数时，负数d没有”次方根，而正数d有两个〃次方根且互为相反数，记作

土畅d>0）.

②性质：

1）丽"=a；2）当n为奇数时，0=0：

3）当"为偶数时，^=4a\=\（l（a~Q）

一d（a<0）

幕的有关概念：

①规曲1）a11=a-aa{neN\2）a°=l（aHO）,

n个

1巴

3）a~p=—（/?

eQ»4）an=（a>0,m.ngN*且n>1）

②性质:

1）ciras=ar^（a>O.r.seQ）,

2）{aY=as{a>0,r.seQ）,

3）（a-by=a-br（a>0,Z?

>0,reQ）

（注）上述性质对c5€R均适用.

例求值

例•用分数指数幕表示下列分式（其中各式字母均为正数）

⑴需奶

（2）（3）

（4）#（d+b）3（5）^Jab2+a2b（6）寸（宀必

例.化简求值

77£_丄

（3）

（4）

质•歸•畅=

21

2历沪

-6a2/?

-3a6b6二

（违）J°.002）JM3+（d®

2V3xVL5xV12=

指数函数的定义^

①泄义：

函数y=ax（a>0,且"工1）称指数函数，

1）函数的左义域为R，

2）函数的值域为（0,+s）,

3）当0

>1时函数为增函数.

提问：

在下列的关系式中，哪些不是指数函数，为什么

（1）

y=2心

（2）

y=（-2）‘

（3）y=-2r

（4）

y=7tx

（5）

y=x2

（6）y=4x2

（7）

（8）

y=（a_l）x

（a>l.且。

工2）

例：

比较下列各题中的个值的大小

（1）与

（2）0.8-°1与O.8-02（3）与例：

已知指数函数f（x）=ax（a>0且dHl）的图象过点（3,兀），求

/（0）,/（I）,/（-3）的值.

思考：

已知«=O.8o\Z;=O.8O9.c=L2o\按大小顺序排列小c.

2r-1

L、函数尸片是（

A、奇函数B.偶函数C、既奇又偶函数D、非奇非偶函数

2、函数—的值域是（）

-2V-1

A、（-oo,l）B、（y,O）U（O，TC、（-1,+oo）D、Y，_1）U（0,*o）

3、已知Ovdviev—l,则函数y=ax+b的图像必泄不经过（）

A、第一象限B、第二象限C、第三象限D、第四象限

/[、工S

例.求函数y=-的值域和单调区间

k2>

例若不等式3宀加>（丄）•“对一切实数*恒成立，则实数&的取值范围为・

3

.f3屮:

1-2[I,则f3值域为.

3^-2xe（t+x）

考查分段函数值域.

【解析】曲（一8,1]时,LlWOWWl,

•:

—2〈fCv）W—1

（1,+°°）时，1—jv<0,0<3x\1,—2

f（x）值域为（一2,—1]

【答案】（一2,—1]

例、已知f（ex+e~x）=e2x+e~2x-2,贝9函数/⑴的值域是

例点（2,1）与（1,2）在函数子（兀）=2心初的图象上，求/（x）的解析式

例.设函数/（x）=2|a"，Hv_11,求使f（x）>2^2的X取值范围.

-2r+b

例已知左义域为R的函数/（x）=—是奇函数。

2+a

（I）求的值；

（II）若对任意的re/?

不等式f（t2-2t）+f（2t2-k）<0恒成立,求R的取值范围;

对数的概念:

1定义：

如果a（a>0,且“Hl）的b次幕等于N,就是J=N,那么数b称以a为底N的对数，记作log°N=b,其中a称对数的底，N称真数.

1）以10为底的对数称常用对数，log^N记作IgN,

2）以无理数^=2.71828--）为底的对数称自然对数，log「N记作InN

2基本性质：

1）真数N为正数（负数和零无对数），

2）logfl1=0,

3）logfl“=1，

4）对数恒等式：

a^nN=N

例将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式.

（1）

（3）4）m=5-73

（4）log】16=-4

2

例：

求下列各式中X的值

2

（1）logMx=--

（5）log100.01=-2

（6）logf10=2.303

（2）log18=6（3）lgl00=x（4）-\ne2=x

5*645

（2）2"=丄

64

分析：

将对数式化为指数式，再利用指数幕的运算性质求岀儿

练习：

将下列指数式与对数式互化，有兀的求出X的值.

-11.1

（1）52=

（2）logJ=x（3）3X=—

y/5农27

（4）（-）1=64（5）lg0.0001=x（6）In

5=x

4

例利用对数恒等式輕求下列各式的值:

⑴（丄严3+（丄严4一（丄）曲

453

k>g|4>ogI2

（2）3亍+10叱晌2一71

（3）25logi2+49log?

3-10018'^

（4）2畑山_3呱27+5叫亍

③运算性质：

如果d>0,dH0,M>0,N>0,则

1）loga（MN）=k>g“M+logaN；

…M

2）叽亍

\ogaM-\ogaN:

3）\ogaMn=z?

logflM（neR）・

logN

⑷换底公式：

logflN=————（a>0卫H0">0,mW\、N>0）,logM

1）log'・log,=l,2）log=—log^z?

.

m

对数函数的运算规律

例・用logflx,logfly,lognz表示下列各式:

解:

（1）log.—

z

iogdUy）-bgaZ

=logaX+logdy-log“z；

例.求下列各式的值：

（1）log2（47x25）：

（2）lgVlOO.

⑵吨¥

iOg.XV?

）i0g“返

=log“疋+log““-log“返=21ogflx+hogfly-hogflz

解：

（1）原式=log247+log225=71og24+51og22=7x2+5x1=19：

i?

?

（2）原式二-lgl0‘=—lgl0=二

例.计算：

（1）Igl4-21g^+lg7-lgl8：

12243

（2）-——:

lg9

（3）2log525+31og264-8log101

（4）lg2•lg50+（lg5）3

（5）Ig25+lg2-lg50+（lg2）s

Ig243_lg35_51g3_5

2

（2）lg9

lg3221g3

（2）log43-log92+log2^32・丄=15・

£

3

⑵原式=ilog23-ik>g324-|log22=l+|=|.

求值:

（1）Qog43+log83）Qog32+log92）；

例•计算：

（1）

解：

（1）原式二

例.

5，",0So.23■

解：

（1）Igl4-21g-+lg7-lgl8=lg（2x7）-2（lg7-lg3）+lg7-lg（32x2）

=lg2+lg7—21g7+21g3+lg7—21g3—lg2=0：

log891og2732.

⑶

例.

⑶9・

求值

（1）log89•log苗32

畑64321og2^-log3l-log5i

⑵2589

3

畑2（1啤232+log1玄+log436）⑶24

⑷（log:

125+log|25+logs5）（log1：

58+log254+log52）

对数函数性质典型例题

例•比较下列各组数中两个值的大小：

（1）log23.4tlog28.5:

（2）log031.8,log032.7；

解：

（1）对数函数y=log2x在（O,_fs）上是增函数，

于是log,3.4

（2）对数函数y=log（”兀在（0,+eo）上是减函数，

于是log031.8>log032.7；

2、比较大小

（1）log24Iog2（«2+6/+1）

（2）log^\ogae,（u>\）

3若logfl（«2+l）

（A）（0,1）（B）（0丄）（C）（丄,1）（D）（1,+s）

22

4已知a=log070.8,b=logjj0.8,c=l.l07,则a,b,c的大小关系是（）

（A）a

例比较下列各组数中的两个值大小：

⑴，

（2）,

（3）,@>0且&H1）

例如何确泄图中各函数的底数a,b,c,d与1的大小关系

提示：

作一直线y=l,该直线与四个函数图象交点的横坐标即为它们相应的底数./.0

例求下列函数的左义域.

iogi（x-l）-1

（1）y二Y2

（2）y=ln（as-k-2s）（a>0且aHl,kGR）.

例.求函数y=logl（x2-2x-3）的单调区间

5

J

解：

设y=log]“-2x-3,由ii>0W-r2-2x-3>0,知定义域为

J

（-co,-l）

当xw（3,+s）

时，"是增函数，而y=log,w在疋上是减函数

・•・y=logl

一1）,单调减区间为（3,+s）

2

例函数y=log052x—logyx+2的单调减区间是0

例已知j^logi（2.1+3—a;）.

（1）求定义域：

（2）求f（x）的单调区间：

（3）求y的最大值，并求取最大值时x值.

考点考查对数函数、二次函数的单调性、最值.

【解】

（1）由2卅3—¥>0,解得一1<“y<3

.*•f3定义域为{a-|—1

（2）令貯2対3—¥,则u>0,产log©

由于f2时3—丘二一（x—1）=+4

再考虑泄义域可知，其增区间是（一1,1）,减区间是[1,3）

又j-log.n为（0,+8）增函数，

故该函数单调递增区间为（一1，1],减区间为[1,3）

（3）•.•尸2对3一+二一（x-l）=+4W4

.°.y=logiuWlog：

4=l

故当wl时，u取最大值4时，y取最大值1.

例求函数y=log3（x2+6x4-10）的最小值.

变式.求函数/（X）=lg（-x2+8.v-7）的左义域及值域.

例已知函数产f（2j左义域为[1,2]，则产f（log3的左义域为（）

A.[1,2]B.[4,16]C.[0,1]D.（-~,0]

考查函数定义域的理解.

【解析】由1WjlW2二>2W2W4,

"f（£定义域为[2,4]

由2^1og:

^4,得4

【答案】B

例作出下列函数的图像，并指岀其单调区间.

（l）y=lg（—x）,

（2）y=log2x+1

（3）y=llog]（x—1）1,（4）y=log2（l—x）.

2

例已知函数f（t）=log:

t,/e[>/2,8]・

（1）求f（t）的值域G

（2）若对于G内的所有实数匕不等式一办2冋一応+2曲1恒成立，求实数山的取值范

1+21+4v・ci

例已知函数f3二lg—；，其中“为常数，若当圧（一8,1］时，有意义,

cr一“+1

求实数a的取值范围.

分析：

参数深含在一个复杂的复合函数的表达式中，欲直接建立关于d的不等式（组）非常困难，故应转换思维角度，设法从原式中把d分离出来，重新认识d与英它变元G）的依存关系，利用新的函数关系，常可使原问题“柳暗花明”.

1+2'+4"•a2123

解：

；>0,且a"——一）"+—>0,

a2-6/+124

1+2，+4‘•a>—

（1）,

4V2宀

当-yG（-oq,1］时，产JL与产厶都是减函数，

42

产一（_L+_L）在（一8,1］上是增函数，一（丄+丄）“一丄.

4V2V4r2V4

33

•••a>--,故K的取值范禺是+8）.

44

例已知a>0且a^l,f（logax）=—（x——）

tr一1x

⑴求f（x）：

（2）判断f（x）的奇偶性与单调性：

（3）对于f（x）,当x丘（一1,1）时，有f（1—m）+f（1—m"）<0,求m的集合M・

解：

（1）令t=logax（tGR）,则

x=«■,/（/）=^—（a'/（x）=—^―（«v-）,（xeR）.

cr-1cr-1

⑵•・・f（-x）=-^―（厂一/）=一/（X），且reR「f（“为奇函数当“>1时,-^―>0,cr-1cr-1

u（x）=ax-厂为增函数，当0<“<1时,类似可判断（x）为增函数综上，无论“>1或0<“<1,f（x）在R上都是增函数.

（3）・・・/（I-w）+/（l-w2）<0,/（x）是奇函数且在R上是增函数/./（1-m）

vxg（-LI）

一1V1-加V1

・•.｛一1vnr-1<1=>1

?

<41.

1一m

1\+X

例已知函数/（X）=—-log.—,求函数/（x）的左义域，并讨论它的奇偶性和单调性.

X1-X

bV—1

例、已知函数/（x）=lg-一•伙丘/?

且R>0）・

x-1

（I）求函数/（x）的泄义域；（II）若函数/（羽在［10,+8）上单调递增，求k的取值范

用.

1.函数/（M=」i=+lg（3x+l）的泄义域是VI-x

B.b

3.函数f+2%-3的单调递减区间为

（x）,产1一仃而，其中增函数的个数为

（A）2

（B）4

（C）6

（0）7

7、在b=logz）（5—a）中，实数d的取值范用是

xa

9、函数>?

=-pj-（O<

10.当3>o且a^l,x>0,y>0,nGN*,下列各式不恒等的是（）

•••

A.log「x=丄logax

n

B・logaX=nlogaV7

C.

D・10邸”+10乐矿=11（logax+logay）

11嗟卍的值是（

）

log23

2「

3.c

A・一B・1C.

-D・2

3

2

2

12函数fd）二lnw—一零点所在的大致区间是

A（1,2）B（2,3）C（e,+8）£1丄j和（3,4）

13.若关于x的不等式x2-4x>/»对任意xe[0,1]恒成立，则实数加的取值范围是

A.m<一3或加>0B.一3

C・m>-3D・m<-3

14.函数y=log|（2/—3x+l）的递减区间为

2

311

A.（1,+oo）B・（一oc,—］c.（—,+co）D・（一oo,—］

422

15.如果/（x）是立义在R上的偶函数，它在［0,+s）上是减函数，那么下述式子中正确的是

33

A./（--）/（«2-^+1）

44

C./（--）=/（«2-«+1）D.以上关系均不确定

4

16.函数/（切、/（A-+2）均为偶函数，且当曲［0,2］时，/（x）是减函数，设

«=/（logsl）^=/（7.5）,c=f（-5）,则a、b、c的大小是

2

A.a>b>cB・a>c>bC・h>a>cD・c>a>b

D、

1

35

17.如果方程lg2x+（lg5+lg7）lgx+lgSig7=0的两根是a.p,则卩的值是（

A、Ig54g7B、lg35C、35

丄

18、已^log7[log3（log2x）]=0,那么丁互等于（

D、

111

A、一B、—=■C、—=

32>/32>/219.三个数6°\0.7\log076的大小顺序是

（A）0.76

（C）log076<6°-7<0.76（D）log076<0.76<6°7

20、函数y=—的值域是（）

2—1

A.（y,1）B、（y,O）U（O,乜）C、（-1,+co）D、（f,_1）U（0,+co）