小学二年级奥数下册第十讲 枚举法习题+答案.docx

小学二年级奥数下册第十讲 枚举法习题+答案.docx

《小学二年级奥数下册第十讲 枚举法习题+答案.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《小学二年级奥数下册第十讲 枚举法习题+答案.docx（9页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

小学二年级奥数下册第十讲枚举法习题+答案

第十讲枚举法

　　例1如下图所示，已知长方形的周长为20厘米，长和宽都是整厘米数，这个长方形有多少种可能形状？

哪种形状的长方形面积最大？

（边长为1厘米的正方形的面积叫做1平方厘米）.

　　解：

由于长方形的周长是20厘米，可知它的长与宽之和为10厘米.下面列举出符合这个条件的各种长方形.

　　（注意，正方形可以说成是长与宽相等的长方形）.

　　下面把5种长方形按实际尺寸大小一一画出来，见下面图

（1）～（5）.

　　例2如右图所示，ABCD是一个正方形，边长为2厘米，沿着图中线段从A到C的最短长度为4厘米.问这样的最短路线共有多少条？

请一一画出来.

　　解：

将各种路线一一列出，可知共6条，见下图.

　　注意，如果题中不要求将路径一一画出，可采用如右图所示方法较为便捷.图中交点处的数字表示到达该点的路线条数，如O点处的数字2，表示由A到O有2条不同的路径，见上图中的

（1）和

（2）；又H点处的数字3的意义也如此，见上图中的

（1）、

（2）、（3）可知有3条路径可由A到H.仔细观察，可发现各交点处的数字之间的关系，如O点的2等于F点和E点的数字相加之和，即1+1=2，又如，C点的6等于G点和H点的数字相加之和，即3+3=6.

　　例3在10和31之间有多少个数是3的倍数？

　　解：

由尝试法可求出答案：

　　3×4=123×5=153×6=183×7=21

　　3×8=243×9=273×10=30

　　可知满足条件的数是12、15、18、21、24、27和30共7个.

　　注意，倘若问10和1000之间有多少个数是3的倍数，则用上述一一列举的方法就显得太繁琐了，此时可采用下述方法：

　　10÷3=3余1，可知10以内有3个数是3的倍数；

　　1000÷3=333余1，可知1000以内有333个数是3的倍数；

　　333-3=330，则知10～1000之内有330个数是3的倍数.

　　由上述这些例题可体会枚举法的优点和缺点及其适用范围.

　　例4两个整数之积为144，差为10，求这两个数？

　　解：

列出两个数积为144的各种情况，再寻找满足题目条件的一对出来：

　　123468912

　　14472483624181612

　　可见其中差是10的两个数是8和18，这一对数即为所求.

　　例512枚硬币的总值是1元，其中只有5分和1角的两种，问每种硬币各多少个？

　　解：

列举出两种硬币的可能搭配：

　　可见满足题目要求的搭配是：

四个5分币，八个1角币.

　　例6小虎给4个小朋友写信.由于粗心，在把信纸装入信封时都给装错了.4个好朋友收到的都是给别人的信.问小虎装错的情况共有多少种可能？

　　解：

把4封信编号：

1，2，3，4.

　　把小朋友编号，友1，友2，友3，友4.

　　并假定1号信是给友1写的，2号信是给友2写的，3号信是给友3的，4号信是给友4写的：

再把各种可能的错装情况列成下表：

　　说明：

如第一种错收情况是友1得2号信，友2得了1号信，友3得了4号信，友4得了3号信.

习题十

　　1.一个长方形的周长是22米，如果它的长和宽都是整米数，问：

　　①这个长方形的面积有多少可能值？

　　②面积最大的长方形的长和宽是多少？

　　2.有四种不同面值的硬币各一枚，它们的形状也不相同，用它们共能组成多少种不同钱数？

　　3.三个自然数的乘积是24，问由这样的三个数所组成的数组有多少个？

如（1，2，12）就是其中的一个，而且要注意数组中数字相同但顺序不同的算作同一数组，如（1，2，12）和（2，12，1）是同一数组.

　　4.小虎给3个小朋友写信，由于粗心，把信装入信封时都给装错了，结果3个小朋友收到的都不是给自己的信，请问小虎错装的情况共有多少种可能？

　　5.一个学生假期往A、B、C三个城市游览.他今天在这个城市，明天就到另一个城市.假如他第一天在A市，第五天又回到A市.问他的游览路线共有几种不同的方案？

　　6.下图中有6个点，9条线段，一只甲虫从A点出发，要沿着某几条线段爬到F点.行进中甲虫只能向右、向下或向右下方运动.问这只甲虫有多少种不同的走法？

　　7.小明有一套黄色数字卡片、、，有一套蓝色数字卡片、、.一天他偶然用卡片做了下面的游戏：

把不同色的卡片交叉配对，一次配成3对，然后把每对卡片上的黄蓝数字相乘之后再相加求和，你知道他共找到了多少种配对相乘求和的方式吗？

比如说下面是其中一种：

　　8.五个学生友1，友2，友3，友4，友5一同去游玩，他们将各自的书包放在了一处.分手时友1带头开了个玩笑，他把友2小朋友的书包拿走了，后来其他的小朋友也都拿了别人的书包.试问在这次玩笑中故意错拿书包的情形有多少种不同方式？

习题十解答

　　1.解：

这个长方形的长和宽之和是22÷2=11（米），由长方形的面积=长×宽，可知：

　　由上表可见面积最大的长方形的长是6米、宽是5米，面积是30平方米.

　　猜想：

由本讲的例1和习题1这两题来看，周长一定的所有长方形中，长和宽相等或相近那个长方形面积最大.这是有名的“等周问题”的特例.

　　2.解：

把各种不同的组合及其对应的钱数列表枚举如下：

　　数一数可知，能组成15种不同的钱数.注意它们是从1到15的15个自然数：

1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，14，15.

　　3.解：

不计数组中数的顺序，所有乘积为24的三个数所组成的数组共有6组，枚举如下：

　　（1，1，24），（1，2，12），（1，3，8），

　　（1，4，6），（2，2，6），（2，3，4）.

　　4.解：

把三封信编号为1号、2号、3号；

　　把三个小朋友编号为友1、友2、友3；1号、2号、3号信应该分别发给友1、友2、友3。

　　按题意，友1没有收到给自己的1号信，他只可能收到2号或3号信.

　　当友1收到2号信时，友2只可能收到3号信，则友3收到1号信；

　　当友1收到3号信时，友2只可能收到1号信，则友3收到2号信.

　　可见共有2种可能的错装情况，列表更为清楚，

　　5.解：

请看下面的树形图.

　　可见他第五天回到A市的不同游览路线共有6种，分别是：

　　①A→B→A→B→A④A→C→A→B→A

　　②A→B→A→C→A⑤A→C→A→C→A

　　③A→B→C→B→A⑥A→C→B→C→A.

　　6.解：

经过E点的有3条路线，不经过E点的有2条路线，共有5条不同的路线，见下图.

　　7.解：

可以按下面的方法找出所有不同的配对相乘求和方式：

　　可见共有6种不同的配对相乘求和方式，其中第①种情况（可叫做同序配对）各乘积之和最大，第⑥种情况（可叫做逆序配对）各乘积之和最小.

　　如果你感兴趣，可以进一步问，这个结果有普遍性吗？

我们再进一步探讨一下：

　　结果和上述相同.

　　2.假如黄蓝卡片各有4张，不同的配对方式有很多.

　　（4×3×2×1=24种，这点同学们以后就会明白！

）

　　我们找几种情况试一试：

1序配对：

　　②逆序配对

　　③交叉配对

　　交叉配对

　　交叉配对

　　可见：

同序配对，各乘积之和最大：

30

　　逆序配对，各乘积之和最小：

20

　　交叉配对，各乘积之和居中：

大于20小于30.

　　猜想：

两个项数相同的数列配对相乘积之和，同序配对时最大，逆序配对时最小，交叉配对时在最小值和最大值之间.

　　8.解：

设友1、友2、友3、友4、友5的书包分别是1号、2号、3号、4号、5号.因为友1拿了2号书包，那么友2就有拿1号、3号、4号和5号书包的四种可能.如果友2拿了1号书包，友3拿了4号书包，友4拿了5号书包，友5拿了3号书包，这就是一种错拿方式.其他方式看如下的树形图.

　　数一数，共有11种不同的错拿方式.