苏教版小学数学六年级下册分数的简便计算专项练习.docx
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苏教版小学数学六年级下册分数的简便计算专项练习
五、分数的简便计算
亲爱的同学们，你一定听过大数学家高斯小时候巧算1＋2＋3＋4＋……+99+100的故事吧，通过这个故事我们明白：
找到合适的方法，会使一些原本复杂、繁琐的题目做起来省时、准确。
这个单元，老师将和你们一起来分析新朋友——分数中的一些运算技巧，你准备好了吗？
【教学目标】
1．灵活、正确、合理地运用各种性质、定律等，使复杂的计算变得简单，从而大幅度地提高计算速度及正确率。
2．培养了学生的学习兴趣和判断推理的能力，使学生养成独立思考的良好习惯。
（一）巧用运算定律和性质
【拓展目标】
⒈能够根据四则运算的定律及性质使一些计算变得简便。
⒉能利用和、差、积、商的变化规律进行简便计算。
⒊进一步提高分析、抽象、综合、概括等能力。
【知识概述】
⒈运算定律。
⑴加法交换律：
a+b=a+b
⑵加法结合律：
（a＋b）＋c＝a＋（b＋c）
⑶乘法交换律：
a×b＝b×a
⑷乘法结合律：
（a×b）×c=a×（b×c）
⑸乘法对加法的分配律：
（a+b）×c=ac+bc
⒉运算规则。
⑴加、减法运算规则：
a－b－c－d－e=a－（b＋c＋d＋e）
⑵乘、除法运算规则：
a÷b÷c=a÷（b×c）a÷m＋b÷m=（a＋b）÷m
⒊熟记一些小数和分数互化常用的数据.
【思维训练】
（一）例题精学
例1．125×
＋2.6＋0.625×125＋
【思路点拨】
这道题在熟练地进行分数、小数互化基础上利用了乘法分配律和加法结合律，是简便计算中常用的方法。
原式＝125×
＋
×125＋（2.6＋
）
＝125×（
＋
）＋3
＝125＋3
＝128
【同步练习】3.64÷4＋4.36×0.25
例2．
×46
【思路点拨】
这两种方法分别对两个乘数进行变形之后，都利用乘法分配律使计算简便。
方法一：
×46＝（1－
）×46＝46－1
＝44
方法二：
×46＝
×（45＋1）＝44＋
＝44
【同步练习】
×87
方法一：
方法二：
例3．54
÷17
【思路点拨】
运用拆分的方法，把被除数54
分成一个17的倍数与另一个较小的数相加，然后分别除以17，如果把除以17改写成乘以
等于运用了乘法分配律。
原式＝（51＋3
）÷17
＝51÷17＋
÷17
＝3
【同步练习】166
÷41
例4.2008÷2008
【思路点拨】
题中的2008
是除数，不能拆开，但把它化成假分数时，分子可以不算出来，用两个数相乘的算式表示，这样便于约分和计算。
方法一：
原式＝2008÷
＝2008÷
＝2008×
＝
【思路点拨】
括号里可以拆项分别相除进行简算，与原算式的结果互为倒数，所以最后需要还原。
方法二：
原式＝1÷（2008
÷2008）
＝1÷（2008÷2008＋
÷2008）
＝1÷1
＝
【同步练习】1998÷1998
例5.91×
＋
×95
＝91×
＋
×91＋
×4
＝91×（
＋
）＋
＝91＋
＝92
【同步练习】3
×25
＋37.9×6
（二）拓展提高
÷14
＋
÷3
41
×
＋51
×
＋61
×
11×（
－
）×12
（二）约分法
【拓展目标】
⒈能够利用约分的方法直接将分子、分母中公有因式进行约分，从而达到简便计算的目的。
⒉能够灵活地根据四则运算的性质将分子、分母转化、改写、变形等，找出其公有的因式，达到用约分法简便计算的目的。
⒊进一步提高分析、抽象、综合、概括等能力。
【知识概述】
本节所述题型，除了要牢记运算定律和性质外，还要仔细审题，仔细观察运算符号和数字特点，合理地把参加运算的数进行重新变形但不变值，从而可以通过约分简化运算，这样不仅可以算得快，还不容易出错。
【思维训练】
（一）例题精学
例1．
【思路点拨】
将分子与分母改写成两数相乘的形式，通过约分使计算简便。
原式＝
＝
【同步练习】
例2．（9
＋7
）÷（
＋
）
【思路点拨】
题中前一括号中的每个数与后一括号中所对应的数都可以约分，使计算简便。
原式＝（
＋
）÷（
＋
）
＝
＝13
【同步练习】（96
＋36
）÷（32
＋12
）
例3．（4.8×11×4.5）÷（33×0.8×0.9）
【思路点拨】
改写成分式后直接约分，使计算简便。
原式＝
＝10
【同步练习】（8.5×65×8.1）÷（34×5.2×2.7）
例4．
【思路点拨】
本题中的分子和分母没有公有的因式可以直接约分，通过观察分子分母中数的特征，可以将分子变得和分母一样，也可以将分母变得和分子一样。
原式＝
＝
＝1
【同步练习】
例5．（1－
）×（1－
）×……×（1－
）×（1－
）
【思路点拨】
计算本题时，可以先把每个括号中的结果先计算出来，会发现前一个分数的分母和后一个分数的分子可以约分，这样结果的分子和分母就是第一个和最后一个分数的分子和分母。
原式＝
×
×
×……×
×
＝
＝（你来完成）
【同步练习】（1＋
）×（1＋
）×（1＋
）×……×（1＋
）×（1＋
）
（二）拓展提高
（
＋1
＋
）÷（
＋
＋
）
－
（三）拆项法
【拓展目标】
⒈能灵活运用分数拆分的方法使一些复杂的分数数列求和的计算简便。
⒉进一步提高分析、综合、抽象、概括等能力。
【知识概述】
将一个分式按一定得规律拆分后，往往可以一些复杂的运算转化成简便运算。
拆分的方法如下：
－
＝
＝
×（b－a）（a＜b且ab不为0）
－
＝
（a不为0）
【思维训练】
（一）例题精学
例1．
＋
＋
＋……＋
【思路点拨】
本题直接利用拆项的方法，将每个分数拆成相应的减法形式。
原式＝1－
＋
－
＋
－
＋……＋
－
＝1－
＝
【同步练习】1
－
＋
－
＋……－
例2．
＋
＋
＋……＋
【思路点拨】
本题分母中两个因数相差3，所以是分数的拆分和乘法分配律的综合应用。
原式＝（
－
）×
＋（
－
）×
＋……＋（
－
）×
＝（
－
＋
－
＋……＋
－
）×
＝（
－
）×
＝
【同步练习】
＋
＋
＋……＋
例3．
＋
＋
＋
＋……＋
【思路点拨】
该题与前两题不同，它的规律是前一个分数的大小是后一个分数的2倍，所以在拆项时，只要把每个分数转化成前一个分数减去本身的差就可以。
原式＝（1－
）＋（
－
）（
－
）（
－
）＋……（
－
）
＝1－
＋
－
＋
－
＋
－
＋……＋
－
＝1－
＝
【同步练习】
＋
＋
……＋
＋
（一）拓展提高
1
＋1
＋1
＋1
＋1
1－
＋
－
＋
－
＋
1
－
＋
－
＋……－
1
＋2
＋3
＋4
＋5
（四）其它
【拓展目标】
⒈能灵活运用分数换头与替换的方法使一些复杂的分数计算简便。
⒉进一步提高分析、综合、抽象、概括等能力。
【知识概述】
在分数简便计算中，有一些题目看似无法简便，但只要根据分数乘法的计算法则，将分子与分子或分子与整数交换一下位置，就符合乘法分配律的形式了，俗称换头法；还有一些题目看似很复杂，如果将其中相同的部分用一个或几个字母来表示，就可以达到化繁为简的目的。
是计算简便，俗称替换法。
【思维训练】
（一）例题精学
例1.
×
＋
×1
【思路点拨】
利用分数乘法的计算法则，掉换两个乘数的分子，使题目符合使用乘法分配律。
原式＝
×
＋
×
＝
＝
＝（尝试自己完成）
【同步练习】29×
＋114×
例2.（
＋
＋
＋
）×（
＋
＋
＋
）－（
＋
＋
＋
＋
）×（
＋
＋
）
【思路点拨】
在运用乘法分配律进行计算时，可以将若干个数的和看作一个整体，为使计算过程简便，可以将相同的一组数用字母代替。
设
＋
＋
＋
为A，
＋
＋
为B，然后利用乘法的分配律进行简算。
原式＝A×（B＋
）－（A＋
）×B
＝AB＋
A－AB－
B
＝
（A－B）
＝
〔（
＋
＋
＋
）－（
＋
＋
）〕
＝
×
＝
【同步练习】（1＋
＋
＋
）×（
＋
＋
）－（1＋
＋
＋
）×（
＋
）
（二）拓展提高
139×
＋137×
（三）生活中的数学
一堆沙子，第一次运走它的
，第二次运走剩下的
，第三次运走剩下的
……照这样下去，第九十九次运走剩下的
，最后还剩下1吨，这堆沙子原来一共多少吨？
（四）知识链接
运算定律与简便计算》数学知识大串联
加数交换和不变，因数交换积不变，
加法乘法交换律，计算符号莫混乱，
此种方法可验算，注意格式和得数。
先前两或先后两，和积不变结合律。
只换位置无括号，加法乘法交换律，
只添括号位不变，加法乘法结合律，
既换位置又括号，两个定律都用了。
乘法三对好朋友，交换结合常思念。
一题出现两括号，少些步骤同时算。
乘法还有分配律，特点规律弄分明。
两数之和乘一数，分开相乘再相加，
括号中间有加号，分开相乘也有加。
分开相乘能口算，用此方法真方便，
分开相乘不简便，何必费咱纸笔砚。
乘法分配可反用，两端相乘一数同，
同样要求能口算，不同之和乘相同，
求和再乘不简便，少走弯路原法算。
乘法分配有技巧，做题反思得经验。
不管怎样来简算，得数绝对不能变，
否则肯定有问题，赶紧查找错根源。
减法也有其性质，连减可以减去和，
尾数相同可先减，减和也能变连减。
除法同样有性质，连除也可除以积，
除以积也可连除，前提必须能简算。
定律性质有规律，掌握规律真方便，
按照规律不简便，仍照原来方法算。
解决问题先读题，算式算法不相干，
算式一定最合理，怎样简单怎样算。
一题多解动脑想，理出步骤一二三，
分步解答也可以，但是不如综合算，
解答之后要检验，没有问题再答案。
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