全部高等数学计算公式.docx
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全部高等数学计算公式
高等数学公式
导数公式：
2
（arcsinx）
1
（tgx）
secx
1
x2
（ctgx）
csc2x
（arccosx）
1
（secx）
secxtgx
1
x2
（cscx）
cscxctgx
（arctgx）
1
（ax）
axlna
1x2
1
（arcctgx）
1
（logax）
1
x2
xlna
基本积分表：
三角函数的有理式积分：
tgxdxlncosxC
ctgxdxlnsinxC
secxdxlnsecxtgxC
cscxdxlncscxctgxC
dx
1arctgxC
a2
x2
a
a
dx
1lnx
a
C
x2
a2
2a
x
a
dx
1lna
x
C
a2
x2
2a
a
x
dx
x
C
a2
x2
arcsin
a
dx
2
2
secxdxtgxC
cosx
dx
2
sin2x
cscxdx
ctgxC
secxtgxdxsecx
C
cscxctgxdxcscxC
xa
shxdxchxC
chxdxshxC
dxln（xx2a2）C
x2a2
2
n
2
n
n
1In2
In
sinxdx
cosxdx
0
0
n
x2
a2dx
x
x2
a2
a2
ln（x
x2
a2）
C
2
2
x2a2dxxx2
a2
a2lnxx2a2
C
2
2
a
2
2
x
2
x
2
a2
x
xdx
2
a
2
arcsinC
a
sinx
2u
，cosx
1
u2
u
tg
x
2du
u
2
1
2，
，
dx
u
2
1
u
2
1
一些初等函数：
两个重要极限：
双曲正弦
:
shx
ex
ex
2
双曲余弦
:
chx
ex
ex
2
双曲正切
:
thx
shx
ex
e
chx
ex
e
arshx
ln（x
x
2
）
1
archx
ln（x
x2
1）
arthx
1ln1
x
2
1
x
精选文库
limsinx
1
x0
x
lim（11）x
e2.718281828459045...
xx
x
x
三角函数公式：
·诱导公式：
函数
sin
cos
tg
ctg
角A
-α
-sin
αcosα-tgα-ctgα
90°-α
cosαsinαctgαtgα
90°+α
cosα-sinα-ctgα-tgα
180
°-α
sinα-cosα-tgα-ctgα
180
°+α
-sin
α-cosαtgα
ctgα
270
°-α
-cosα-sinαctgαtgα
270
°+α
-cosαsinα-ctgα-tgα
360
°-α
-sin
αcosα-tgα-ctgα
360
°+α
sinαcosαtgα
ctgα
·和差角公式：
·和差化积公式：
sin（
）
sin
cos
cos
sin
sin
sin
2sin
cos
cos（
）
cos
cos
sin
sin
2
2
tg（
）
tg
tg
sin
sin
2cos
sin
1tg
tg
2
2
cos
cos
2cos
cos
ctg
ctg
1
ctg（
）
2
2
ctg
ctg
cos
cos
2sin
sin
2
2
--2
精选文库
·倍角公式：
sin2
2sincos
cos2
2cos2
1
12sin2
cos2
sin2
sin3
3sin
4sin3
ctg2
ctg2
1
cos3
4cos3
3cos
2ctg
3tg
tg3
tg3
2tg
1
3tg2
tg2
1
tg2
·半角公式：
sin
1
cos
cos
1
cos
2
2
2
2
tg
1
cos
1
cos
sin
ctg
1
cos
1
cos
sin
1
cos
sin
1
cos
1
cos
sin
1
cos
2
2
·正弦定理：
a
b
c
R
·余弦定理：
c
2
a
2
b
2
2abcosC
sinA
sinB
sinC
2
·反三角函数性质：
arcsinxarccosxarctgxarcctgx
2
2
高阶导数公式——莱布尼兹（Leibniz
）公式：
n
（uv）（n）
Cnku（nk）v（k）
k0
u（n）v
nu（n1）v
n（n1）u（n2）v
n（n1）（nk1）u（nk）v（k）
uv（n）
2!
k!
中值定理与导数应用：
拉格朗日中值定理：
f（b）
柯西中值定理：
f（b）f（a）f（）（ba）
f（a）f（）
F（a）F（）
当F（x）x时，柯西中值定理就是拉格朗日中值定理。
曲率：
--3
精选文库
弧微分公式：
ds
1
y2dx,其中ytg
平均曲率：
K
s
.
:
从M点到M点，切线斜率的倾角变
化量；
M点的曲率：
K
lim
d
y
.
s
ds
2
3
s0
（1
y
）
直线：
K
0;
半径为a的圆：
K
1.
a
定积分的近似计算：
b
b
a（y0
矩形法：
f（x）
y1
yn1）
a
n
b
b
a[1（y
梯形法：
f（x）
0
yn）
y1
yn
1]
a
n
2
b
b
a[（y0
抛物线法：
f（x）
yn）
2（y2
y4
yn2）
4（y1y3
a
3n
定积分应用相关公式：
功：
W
Fs
水压力：
F
pA
m1m2
引力：
F
k
r2
k为引力系数
1
b
函数的平均值：
y
f（x）dx
b
aa
1
b
均方根：
f2（t）dt
baa
空间解析几何和向量代数：
s：
MM弧长。
yn1）]
--4
精选文库
空间2点的距离：
d
M1M2
（x2
x1）2
（y2
y1）2
（z2
z1）2
向量在轴上的投影：
PrjuAB
AB
cos,
是AB与u轴的夹角。
Prju（a1
a2）Prja1
Prja2
aba
bcos
axbx
ayby
azbz,是一个数量,
两向量之间的夹角：
cos
axbx
ayby
azbz
ax2
ay2
az2
bx2
by2
bz2
i
j
k
cab
ax
ay
az,c
a
bsin
.例：
线速度：
v
w
r.
bx
by
bz
ax
ay
az
向量的混合积：
[abc]
（a
b）
c
bx
by
bz
a
b
ccos,为锐角时，
cx
cy
cz
代表平行六面体的体积
。
平面的方程：
1、点法式：
A（x
x0）
B（y
y0）
C（zz0）0，其中n{A,B,C},M0（x0,y0,z0）
2、一般方程：
Ax
By
Cz
D
0
3、截距世方程：
x
y
z
1
a
b
c
平面外任意一点到该平
空间直线的方程：
xx0
m
二次曲面：
面的距离：
dAx0By0
A2
B2
yy0
zz0
t,其中s
n
p
Cz0D
C2
x
x0
mt
{m,n,p};参数方程：
y
y0
nt
z
z0
pt
22
1、椭球面：
xya2b2
22
2、抛物面：
xy
2p2q
3、双曲面：
22
单叶双曲面：
xya2b2
22
双叶双曲面：
xya2b2
z2
c21
z（,p,q同号）
z2
c21
z2
c2（1马鞍面）
多元函数微分法及应用
--5
精选文库
全微分：
dz
zdx
zdy
du
udx
udy
udz
x
y
x
y
z
全微分的近似计算：
z
dzfx（x,y）
x
fy（x,y）
y
多元复合函数的求导法
：
z
f[u（t）,v（t）]
dz
z
u
z
v
dt
u
t
v
t
z
f[u（x,y）,v（x,y）]
z
z
u
z
v
x
u
x
v
x
当
u
，
v（x,y）
时，
u（x,y）v
du
udx
udy
dv
vdx
vdy
x
y
x
y
隐函数的求导公式：
隐函数
F（x,y）
，
dy
Fx，
d
2y
Fx
＋
Fx
dy
0
dx
Fy
dx2
（
）
（
）
xFy
yFy
dx
隐函数
，z
Fx，
z
Fy
F（x,y,z）0
x
Fz
y
Fz
F（x,y,u,v）
0
（F,G）
F
F
Fu
Fv
隐函数方程组：
J
u
v
G（x,y,u,v）
0
（u,v）
G
G
Gu
Gv
u
v
u
1
（F,G）
v
1
（F,G）
x
J
（x,v）
x
J
（u,x）
u
1
（F,G）
v
1
（F,G）
y
J
（y,v）
y
J
（u,y）
微分法在几何上的应用：
x
（t）
y0,z0）处的切线方程：
xx0
y
y0
z
z0
空间曲线
y
（t）在点M（x0
z
（t）
（t0）
（t0）
（t0）
在点M处的法平面方程：
（t0）（x
x0）
（t0）（yy0）
（t0）（zz0）
0
若空间曲线方程为：
F（x,y,z）0
则切向量T
Fy
Fz
Fx
Fx
{
Fz
G（x,y,z）0
Gy
GzGz
GxGx
曲面F（x,y,z）0上一点M（x0,y0,z0），则：
1、过此点的法向量：
n
{Fx（x0,y0,z0）,Fy（x0,y0,z0）,Fz（x0,y0,z0）}
2、过此点的切平面方程
：
Fx（x0,y0,z0）（x
x0）
Fy（x0,y0,z0）（yy0）
3、过此点的法线方程：
xx0
yy0
z
z0
Fx（x0,y0,z0）Fy（x0,y0,z0）
Fz（x0,y0,z0）
Fy
}
Gy
Fz（x0,y0,z0）（zz0）0
方向导数与梯度：
--6
精选文库
函数z
f（x,y）在一点p（x,y）沿任一方向l的方向导数为：
f
f
cos
fsin
l
x
y
其中为轴到方向
的转角。
x
l
函数z
f（x,y）在一点p（x,y）的梯度：
gradf（x,y）
fi
f
j
x
y
它与方向导数的关系是：
f
，其中
e
cos
i
sinj
，为
方向上的
gradf（x,y）e
l
l
单位向量。
f是gradf（x,y）在l上的投影。
l
多元函数的极值及其求法：
设fx（x0,y0）
fy（x0,y0）
0，令：
fxx（x0,y0）A,fxy（x0,y0）B,fyy（x0,y0）C
AC
B2
A0,（x0,y0）为极大值
0时，
A0,（x0,y0）为极小值
则：
AC
B2
0时，
无极值
AC
B2
0时,
不确定
重积分及其应用：
f（x,y）dxdy
f（rcos
rsin
）rdrd
D
D
2
2
曲面zf（x,y）的面积A
1
z
z
x
dxdy
D
y
Mx
x
（x,y）d
My
y
（x,y）d
平面薄片的重心：
D
y
D
x
M
（x,y）d
M
（x,y）d
D
D
平面薄片的转动惯量：
对于x轴Ixy2
（x,y）d
对于y轴Iy
x2
（x,y）d
D
D
平面薄片（位于xoy平面）对z轴上质点M
（0,0,a）,（a
0）的引力：
F
{Fx,Fy,Fz}，其中：
Fx
f
（x,y）xd
，
Fy
f
（x,y）yd
，
Fz
fa
（x,y）xd
3
3
3
D（x2
y2
a
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