江苏省连云港市届高三第一次模拟考试数学.docx

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江苏省连云港市届高三第一次模拟考试数学

2018届高三年级第一次模拟考试（七）

数学

（满分160分，考试时间120分钟）

参考公式：

1.柱体的体积公式：

V＝Sh，其中S是柱体的底面面积，h是高．

2.圆锥的侧面积公式：

S＝cl，其中c是圆锥底面圆的周长，l是母线长．

一、填空题：

本大题共14小题，每小题5分，共计70分．

1.已知集合A＝{x|x2－x＝0}，B＝{－1，0}，则A∪B＝________．

2.已知复数z＝（i为虚数单位），则z的模为________．

3.函数y＝的定义域为________．

4.如图是一个算法的伪代码，运行后输出b的值为________．

　　　　　　　（第4题）　　　　　　　　　　　　　　（第5题）

5.某地区教育主管部门为了对该地区模拟考试成绩进行分析，随机抽取了150分到450分之间的1000名学生的成绩，并根据这1000名学生的成绩画出样本的频率分布直方图（如图），则成绩在[250，400）内的学生共有________人．

6.在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线－＝1（a>0，b>0）的一条渐近线方程为x－2y＝0，则该双曲线的离心率为________．

7.连续2次抛掷一枚质地均匀的骰子（六个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6的正方体），观察向上的点数，则事件“点数之积是3的倍数”的概率为________．

8.已知正四棱柱的底面边长为3cm，侧面的对角线长是3cm，则这个正四棱柱的体积是________cm3.

9.若函数f（x）＝Asin（ωx＋φ）（A>0，ω>0）的图象与直线y＝m的三个相邻交点的横坐标分别是，，，则实数ω的值为________．

10.在平面直角坐标系xOy中，曲线C：

xy＝上任意一点P到直线l：

x＋y＝0的距离的最小值为________．

11.已知等差数列{an}满足a1＋a3＋a5＋a7＋a9＝10，a－a＝36，则a11的值为________．

12.在平面直角坐标系xOy中，若圆C1：

x2＋（y－1）2＝r2（r>0）上存在点P，且点P关于直线x－y＝0的对称点Q在圆C2：

（x－2）2＋（y－1）2＝1上，则r的取值范围是________________________________________________________________________．

13.已知函数f（x）＝函数g（x）＝f（x）＋f（－x），则不等式g（x）≤2的解集为________．

14.如图，在△ABC中，已知AB＝3，AC＝2，∠BAC＝120°，D为边BC的中点．若CE⊥AD，垂足为E，则·的值为________．

二、解答题：

本大题共6小题，共计90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

15.（本小题满分14分）

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且cosA＝，tan（B－A）＝.

（1）求tanB的值；

（2）若c＝13，求△ABC的面积．

16.（本小题满分14分）

如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，∠ABC＝90°，AB＝AA1，M，N分别是AC，B1C1的中点．求证：

（1）MN∥平面ABB1A1；

（2）AN⊥A1B.

17.（本小题满分14分）

某艺术品公司欲生产一款迎新春工艺礼品，该礼品是由玻璃球面和该球的内接圆锥组成，圆锥的侧面用于艺术装饰，如图1.为了便于设计，可将该礼品看成是由圆O及其内接等腰三角形ABC绕底边BC上的高所在直线AO旋转180°而成，如图2.已知圆O的半径为10cm，设∠BAO＝θ，0<θ<，圆锥的侧面积为Scm2.

（1）求S关于θ的函数关系式；

（2）为了达到最佳观赏效果，要求圆锥的侧面积S最大．求当S取得最大值时腰AB的长度．

图1图2

18.（本小题满分16分）

如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆＋＝1（a>b>0）的离心率为，且过点.F为椭圆的右焦点，A，B为椭圆上关于原点对称的两点，连结AF，BF分别交椭圆于C，D两点．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）若AF＝FC，求的值；

（3）设直线AB，CD的斜率分别为k1，k2，是否存在实数m，使得k2＝mk1？

若存在，求出实数m的值；若不存在，请说明理由．

19.（本小题满分16分）

已知函数f（x）＝x2＋ax＋1，g（x）＝lnx－a（a∈R）．

（1）当a＝1时，求函数h（x）＝f（x）－g（x）的极值；

（2）若存在与函数f（x），g（x）的图象都相切的直线，求实数a的取值范围．

20.（本小题满分16分）

已知数列{an}，其前n项和为Sn，满足a1＝2，Sn＝λnan＋μan－1，其中n≥2，n∈N*，λ，μ∈R.

（1）若λ＝0，μ＝4，bn＝an＋1－2an（n∈N*），求证：

数列{bn}是等比数列；

（2）若数列{an}是等比数列，求λ，μ的值；

（3）若a2＝3，且λ＋μ＝，求证：

数列{an}是等差数列．

2018届高三年级第一次模拟考试（七）

数学附加题

（本部分满分40分，考试时间30分钟）

21.【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两小题，并作答．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

A.[选修41：

几何证明选讲]（本小题满分10分）

如图，AB是圆O的直径，弦BD，CA的延长线相交于点E，EF垂直BA的延长线于点F.求证：

AB2＝BE·BD－AE·AC.

B.[选修42：

矩阵与变换]（本小题满分10分）

已知矩阵A＝，B＝，若矩阵M＝BA，求矩阵M的逆矩阵M－1.

C.[选修44：

坐标系与参数方程]（本小题满分10分）

以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴，且在两种坐标系中取相同的长度单位，建立极坐标系，判断直线l：

（t为参数）与圆C：

ρ2＋2ρcosθ－2ρsinθ＝0的位置关系．

D.[选修45：

不等式选讲]（本小题满分10分）

已知a，b，c，d都是正实数，且a＋b＋c＋d＝1，求证：

＋＋＋≥.

【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

22.（本小题满分10分）

在正三棱柱ABCA1B1C1中，已知AB＝1，AA1＝2，E，F，G分别是AA1，AC和A1C1的中点．{，，}为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系Fxyz.

（1）求异面直线AC与BE所成角的余弦值；

（2）求二面角FBC1C的余弦值．

23.（本小题满分10分）

在平面直角坐标系xOy中，已知平行于x轴的动直线l交抛物线C：

y2＝4x于点P，F为曲线C的焦点．圆心不在y轴上的圆M与直线l，PF，x轴都相切，设圆心M的轨迹为曲线E.

（1）求曲线E的方程；

（2）若直线l1与曲线E相切于点Q（s，t），过点Q且垂直于l1的直线为l2，直线l1，l2分别与y轴相交于点A，B.当线段AB的长度最小时，求s的值．

2018届连云港高三年级第一次模拟考试

数学参考答案

1.{－1，0，1}　2.1　3.（0，1]　4.13　5.750

6.　7.　8.54　9.4　10.　11.11

12.[－1，＋1]　13.[－2，2]　14.－

15.解析：

（1）在△ABC中，由cosA＝，知A为锐角，

所以sinA＝＝，

所以tanA＝＝，（2分）

所以tanB＝tan[（B－A）＋A]＝（4分）

＝＝3.（6分）

（2）由

（1）知tanB＝3，

所以sinB＝，cosB＝，（8分）

所以sinC＝sin（A＋B）＝sinAcosB＋cosAsinB＝.（10分）

由正弦定理＝，

得b＝＝＝15，（12分）

所以△ABC的面积S＝bcsinA＝×15×13×＝78.（14分）

16.解析：

（1）如图，取AB的中点P，连结PM，PB1.

因为M，P分别是AB，AC的中点，

所以PM∥BC，且PM＝BC.

在直三棱柱ABCA1B1C1中，BC∥B1C1，BC＝B1C1，

又N是B1C1的中点，

所以PM∥B1N，且PM＝B1N，（2分）

所以四边形PMNB1是平行四边形，

所以MN∥PB1.（4分）

又MN?

平面ABB1A1，PB1?

平面ABB1A1，

所以MN∥平面ABB1A1.（6分）

（2）因为三棱柱ABCA1B1C1为直三棱柱，

所以BB1⊥平面A1B1C1，

因为BB1?

平面ABB1A1，

所以平面ABB1A1⊥平面A1B1C1.（8分）

因为∠ABC＝∠A1B1C1＝90°，

所以B1C1⊥B1A1.

因为平面ABB1A1∩平面A1B1C1＝B1A1，B1C1?

平面A1B1C1，

所以B1C1⊥平面ABB1A1.（10分）

因为A1B?

平面ABB1A1，

所以B1C1⊥A1B，即NB1⊥A1B.

如图，连结AB1.

因为在平行四边形ABB1A1中，AB＝AA1，

所以四边形ABB1A1是正方形，

所以AB1⊥A1B.

因为NB1∩AB1＝B1，且AB1，NB1?

平面AB1N，所以A1B⊥平面AB1N.（12分）

又AN?

平面AB1N，

所以A1B⊥AN.（14分）

17.解析：

（1）如图，设AO交BC于点D，过点O作OE⊥AB，垂足为E.

在△AOE中，AE＝10cosθ，AB＝2AE＝20cosθ，（2分）

在△ABD中，BD＝AB·sinθ＝20cosθ·sinθ，（4分）

所以S＝·2π·20sinθcosθ·20cosθ＝400πsinθcos2θ.（6分）

（2）由

（1）得

S＝400πsinθcos2θ＝400π（sinθ－sin3θ）．（8分）

设f（x）＝x－x3（0

由f′（x）＝1－3x2＝0得x＝.

当x∈时，f′（x）>0；当x∈时，f′（x）<0，

所以f（x）在区间上单调递增，在区间上单调递减，

所以f（x）在x＝时取得极大值，也是最大值，

所以当sinθ＝时，侧面积S取得最大值，（11分）

此时等腰三角形的腰长AB＝20cosθ＝20×＝20×＝.

故当侧面积S取得最大值时，等腰三角形的腰AB的长度为cm.（14分）

18.解析：

（1）设椭圆的方程为＋＝1（a>b>0）．

由题意知（2分）

解得所以椭圆的方程为＋＝1.（4分）

（2）若AF＝FC，由椭圆的对称性，知A，

所以B，

此时直线BF的方程为3x－4y－3＝0.（6分）

由得7x2－6x－13＝0，

解得x＝（x＝－1舍去），（8分）

所以＝＝.（10分）

（3）设A（x0，y0），则B（－x0，－y0），直线AF的方程为y＝（x－1），

代入椭圆方程＋＝1，得（15－6x0）x2－8yx－15x＋24x0＝0.

因为x＝x0是该方程的一个解，所以点C的横坐标xC＝.（12分）

又点C（xC，yC）在直线y＝（x－1）上，

所以yC＝（xC－1）＝.

同理，点D的坐标为，（14分）

所以k2＝＝＝k1，

即存在m＝，使得k2＝k1.（16分）

19.解析：

（1）函数h（x）的定义域为（0，＋∞）．

当a＝1时，h（x）＝f（x）－g（x）＝x2＋x－lnx＋2，

所以h′（x）＝2x＋1－＝，（2分）

所以当0

当x>，h′（x）>0，

所以函数h（x）在区间上单调递减，在区间上单调递增，

所以当x＝时，函数h（x）取得极小值＋ln2，不存在极大值．（4分）

（2）设函数f（x）在点（x1，f（x1））处的切线与函数g（x）在点（x2，g（x2））处的切线相同，

则f′（x1）＝g′（x2）＝，

所以2x1＋a＝＝，（6分）

所以x1＝－，代入＝x＋ax1＋1－（lnx2－a）得

－＋lnx2＋－a－2＝0.（*）（8分）

设F（x）＝－＋lnx＋－a－2，则F′（x）＝－＋＋＝.

不妨设2x＋ax0－1＝0（x0>0），则当0x0时，F′（x）>0，

所以F（x）在区间（0，x0）上单调递减，在区间（x0，＋∞）上单调递增，（10分）

因为a＝＝－2x0，

所以F（x）min＝F（x0）＝x＋2x0－＋lnx0－2.

设G（x）＝x2＋2x－＋lnx－2，则G′（x）＝2x＋2＋＋>0对x>0恒成立，

所以G（x）在区间（0，＋∞）上单调递增．

又G

（1）＝0，

所以当0

又当x＝ea＋2时，F（x）＝－＋lnea＋2＋－a－2＝≥0，（14分）

因此当0

又由y＝－2x得y′＝－－2<0，

所以y＝－2x在（0，1）上单调递减，因此a＝＝－2x0∈[－1，＋∞），

所以实数a的取值范围是[－1，＋∞）．（16分）

20.解析：

（1）若λ＝0，μ＝4，则Sn＝4an－1（n≥2），

所以an＋1＝Sn＋1－Sn＝4（an－an－1），

即an＋1－2an＝2（an－2an－1），

所以bn＝2bn－1.（2分）

又由a1＝2，a1＋a2＝4a1，

得a2＝3a1＝6，a2－2a1＝2≠0，即bn≠0，

所以＝2.

故数列{bn}是等比数列．（4分）

（2）若{an}是等比数列，设其公比为q（q≠0）．

当n＝2时，由S2＝2λa2＋μa1，即a1＋a2＝2λa2＋μa1，得1＋q＝2λq＋μ；①

当n＝3时，由S3＝3λa3＋μa2，即a1＋a2＋a3＝3λa3＋μa2，得1＋q＋q2＝3λq2＋μq；②

当n＝4时，由S4＝4λa4＋μa3，即a1＋a2＋a3＋a4＝4λa4＋μa3，得1＋q＋q2＋q3＝4λq3＋μq2.③

②－①×q，得1＝λq2，

③－②×q，得1＝λq3，

解得q＝1，λ＝1.

代入①，得μ＝0.（8分）

此时Sn＝nan（n≥2），

所以an＝a1＝2，{an}是公比为1的等比数列，

故λ＝1，μ＝0.（10分）

（3）若a2＝3，由a1＋a2＝2λa2＋μa1，得5＝6λ＋2μ.

又λ＋μ＝，解得λ＝，μ＝1.（12分）

由a1＝2，a2＝3，λ＝，μ＝1，代入Sn＝λnan＋μan－1得a3＝4，

所以a1，a2，a3成等差数列；

由Sn＝an＋an－1，得Sn＋1＝an＋1＋an.

两式相减得an＋1＝an＋1－an＋an－an－1，

即（n－1）an＋1－（n－2）an－2an－1＝0，

所以nan＋2－（n－1）an＋1－2an＝0.

相减得nan＋2－2（n－1）an＋1＋（n－2）an－2an＋2an－1＝0，

所以n（an＋2－2an＋1＋an）＋2（an＋1－2an＋an－1）＝0，

所以an＋2－2an＋1＋an＝－（an＋1－2an＋an－1）＝（an－2an－1＋an－2）

＝…＝（a3－2a2＋a1）．（4分）

因为a1－2a2＋a3＝0，所以an＋2－2an＋1＋an＝0，

即数列{an}是等差数列．（16分）

21.A.解析：

连结AD.因为AB为圆O的直径，

所以AD⊥BD.

因为EF⊥AB，所以A，D，E，F四点共圆，

所以BD·BE＝BA·BF.（5分）

因为∠EAF＝∠BAC，∠EFA＝∠BCA＝90°，

所以△ABC∽△AEF，

所以＝，即AB·AF＝AE·AC，

所以BE·BD－AE·AC＝BA·BF－AB·AF＝AB·（BF－AF）＝AB2.（10分）

B.解析：

因为M＝BA＝＝，（5分）

所以M－1＝.（10分）

C.解析：

把直线方程l：

化为普通方程为x＋y＝2.（3分）

将圆C：

ρ2＋2ρcosθ－2ρsinθ＝0化为直角坐标方程为x2＋2x＋y2－2y＝0，

即（x＋1）2＋（y－1）2＝2.（6分）

因为圆心C到直线l的距离d＝＝＝r，

所以直线l与圆C相切．（10分）

D.解析：

因为[（1＋a）＋（1＋b）＋（1＋c）＋（1＋d）]≥（·＋·＋·＋·）2＝（a＋b＋c＋d）2＝1.（5分）

又（1＋a）＋（1＋b）＋（1＋c）＋（1＋d）＝5，

所以＋＋＋≥.（10分）

22.解析：

（1）因为AB＝1，AA1＝2，则F（0，0，0），A，C，B，E（，0，1），　

所以＝（－1，0，0），＝.（2分）

记直线AC和EC所成的角为α，

则cosα＝|cos〈，〉|＝

＝，

所以直线AC和BE所成角的余弦值为.（4分）

（2）设平面BFC1的一个法向量为m＝（x1，y1，z1）．

因为＝，＝，

所以

则令x1＝4，则z1＝1，所以m＝（4，0，1）．（6分）

设平面BCC1的一个法向量为n＝（x2，y2，z2）．

因为＝，＝（0，0，2），

所以

则

令x2＝，则y2＝－1，所以n＝（，－1，0），

所以cos〈m，n〉＝＝.

根据图形可知二面角FBC1C为锐角二面角，

所以二面角FBC1C的余弦值为.（10分）

23.解析：

（1）因为抛物线C的方程为y2＝4x，

所以点F的坐标为（1，0）．

设M（m，n），因为圆M与x轴、直线l都相切，l平行于x轴，

所以圆M的半径为|n|，点P（n2，2n），

所以直线PF的方程为＝，

即2n（x－1）－y（n2－1）＝0，（2分）

所以＝|n|.

所以|2m－n2－1|＝n2＋1.

因为m，n≠0，所以n2－m＋1＝0，

所以E的方程为y2＝x－1（y≠0）．（4分）

（2）设Q（t2＋1，t），A（0，y1），B（0，y2）．

由

（1）知，点Q处的切线l1的斜率存在，由对称性不妨设t>0.

由y′＝，所以kAQ＝＝，kBQ＝＝－2，

所以y1＝－，y2＝2t3＋3t，（6分）

所以AB＝＝|2t3＋3t－＋|＝2t3＋t＋（t>0）．（8分）

令f（t）＝2t3＋t＋，t>0，

则f′（t）＝6t2＋－＝.

由f′（t）>0得t>；

由f′（t）<0得0

所以f（t）在区间上单调递减，在区间上单调递增，

所以当t＝时，f（t）取得极小值也是最小值，即AB取得最小值，

此时s＝t2＋1＝.（10分）