1、江苏省连云港市届高三第一次模拟考试数学2018届高三年级第一次模拟考试(七)数 学(满分160分,考试时间120分钟)参考公式:1.柱体的体积公式:VSh,其中S是柱体的底面面积,h是高2.圆锥的侧面积公式:Scl,其中c是圆锥底面圆的周长,l是母线长一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共计70分1.已知集合Ax|x2x0,B1,0,则AB_2.已知复数z(i为虚数单位),则z的模为_3.函数y的定义域为_4.如图是一个算法的伪代码,运行后输出b的值为_(第4题)(第5题)5.某地区教育主管部门为了对该地区模拟考试成绩进行分析,随机抽取了150分到450分之间的1000名学生的成绩,并根
2、据这1000名学生的成绩画出样本的频率分布直方图(如图),则成绩在250,400)内的学生共有_人6.在平面直角坐标系xOy中,已知双曲线1(a0,b0)的一条渐近线方程为x2y0,则该双曲线的离心率为_7.连续2次抛掷一枚质地均匀的骰子(六个面上分别标有数字1,2,3,4,5,6的正方体),观察向上的点数,则事件“点数之积是3的倍数”的概率为_8.已知正四棱柱的底面边长为3cm,侧面的对角线长是3cm,则这个正四棱柱的体积是_cm3.9.若函数f(x)Asin(x)(A0,0)的图象与直线ym的三个相邻交点的横坐标分别是,则实数的值为_10.在平面直角坐标系xOy中,曲线C:xy上任意一点P
3、到直线l:xy0的距离的最小值为_11.已知等差数列an满足a1a3a5a7a910,aa36,则a11的值为_12.在平面直角坐标系xOy中,若圆C1:x2(y1)2r2(r0)上存在点P,且点P关于直线xy0的对称点Q在圆C2:(x2)2(y1)21上,则r的取值范围是_13.已知函数f(x)函数g(x)f(x)f(x),则不等式g(x)2的解集为_14.如图,在ABC中,已知AB3,AC2,BAC120,D为边BC的中点若CEAD,垂足为E,则的值为_二、解答题:本大题共6小题,共计90分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15.(本小题满分14分)在ABC中,角A,B,C所对的边分
4、别为a,b,c,且cosA,tan(BA).(1)求tanB的值;(2)若c13,求ABC的面积16.(本小题满分14分)如图,在直三棱柱ABCA1B1C1中,ABC90,ABAA1,M,N分别是AC,B1C1的中点求证:(1)MN平面ABB1A1;(2)ANA1B.17.(本小题满分14分)某艺术品公司欲生产一款迎新春工艺礼品,该礼品是由玻璃球面和该球的内接圆锥组成,圆锥的侧面用于艺术装饰,如图1.为了便于设计,可将该礼品看成是由圆O及其内接等腰三角形ABC绕底边BC上的高所在直线AO旋转180而成,如图2.已知圆O的半径为10cm,设BAO,0b0)的离心率为,且过点.F为椭圆的右焦点,A
5、,B为椭圆上关于原点对称的两点,连结AF,BF分别交椭圆于C,D两点(1)求椭圆的标准方程;(2)若AFFC,求的值;(3)设直线AB,CD的斜率分别为k1,k2,是否存在实数m,使得k2mk1?若存在,求出实数m的值;若不存在,请说明理由19.(本小题满分16分)已知函数f(x)x2ax1,g(x)lnxa(aR)(1)当a1时,求函数h(x)f(x)g(x)的极值;(2)若存在与函数f(x),g(x)的图象都相切的直线,求实数a的取值范围20.(本小题满分16分)已知数列an,其前n项和为Sn,满足a12,Snnanan1,其中n2,nN*,R.(1)若0,4,bnan12an(nN*),
6、求证:数列bn是等比数列;(2)若数列an是等比数列,求,的值;(3)若a23,且,求证:数列an是等差数列2018届高三年级第一次模拟考试(七)数学附加题(本部分满分40分,考试时间30分钟)21.【选做题】本题包括A、B、C、D四小题,请选定其中两小题,并作答若多做,则按作答的前两小题评分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤A.选修41:几何证明选讲(本小题满分10分)如图,AB是圆O的直径,弦BD,CA的延长线相交于点E,EF垂直BA的延长线于点F.求证:AB2BEBDAEAC.B.选修42:矩阵与变换(本小题满分10分)已知矩阵A,B,若矩阵MBA,求矩阵M的逆矩阵M1.C.选修4
7、4:坐标系与参数方程(本小题满分10分)以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴,且在两种坐标系中取相同的长度单位,建立极坐标系,判断直线l:(t为参数)与圆C:22cos2sin0的位置关系D.选修45:不等式选讲(本小题满分10分)已知a,b,c,d都是正实数,且abcd1,求证:.【必做题】第22题、第23题,每题10分,共计20分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤22.(本小题满分10分)在正三棱柱ABCA1B1C1中,已知AB1,AA12,E,F,G分别是AA1,AC和A1C1的中点,为正交基底,建立如图所示的空间直角坐标系Fxyz.(1)求异面直线AC与BE所成角的余弦值;(2)
8、求二面角FBC1C的余弦值23.(本小题满分10分)在平面直角坐标系xOy中,已知平行于x轴的动直线l交抛物线C:y24x于点P,F为曲线C的焦点圆心不在y轴上的圆M与直线l,PF,x轴都相切,设圆心M的轨迹为曲线E.(1)求曲线E的方程;(2)若直线l1与曲线E相切于点Q(s,t),过点Q且垂直于l1的直线为l2,直线l1,l2分别与y轴相交于点A,B.当线段AB的长度最小时,求s的值2018届连云港高三年级第一次模拟考试数学参考答案1.1,0,12.13.(0,14.135.7506.7.8.549.410.11.1112.1,113.2,214.15.解析:(1)在ABC中,由cosA,
9、知A为锐角,所以sinA,所以tanA,(2分)所以tanBtan(BA)A(4分)3.(6分)(2)由(1)知tanB3,所以sinB,cosB,(8分)所以sinCsin(AB)sinAcosBcosAsinB.(10分)由正弦定理,得b15,(12分)所以ABC的面积SbcsinA151378.(14分)16.解析:(1)如图,取AB的中点P,连结PM,PB1.因为M,P分别是AB,AC的中点,所以PMBC,且PMBC.在直三棱柱ABCA1B1C1中,BCB1C1,BCB1C1,又N是B1C1的中点,所以PMB1N,且PMB1N,(2分)所以四边形PMNB1是平行四边形,所以MNPB1.
10、(4分)又MN?平面ABB1A1,PB1?平面ABB1A1,所以MN平面ABB1A1.(6分)(2)因为三棱柱ABCA1B1C1为直三棱柱,所以BB1平面A1B1C1,因为BB1?平面ABB1A1,所以平面ABB1A1平面A1B1C1.(8分)因为ABCA1B1C190,所以B1C1B1A1.因为平面ABB1A1平面A1B1C1B1A1,B1C1?平面A1B1C1,所以B1C1平面ABB1A1.(10分)因为A1B?平面ABB1A1,所以B1C1A1B,即NB1A1B.如图,连结AB1.因为在平行四边形ABB1A1中,ABAA1,所以四边形ABB1A1是正方形,所以AB1A1B.因为NB1AB
11、1B1,且AB1,NB1?平面AB1N,所以A1B平面AB1N.(12分)又AN?平面AB1N,所以A1BAN.(14分)17.解析:(1)如图,设AO交BC于点D,过点O作OEAB,垂足为E.在AOE中,AE10cos,AB2AE20cos,(2分)在ABD中,BDABsin20cossin,(4分)所以S220sincos20cos400sincos2.(6分)(2)由(1)得S400sincos2400(sinsin3)(8分)设f(x)xx3(0x0;当x时,f(x)b0)由题意知(2分)解得所以椭圆的方程为1.(4分)(2)若AFFC,由椭圆的对称性,知A,所以B,此时直线BF的方程
12、为3x4y30.(6分)由得7x26x130,解得x(x1舍去),(8分)所以.(10分)(3)设A(x0,y0),则B(x0,y0),直线AF的方程为y(x1),代入椭圆方程1,得(156x0)x28yx15x24x00.因为xx0是该方程的一个解,所以点C的横坐标xC.(12分)又点C(xC,yC)在直线y(x1)上,所以yC(xC1).同理,点D的坐标为,(14分)所以k2k1,即存在m,使得k2k1.(16分)19.解析:(1)函数h(x)的定义域为(0,)当a1时,h(x)f(x)g(x)x2xlnx2,所以h(x)2x1,(2分)所以当0x时,h(x),h(x)0,所以函数h(x)
13、在区间上单调递减,在区间上单调递增,所以当x时,函数h(x)取得极小值ln2,不存在极大值(4分)(2)设函数f(x)在点(x1,f(x1)处的切线与函数g(x)在点(x2,g(x2)处的切线相同,则f(x1)g(x2),所以2x1a,(6分)所以x1,代入xax11(lnx2a)得lnx2a20.(*)(8分)设F(x)lnxa2,则F(x).不妨设2xax010(x00),则当0xx0时,F(x)x0时,F(x)0,所以F(x)在区间(0,x0)上单调递减,在区间(x0,)上单调递增,(10分)因为a2x0,所以F(x)minF(x0)x2x0lnx02.设G(x)x22xlnx2,则G(
14、x)2x20对x0恒成立,所以G(x)在区间(0,)上单调递增又G(1)0,所以当0x1时,G(x)0,即当0x01时,F(x0)0.(12分)又当xea2时,F(x)lnea2a20,(14分)因此当0x01时,函数F(x)必有零点,即当0x01时,必存在x0使得(*)成立,即存在x1,x2使得函数f(x)在点(x1,f(x1)处的切线与函数g(x)在点(x2,g(x2)处的切线相同又由y2x得y20.由y,所以kAQ,kBQ2,所以y1,y22t33t,(6分)所以AB|2t33t|2t3t(t0)(8分)令f(t)2t3t,t0,则f(t)6t2.由f(t)0得t;由f(t)0得0t,所以f(t)在区间上单调递减,在区间上单调递增,所以当t时,f(t)取得极小值也是最小值,即AB取得最小值,此时st21.(10分)
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